一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．2. 设函数f(x)单调，且f'(0)≠0．若
则______
- A.f(0)+f'(0)=-1．
- B.f(0)+f'(0)=1．
- C.f(0)+f'(0)=0．
- D.f(0)+f'(0)=2．
A B C D
B
[解析]
思路一：
即
f[f(0)]=f(0)．
因为f(x)单调，则f(x)在x=0点某邻域内存在反函数f
-1．
由此可得f(0)=f
-1[f(0)]=0．
依题意有f(0)=0，f'(0)=1，f(0)+f'(0)=1．
思路二：
假设f(x)连续可导，则
依题意有f(0)=0，f'(0)=1，f(0)+f'(0)=1．
3. 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)，f(0)=-1且f"(x)＞0，则______
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] f(x)为偶函数时满足题设条件，此时
，排除C，D．取f(x)=2x
2-1满足条件，则
，选B．
4. α
1，α
2，α
3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α
1=(1，2，3，4)
T，α
2+α
3=(0，1，2，3)
T．c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[考点] 非齐次线性方程组解的结构．
根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可．
解：根据线性方程组解的性质，可知
2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3)
是非齐次线性方程组Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为r(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α
1-(α
2+α
3)=(2，3，4，5)
T≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此AX=b的通解为
α1+c(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+c(2，3，4，5)T，
即C选项正确．对于其他几个选项，A选项中
(1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)，
选项B中
(0，1，2，3)T=α2+α3，
选项D中
(3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)，
都不是Ax=b的导出组的解．所以A、B、D项均不正确．
故应选C．
5. 设函数z=z(x，y)由方程
确定，其中F为可微函数，且F'
2≠0，则
A B C D
B
[解析] 在等式
两端关于x求偏导，得
①
在等式
两端关于y求偏导，得
②
①×x
2+②×xy得
所以
．即正确选项为B．
还可以利用一阶全微分形式不变性求解，留给读者自练．
7. 设f(x)在[a，b]连续，则下列结论中正确的个数为
①f(x)在[a，b]的任意子区间[a，β]上
，则
②f(x)≥0(x∈[a，b])，又
，则f(x)=0(x∈[a，b])．
③[a，β]
[a，b]，则
A B C D
C
[解析] 我们要逐一分析．
结论①正确．由条件
结论②正确．由条件
结论③错误，如下图所示，由定积分几何意义知，
，其中[α，β]
[a，b]．
因此选C．
8. 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“
”表示“M的充分必要条件是N”，则必有
A．F(x)是偶函数
f(x)是奇函数．
B．F(x)是奇函数
f(x)是偶函数．
C．F(x)是周期函数
f(x)是周期函数．
D．F(x)是单调函数
f(x)是单调函数．
A B C D
二、填空题1. 已知
，则
2
[解析] 因为
，由题意得
．
由于
存在，
，故当x→0时，
于是
2.
1．
[解析]
3. 设ρ=a(1+cosθ)，则
[解析] 将ρ=a(1+cosθ)化为参数方程
θ为参数．
x'
θ=-asinθcosθ-a(1+cosθ)sinθ=-a(sinθ+sin2θ)，
y'
θ=-asin
2θ+a(1+cosθ)cosθ=a(cosθ+cos2θ)．
故
4. 方程yy"=1+y'
2满足初始条件y(0)=1，y'(0)=0的通解为______．
±x
[考点] 高阶微分方程的解
[解析] 令y'=p，则
，即
，
解得ln(1+p
2)=lny
2+lnC
1，则1+p
2=C
1y
2，
由y(0)=1，y'(0)=0得
，
由y(0)=1得C
2=0，所以特解为
．
5.
6. 设α
1，α
2，α
3均为三维列向量，记矩阵
A=(α
1，α
2，α
3)，B=(α
1+α
2+α
3，α
1+2α
2+4α
3，α
1+3α
2+9α
3)．如果|A|=1，那么|B|=______．
2．
[解析] 解法1 利用行列式的性质计算．
解法2 利用矩阵的性质计算．
则
三、解答题本题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．1. 计算
，其中D={(x，y)|x
2+y
2≤1，x≥0，y≥0}．
[解]
2. 设f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足
又
求
[解] 由复合函数求导法得
现将①，②式相加得
其中由条件知f"
11+f"
22=1.
