解：由联合概率密度的基本性质知
   
   从而得

解：由于在区域{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}外，f(x，y)=0，所以在区域{(x，y)|x+y≥1}上积分等价于在区域D上的积分(如下图)
   
   

解：
   当x＜0或y＜0时，
   当0≤x＜1，0≤y＜2时，
   
   当0≤x＜1，y≥2时，
   
   当x≥1，0≤y＜2时，
   
   当x≥1，y≥2时，
   
   综上所述，二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为
   

解：通解

证明：f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期.
   通解
   设则有
   即y(x+T)依旧是方程的通解，结论得证.

证明：当n为奇数时，n-1为偶数，f'(x)=nx^n-1+1＞0，所以f(x)至多有1个零点．又因f(0)=-1＜0，f(1)=1＞0，故f(x)有且仅有1个零点，记为x_n，0＜x_n＜1．

证明：为证存在，先证{x_n}单调增加，由与
   有
   因为0＜x_n+1＜1，所以，于是有
   
   由公式
   上式左边第2个括号内为正，所以x_n+1＞x_n，即{x_n}严格单调增加．由单调有界必有极限定理知
   
   以下证a=1．用反证法．设0＜a＜1，由于{x_n}严格单调增加趋于a，所以x_n＜a．由，有．令n→∞，得，得a≥1，矛盾．所以a=1，即证毕．

解：对方程组(ⅰ)的增广矩阵作初等行变换
   
   由于，所以方程组(ⅰ)有无穷多解，得其导出组的基础解系为[1，1，2，1]^T，非齐次方程的一个特解是[-2，-4，-5，0]^T，故方程组(ⅰ)的通解为
   ，k为任意常数，

解：若方程组(ⅰ)与(ⅱ)同解，则(ⅰ)的解应是(ⅱ)的解，将(ⅰ)的通解代入(ⅱ)的三个方程，可分别求得参数m，n，t．
   将x代入(ⅱ)的第一个方程，得
   (-2+k)+m(-4+k)-(-5+2k)-k=-5．
   整理得(m-2)(k-4)=0，其中k是任意常数，故解得m=2．
   将x代入(ⅱ)的第二个方程，得
   n(-4+k) -(-5+2k)-2k=-11，
   整理得(n-4)(k-4)=0，其中k是任意常数，故解得n=4．
   将x代入(ⅱ)的第三个方程，得
   (-5+2k)-2k=-t+1，
   解得t=6．故(ⅰ)(ⅱ)同解m=2，n=4，t=6．又当m=2，n=4，t=6时，(ⅱ)的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为3．则(ⅱ)的解也是(ⅰ)的解．因此当m=2，n=4，t=6时，方程组(ⅰ)与(ⅱ)同解．

解：
   所以原极限=0．
   这类极限有个特点就是被减函数与减函数的自变量的差恰为1，因此这类极限的求法可借助拉格朗日中值定理．
   [另解]令显然当x＞0时，f(t)在[x，x+1]上满足拉格朗日中值定理，于是有
   

解：令f(t)=lnarctant，当x＞0时，f(t)在[x，x+1]上满足拉格朗日中值定理，于是有