一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 二、填空题1.
3. 设函数z=z(x，y)由方程2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z确定，则
1
[解析] 令F(x，y，z)=x+2y-3z-2sin(x+2y-3z)=0，则
4. 函数f(x)=x
22
x在x=0处的n阶导数f
(n)(0)=______．
n(n-1)(ln2)n-2(n=1，2，3，…)．
[解析] 解法1 用求函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式．
其中
．注意(x
2)
(k)|
x=0=0(k≠2)，
，于是
f'(0)=0，
因此f
(n)(0)=n(n-1)(ln2)
n-2(n=1，2，3，…)．
解法2 利用泰勒展开
，由泰勒展开系数的唯一性，得
，故
，n=2，3，…．
5. 设
在x=0处连续，则A=______.
6.
．
三、解答题本题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．设n阶矩阵A满足A2+2A-3E=O.1. 证明矩阵A，A+2E，A+4E可逆，并求出它们的逆矩阵；
[解] 由
所以，矩阵A可逆，且
由于
，所以矩阵A+2E可逆，且
由于A
2+2A-3E=O，所以A
2+2A-8E=-5E.
而A
2+2A-8E=(A+4E)(A-2E)，即(A+4E)(A-2E)=-5E．所以，矩阵A+4E可逆，且
2. 当A≠E时，判断矩阵A+3E是否可逆，并说明理由．
[解] 当A≠E时，A-E≠O．
由于A2+2A-3E=O，因式分解得(A+3E)(A-E)=O．
令A-E=(α1，α2，…，αn)，其中的每一列都是齐次线性方程组(A+3E)x=0的解，而A-E不是零矩阵，说明α1，α2，…，an中至少有一个向量不为0，即齐次线性方程组(A+3E)x=0有非零解．
故矩阵A+3E不是可逆矩阵，
3. 设函数
，求f'(x)，并求f(x)的最小值．
解 当0＜x≤1时，
当x＞1时，
所以
而
故
由f'(x)=0得唯一驻点
，从而
为f(x)的最小值点，最小值为
．
4. 设矩阵
的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
解 矩阵A的特征多项式为
若λ=2是特征方程的二重根，则有2
2-16+18+3a=0，解得a=-2．
当a=-2时，A的特征值为2，2，6，矩阵
的秩为1，故λ=2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化．
若λ=2不是特征方程的二重根，则λ
2-8λ+18+3a为完全平方，从而18+3a=16，解得
．
当
时，A的特征值为2，4，4，矩阵
的秩为2，故λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化．
5. 设
，求
．
6. 设φ(x)在区间[0，1]上具有二阶连续的导数，且φ(0)=φ(1)=0．证明
[证]由分部积分，
所以
7. 设二元函数f(x，y)在区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上具有连续的4阶导数，且
并设在D的边界上f(x，y)≡0．证明
[证]
对于里层积分，y视为常数，对x积分，并注意到题设条件有
f(0，y)=f(1，y)=0．
所以套用上小题的结果，有
交换积分次序，得
对此积分的里层积分，x视为常数，对y积分，并注意到条件
f(x，0)=f(x，1)=0．
再套用上小题的结果，有
8. 在区间
上设
f(x)=min{x，ln[1+(e-1)x]}，
求∫f(x)dx，应写出详细的推导过程．
[解]令
易见φ(0)=0，φ(1)=0．是否还有其他的x使φ(x)=0，为此考虑在区间
(0，1)，(1，+∞)内φ(x)是否还会变号．
在区间
上，
由于分母1+(e-1)x＞0，分子(e-1)x-(e-2)＜0，所以在区间
上，φ'(x)＜0，又因φ(0)=0，所以在区间
上，φ(x)＞0．φ(x)在该区间内部无零点．
再考虑在区间(0，1)上，φ'(x)同上，仍有分母大于零．令φ'(x)的分子为零，得φ(x)的驻点
易见0＜x
0＜1．在区间(0，x
0)上，φ'(x)＜0，又因φ(0)=0，所以在区间(0，x
0)上，φ(x)＜0．在区间(x
0，1)上，φ'(x)＞0，φ(1)=0，所以在区间(x
0，1)上，φ(x)＜0．
再考虑在区间(1，+∞)上，仍有分母大于零，分子
1+(e-1)x-(e-1)=(e-1)(x-1)+1＞0，
所以在区间(1，+∞)上φ'(x)＞0．又因φ(1)=0，所以当x∈(1，+∞)时φ(x)＞0．总结以上，有
从而知
再考虑积分∫f(x)dx．由分部积分：
在交界点x=0与x=1处分别连续，于是有
最后得
9. 确定常数a，使向量组α
1=(1，1，a)
T，α
2=(1，a，1)
T，α
3=(a，1，1)
T可由向量组β
1=(1，1，a)
T，β
2=(-2，a，4)
T，β
3=(-2，a，a)
T线性表示，但向量组β
1，β
2，β
3不能由向量组α
1，α
2，a
3线性表示．
解 记A=(α
1，α
2，a
3)，B=(β
1，β
2，β
3)．由于β
1，β
2，β
3不能由α
1，α
2，a
3线性表示，所以A的秩r(A)＜3，从而行列式
得a=1或a=-2．
当a=1时，α
1=α
2=α
3=β
1=(1，1，1)
T，显然α
1，α
2，a
3可由β
1，β
2，β
3线性表示，而β
2=(-2，1，4)
T不能由α
1，α
2，a
3线性表示，即a=1符合题意．
当a=-2时，则有
考虑非齐次线性方程组Bx=α
2，由上述可知矩阵B的秩r(B)=2，而秩
，则方程组Bx=α
2无解，即α
2不能由向量组β
1，β
2，β
3线性表示，所以a=-2不符合题意，应舍去．综上a=1．
[解析] 向量组α1，α2，a3可由向量组β1，β2，β3线性表示，则三个方程组xi1β1+xi2β2+xi3β3=αi(i=1，2，3)均有解；向量组β1，β2，β3不可由向量组α1，α2，a3线性表示，则三个方程组xi1α1+xi2α2+xi3α3=βi(i=1，2，3)至少一个无解．
10. 求微分方程
满足条件
的特解．
解 化原方程为一阶线性方程
得其通解为
由
，得C=-1，故所求特解为
11. 讨论L的凹凸性；
解 由于
当t＞0时，
，故L是凸的．
12. 过点(-1，0)引L的切线，求切点(x
0，y
0)，并写出切线的方程；
解 因为当t=0时，L在对应点处的切线方程为x=1，不合题意，故设切点(x
0，y
0)对应的参数为t
0＞0，则L在(x
0，y
0)处的切线方程为
令x=-1，y=0．得
解得t
0=1或t
0=-2(舍去)．
由t=1知，切点为(2，3)，且切线方程为y=x+1．
13. 求此切线与L(对应于x≤x
0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．
解 由y=0时t=0，t=4知L与x轴的交点分别为(1，0)和(17，0)．故所求平面图形的面积为
等于
，则______
是关于y的单调递减函数，所以有f(0，1)＜f(1，1)＜f(1，0)，故答案选D．
，C是任意常数，由极值的定义可知，点(0，0)是极小值点．
．选B．
．
得
，而
，故
两边对x求导数得
，则
深色：已答题 浅色：未答题