一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φ'
y(x,y)≠0.已知(x
0,y
0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是
- A.若f'x(x0,y0)=0,则f'y(x0,y0)=0.
- B.若f'x(x0,y0)=0,则f'y(x0,y0)≠0.
- C.若f'x(x0,y0)≠0,则f'y(x0,y0)=0.
- D.若f'x(x0,y0)≠0,则f'y(x0,y0)≠0.
A B C D
D
[解析] 设
F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y).
由已知,点(x
0,y
0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的极值点,故有
由于φ'
y(x
0,y
0)≠0,故可得
(*)
将四个选项逐一讨论:若f'
x(y
0,y
0)=0,由(*)式知,f'
y(x
0,y
0)可以为0,也可以不为0,所以选项A与B都不是必然的;若f'
x(x
0,y
0)≠0,则f'
y(x
0,y
0)一定不为0,故选项C错误,应选D.
4. 设f(x)一阶可导,f(x)>0,f'(x)>0,则当Δx>0时
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由积分中值定理
∈(x,x+Δx)使得
(f'(x)>0
f(x)是单调增加的).
因此选A.
由定积分的几何意义来分析,曲线y=f(x)在
x轴上方且单调增加
是曲边梯形ABCD的面积,f(x)Δx是矩形BCDE的面积,因
此
.选A.
5. 当x→0
+时,与
等价的无穷小量是
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 排除法.当x→0
+时,
,不选A,C,D,所以选B.
7. 已知当x→0时,函数f(x)=x
2-tanx
2与cx
k是等价无穷小量,则______
A.c=1,k=3
B.c=-1,k=3
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查的是无穷小量的比较。此类题目一般有两种解法:利用泰勒公式(或麦克劳林公式);利用洛必达法则。本题利用麦克劳林公式将tanx
2在x=0处展开,然后与cx
k作比较。
[解析] 由麦克劳林公式
可知
所以
比较分子、分母的系数可知,
,k=6。故选C。
二、填空题1.
2. 设n阶矩阵A为反对称矩阵,则对于任意非零n维列向量x,x
TAx=______.
0
[解析] xTAx是一个数,而一个数的转置就是它本身.所以有
xTAx=(xTAx)T.(1)
而
(xTAx)T=xT(xTA)T=xTATx. (2)
由A为反对称矩阵可知AT=-A,所以有
xTATx=-xTAx.(3)
由式(2)、式(3)得
(xTAx)T=-xTAx.(4)
由式(1)、式(4)得
xTAx=-xTAx. (5)
由于xTAx为一个数,不妨设此数为a.根据式(5)有a=0.
3.
0
[解析]
,而
故e
0=1.
最后一步的极限
是使用洛必达法则计算,即
,这是一个重要极限,在后来考题中多次出现.
4. 设y=y(x)是由方程xy+e
y=x+1确定的隐函数,则
-3.
[解析] 当x=0时,由原方程得y(0)=0.在方程xy+ey=x+1两边对x求导得
y+xy'+eyy'=1, ①
代入x=0,y(0)=0,便有y'(0)=1.
在①式两边再次对x求导,得 2y'+xy"+eyy"+ey(y')2=0,
代入x=0,y(0)=0,y'(0)=1,得y"(0)=-3.
5.
6. 三阶方阵A的特征值为1,-1,2,则B=2A
3-3A
2的特征值为______.
三、解答题本题共94分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.1. 设f(x),g(x)为[a,b]上连续的增函数(0<a<b),证明:
证明:令F(x,y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)],D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b},
因为f(x),g(x)在[a,b]上为增函数,所以F(x,y)≥0,从而
而
故
设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵,α,β是线性无关的三维列向量,并满足
Aα=3β,Aβ=3α.2. 证明矩阵A和对角矩阵相似;
证明:矩阵A各行元素之和均为0,即
知0是矩阵A的特征值,α
1=(1,1,1)
T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量.