3. 设f(x)在[a，b]上可导，且ab＞0，试证：存在一个ξ∈(a，b)，使
证明：令F(x)=x
nf(x)，由拉格朗日定理，得b
nf(b)-a
nf(a)=[nξ
n-1f(ξ)+ξ
nf'(ξ)](b-a)，ξ∈(a，b)，即
4. 设e＜a＜b＜e
2．证明
．
证法1 设
，则
所以当x＞e时，φ"(x)＜0，故φ'(x)单调减少，从而当e＜x＜e
2时，
即当e＜x＜e
2时，φ(x)单调增加．
因此当e＜a＜b＜e
2时，φ(b)＞φ(a)，
即
故
证法2 原不等式等价于：
，左端可看作函数f(x)=ln
2x在[a，b]上的拉格朗日中值定理的形式，故
，a＜ξ＜b．下面对ξ作估计：
令
，当x＞e时，φ'(x)＜0，则φ(x)在(e，+∞)上单调减少，故
5. 设f(x)在[1，+∞)上连续且可导，若曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为
且
，求函数y=f(x)的表达式．
[解] 由旋转体的体积公式得
由已知条件得
等式两边对t求导得
3f
2(t)=2tf(t)+t
2f
'(t)，
于是有x
2y
'=3y
2-2xy，变形得
令
，则有
，分离变量并两边积分得
即y-x=Cx
3y，
由
得C=-1，故
6. 设a为正常数，f(x)=xe
a-ae
x-x+a．证明：当x＞a时，f(x)＜0．
[证]f(a)=0，f'(x)=e
a-ae
x-1，f"(x)=-ae
x＜0．以下证明f'(a)＜0．
令φ(a)=f'(a)=e
a-ae
a-1，φ(a)|
a=0=0，φ'(a)=-ae
a＜0，
所以φ(a)＜0(a＞0)，即f'(a)＜0(a＞0)．
将f(x)在x=a处按二阶泰勒公式展开：
证毕．
，令
，又有f(x)在[-1，1]上连续，若φn(x)=nφ(nx)(n=1，2，…)，7. 求极限
[解析] 记
令nx=u，则
，故
注意到φ(x)为偶函数，并且由于f(x)在[-1，1]上连续，φ(x)在[-1，1]上不变号，由积分中值定理，得
其中ξ∈(-1，1)，再次由f(x)的连续性，得到
8. 设x
0∈(-1，1)，求极限
[解析] 记
令n(x-x
0)=t，则
，于是
注意到当n足够大时有(-1，1)
[-n(1+x
0)，n(1-x
0)]，并应用积分中值定理，得到
其中ξ∈(-1，1)，再次由f(x)的连续性，得
9. 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)，
其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
解 由
，
得f(1)-3f(1)=0，故f(1)=0．又
设sinx=t，则有
所以f'(1)=2．
由于f(x+5)=f(x)，所以
f(6)=f(1)=0，f'(6)=f'(1)=2，
故所求的切线方程为y=2(x-6)，即2x-y-12=0．
[解析] 本题综合涉及函数的周期性、连续性、极限、导数定义及曲线的切线等内容，问题的关键点在于求出f'(1)，而又只能由导数的定义求f'(1)，这也是本题的难点所在．
10. 设常数a＞0，求函数
在(-∞，+∞)内的最值．
[解]
显然，f(x)的不可导点为x=0和x=a，驻点为
可能极值点有三个，通过验证可知只有极大值点x=0，对应的极大值为
．
接下来求区间端点处的极限值：
所以，
是f(x)在区间(-∞，+∞)内的最大值，f(x)在区间(-∞，+∞)内无最小值．
深色：已答题 浅色：未答题