D

[考点] 矩阵可逆、同解、相似矩阵的基本结论．
   [解析] 通过举反例排除A，B，C项．
   解：A项与B项类似，故均错误，而C项仅是必要而非充分条件，故应选D．
   事实上，若A～B，则由相似矩阵的性质知E-A～E-B；
   反之，若E-A～E-B，则E-(E-A)～E-(E-B)，即A～B．
   对于选项A，若A与B均不可逆，则|A|=|B|=0，从而|AB|=|A||B|=0，即AB不可逆，但若AB不可逆，推出A与B均不可逆，如A=E，，则AB=B不可逆，但A可逆．
   对于选项B，与选项A相近，由于r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，故若r(A)＜n与r(B)＜n均成立，则r(AB)＜n；但反之，若r(AB)＜n，推不出r(A)＜n或r(B)＜n，如A=E，，则r(AB)=r(B)-1＜2，但r(A)=2．
   对于选项C，由同型矩阵A与B等价r(A)=r(B)可知，若Ax=0与Bx=0同解，则A与B等价；但反之不然，如，则A，B等价，但Ax=0与Bx=0显然不同解．
   故应选D．

C

[解析] 由罗尔中值定理，用反证法即可得．其他均可举出反例．
   例如，f(x)=x³-x+6=(x+2)(x²-2x+3)只有唯一零点x=-2，但f'(x)=3x²-1有两个零点，所以A不成立．此例也说明B不成立．又例如f(x)=2+sinx，在(-∞，+∞)内没有零点，但f'(x)=coax在(-∞，+∞)内有无穷多个零点，所以D不成立．

C

[解析] 法一  因α₁，α₂，α₃满足α₁-2α₂+3α₃=0，    (*)
   要求向量组α₁+aβ，α₂+bβ，α₃线性相关，其中β是任意向量．利用式(*)，取常数k₁=1，k₂=-2，k₃=3，
   对向量组α₁+aβ，α₂+bβ，α₃作线性组合，得
   (α₁+aβ)-2(α₂+bβ)+3α₃=α₁-2α₂+3α₃+(a-2b)β=(a-2b)β．
   故当a=2b时，对任意的n维向量β均有α₁+aβ-2(α₂+bβ)+3α₃=0．
   即a=2b时，α₁+aβ，α₂+bβ，α₃对任意β线性相关．故应选C．
   法二  α₁+aβ，α₂+bβ，α₃线性相关．对矩阵(α₁+aβ，α₂+bβ，α₃)作初等列变换(不改变秩)有
   (α₁+aβ，α₂+bβ，α₃)→(α₁+aβ，α₂+bβ，α₁+aβ-2(α₂+bβ)+3α₃)
   
   故a=2b时，r(a₁+aβ，α₂+bβ，α₃)≤2，即对任意的n维向量β，有α₁+aβ，α₂+bβ，α₃线性相关，应选C．

A

[解析] (A)若A中有n阶子式不为零，此时A为列满秩矩阵，这时n-R(A)=0，则Ax=0仅有零解；反之，若Ax=0仅有零解，则n-R(A)=0．因此，A中有n阶子式不为零是Ax=0仅有零解的充分必要条件．选A．
   B．若A中有n阶子式不为零，这时R(A)=n，此时A为列满秩矩阵，这时n-R(A)=0，得不出R(A)=R(Ab)，得不出Ax=b有解，更得不出Ax=b必有唯一解．B错．
   C．若A中有m阶子式不为零，这时R(A)=m，此时A为行满秩矩阵，得不出R(A)=n，得不出Ax=0仅有零解．C错．
   D．若A中有m阶子式不为零，此时A为行满秩矩阵，于是有R(A)=R(Ab)，这是Ax=b有解的充分必要条件，但得不出Ax=b必有唯一解．D错．

D

[解析] 采用举例法．请注意：举的例子必须要满足f(x)在x=0处连续的条件，还要满足存在的条件．
   举例如下：
   
   现讨论f(x)在x=0处是否可导，利用可导的定义来讨论．也就是说，计算
   
   由于所以
   
   
   由于，所以不存在，从而f(x)在x=0处不可导，所以选项D错误．

B

[解析] 由(X，Y)服从二维均匀分布得到
   由于，故A₁，A₄不独立，排除C，D；
   由，排除A．
   又计算得，所以A₁，A₂，A₃两两独立．

B

[考点] 考查随机事件的独立性．
   [解析] 事件A与B独立的充要条件．
   解：由推不出P(AB)=P(A)P(B)，因此推不出事件A，B一定独立，排除A项；
   若，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此C、D项也不成立；
   故正确选项为B．
   故应选B．

D

[解析] 函数的间断点只有x=-2．
   由于，故x=2为曲线唯一的垂直渐近线．又，故x→-∞时，有水平渐近线y=0．，故x→+∞时没有水平渐近线．但是
   
   
   故x→+∞时，有斜渐近线y=3x．
   总结：根据间断点求垂直渐近线，根据求水平渐近线．注意当自变量x取同一趋向(例x→+∞)时，如果曲线有水平(斜)渐近线，就不可能有斜(水平)渐近线(上面x→+∞也可以是x→-∞或x→∞)．但当x取不同趋向时，曲线可以在x→-∞时(或x→+∞时)取到水平渐进线，在x→+∞时(或x→-∞时)取到斜渐近线．

[解析]

16

[解析] X～N(μ，σ²)，其中σ=0.01，μ=0.5，则
   
   又σ=0.01，μ=0.5，故
   

[解析] 用柱面坐标，于是
   

0

[解析]

解：
   

解：
   

解：方法1
   由于是在球面上积分，
   
   其中，
   方法2
   曲面：F(x，y，z)=x²+y²+z²-1=0，
   

解：
   
   根据对称性得
   
   令x²+y²=r，由得f+3rf'+r²f''=0，
   令r=e^t，整理得
   
   解得f=(C₁+C₂t)e^-t，于是由f(1)=0，得C₁=0，由f'(1)=1，得C₂=1，于是得x=e，当x∈(1，e)时，f’(x)＞0，当x＞e时，f’(x)＜0，则x=e为f(x)在[1，+∞)上的最大值点，最大值为

证明：令显然函数φ(x)在区间[a，b]上连续，函数φ(x)在区间(a，b)内可导，且
   
   另外，又有φ(a)=φ(b)=0．
   所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即
   
   由于g(b)=0及g'(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有于是有

解：可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值．
   因为x²-6xy+10y²-2yz-z²+18=0，所以
   
   令  得
   故
   将上式代入x²-6xy+10y²-2yz-z²+18=0，可得
   由于
   所以
   故从而点(9，3)是z(x，y)的极小值点，极小值为z(9，3)=3.
   类似地，由
   
   可知从而点(-9，-3)是z(x，y)的极大值点，极大值．

[解析] 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x，y，z满足原方程．

证明：将式①的两边点乘b×c，并注意到：b，b，c共面，c，b，c共面，则有
   (xa+yb+zc)·(b×c)=xa·(b×c)+yb·(b×c)+zc·(b×c)
   =xa·(b×c)．
   即xa·(b×c)=d·(b×c)，
   故，同理可证y与z的表达式成立．