又A(α+β)=3(α+β),A(α-β)=-3(α-β)且由α,β线性无关,知α+β,α-β均不是零向量.从而,3和-3都是矩阵A的特征值.α+β,α-β分别是λ=3和λ=-3的特征向量,那么矩阵A有3个不同的特征值,所以A~A.
3. 如α=(0,-1,1)
T,β=(1,0,-1)
T,求矩阵A;
解:当α=(0,-1,1)
T,β=(1,0,-1)
T时,按已知有A(α
1,α,β)=(0,3β,3α)
即
所以
4. 用配方法化二次型x
TAx为标准形,并写出所用坐标变换.
5. 计算
.
解:分子、分母同乘以某一三角函数.
[考点] 本题主要考查三角函数有理式不定积分的计算技巧和方法,由于三角函数的变形公式非常多,相应地本题也有多种解法
6. 设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1),试证:至少存在一个ξ∈(0,1),使
证明:
两边积分可得lnf'(x)(x-1)
2=c,所以f'(x)(x-1)
2=e
c)
令F(x)=f'(x)(x-1)
2,F'(x)=f"(x)(x-1)
2+2f'(x)(x-1),由f(0)=f(1)=0知存在η∈(0,1),f'(η)=0,即F(η)=0又F(1)=0.所以存在ξ∈(η,1),F'(ξ)=0.立即可得
.
设齐次线性方程组Ax=0为
在方程组(*)的基础上增添一个方程2x1+ax2-4x3+bx4=0,得齐次线性方程组Bx=0为
7. 求方程组(*)的基础解系和通解;
解:
得方程组(*)的基础解系为(-3,-5,1,0)
T,通解为k(-3,-5,1,0)
T,k是任意常数.
8. 问a,b满足什么条件时,方程组(*)和(**)是同解方程组.
解:
法一 方程组(*),(**)是同解方程组
方程组(*)的通解满足方程组(**)的第4个方程.将通解代入,得2(-3k)+a(-5k)-4k+0=0,即-5ak=10k.又k是任意常数,得a=-2.
故当a=-2,b任意时,方程组(*),(**)同解.
法二 方程组(*),(**)是同解方程组,方程组(**)中新添的第4个方程应可由方程组(*)的三个方程线性表出,表达成列向量形式为
因
故a=-2,b任意时,方程组(**)中第4个方程可由方程组(*)的三个方程线性表出,故方程组(*),(**)同解.
9. 计算二重积分
解:画出二重积分区域,如图所示,
D
1是D的第一象限部分,由对称性得
10.
(Ⅰ)求满足AX-XA=0的所有X;
(Ⅱ)AX-XA=E,E是二阶单位矩阵,是否有解.若无解,说明理由;若有解,求满足方程的所有的X.
解:(Ⅰ)设
则
得齐次方程组
由
得其基础解系α
1=[2,2,1,0]
T,α
2=[1,0,0,1]
T,其通解为[x
1,x
2,x
3,x
4]
T=c
1α
1+c
2α
2,即
x
1=2c
1+c
2,x
2=2c
1,x
3=c
1,x
4=c
2(c
1,c
2为任意常数).
所求的所有矩阵为
其中c
1,c
2为任意常数.
故AX-XA=E无解.
11. 计算累次积分
解:所给累次积分所对应的二重积分的积分域由y=x,y=2,
围成.
12. 已知y
1(x)=e
x,y
2(x)=u(x)e
x是二阶微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y'+2y=0的两个解.若u(-1)=e,u(0)=-1,求u(x),并写出该微分方程的通解.
解:将y
2(x)=u(x)e
x代入原方程并整理得
(2x-1)u"+(2x-3)u'=0.
令u'(x)=z,则
(2x-1)z'+(2x-3)z=0,
解得
从而
由u(-1)=e,u(0)=-1,得
,所以u(x)=-(2x+1)e
-x.
所以原微分方程的通解为y=C
1e
x-C
2(2x+1).