一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 设
，那么与对角矩阵相似的矩阵是______
- A.A，B，C．
- B.A，C，D．
- C.B，D．
- D.A，C．
A B C D
B
[解析] 矩阵C为实对称矩阵，一定可以与对角矩阵相似．矩阵D有3个不同的特征值，一定可以与对角矩阵相似，矩阵B有3个相同的特征值，且B不是对角矩阵，一定不能与对角矩阵相似，反证即可．事实上，若存在可逆矩阵P，使
于是
，矛盾．
至于矩阵A，其特征值λ
1=λ
2=
2，λ
3=5(单，重，重)．
当λ=λ
1=λ
2=2时，由(A-2E)x=0，
于是与λ
1=λ
2=2对应的有2个线性无关的特征向量，因此A可以与对角矩阵相似．
选B．
2. 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是
A．
B．
C．
D．
A B C D
A
[解析] 因(D)是对称阵，必相似于对角阵，(C)有三个不同的特征值，能相似于对角阵．(A)，(B)的特征值均为λ=1(2重)，λ=2(单根)．当λ=1时，
只对应一个线性无关的特征向量。故A不能相似于对角阵．
而λ=1时，
有两个线性无关特征向量，故B能相似于对角阵，故选(A)．
4. 设
则______
- A.N≤P≤Q
- B.N≤Q≤P
- C.Q≤P≤N
- D.P≤N≤Q
A B C D
D
[解析] x
2sin
3x是奇函数，故N=0，x
3e
x2是奇函数，故
所以P≤N≤Q．
5. 设P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(A∪B)-P(A∩B)的取值范围为______
- A.[0.1，1]．
- B.[0，0.9]．
- C.[0.1，0.9]．
- D.[0，1]．
A B C D
C
[解析] 由P(A∩B)≤min{P(A)，P(B)}=0.5，当
时，P(A∩B)取得最大值0.5．
由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)≤1，得
P(A∩B)≥P(A)+P(B)-1=0.1．
又由
P(A∪B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-2P(A∩B)=1.1-2P(A∩B)，
故当P(A∩B)取最大值0.5，P(A∪B)-P(A∩B)最小为0.1，当P(A∩B)取最小值0.1，P(A∪B)-P(A∩B)最大为0.9．选C．
8. 设随机向量(X，Y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)=f(-x，y)，且ρ
XY存在，则ρ
XY=______
A B C D
B
[解析]
所以E(XY)=0．
同理，
所以ρ
XY=0．
同理，当f(x,y)=f(x,-y)时，ρ
XY=0．
二、填空题1. f(x)=
sint
2dt，当x→0时，f(x)是x的n阶无穷小，则n=______．
6
[解析] 可用下述结论观察求出，也可利用n阶无穷小定义求出．
当f(x)连续且x→a时，f(x)是x→a的n阶无穷小量，g(x)是x-a的m阶无穷小量，则当x→a时，
必为x-a的n+1阶无穷小量，
必为x-a的(n+1)m阶无穷小量．
解一 因sinx
2是x-0=x的2阶无穷小量，1-cosx～x
2/2为x的2阶无穷小量，则x→0时，
为x的(2+1)×2=6阶无穷小量，即n=6．
解二
因而n=6．
3. 数列
的最小项的项数n=______，且该项的数值为______．
5；
[解析] 设
，令y'=0，在所考虑的定义域内有唯一解x=5，当2＜x＜5时，y'＜0，当x＞5时，y'＞0，故函数y在x=5处取极小值，也是最小值，最小值
本题考查的知识点是(函数)数列极值的求解．
4. 已知β=(0，2，-1，a)
T可以由α
1=(1，-2，3，+4)
T，α
2=(0，1，-1，1)
T，α
3=(1，3，a，1)
T线性表出，则a=______．
2
[解析] 设x
1α
1+x
2α
2+x
3α
3=β，对(α
1，α
2，α
3
β)作初等行变换，有
当a≠2时r(α
1，α
2，α
3)≠r(α
1，α
2，α
3
β)，β不能由α
1，α
2，α
3线性表出，故a=2．
5. 已知X
1，X
2…，X
n为取自分布为F(x)的总体X的简单随机样本．记X=min(X
1，…，X
n-1)和Y=X
n则X的分布函数F
X(x)=______，Y的分布函数F
Y(y)=______和(X，Y)的联合分布G(x，y)=______．
1-[1-F(x)]n-1；F(y)；{1-[1-F(x)]n-1}F(y)
[解析] 根据简单随机样本各分量Xi相互独立且与X同分布，有
Fx(x)=P{min(X1，X2…，Xn-1)≤x}=1-P{min(X1，X2…，Xn-1)＞x}
=1-P{X1＞x，X2＞x，…，Xn-1＞x}=1-P{X1＞x}P{X2＞x}…P{Xn-1＞x}
=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]…[1-P{Xn-1≤x}]=1-[1-F(x)]n-1．
FY(y)=P{Xn≤y}=F(y)
G(x，y)=P{min(X1，…，Xn-1)≤x，Xn≤y}=P{min(X1，…，Xn-1)≤x}P{Xn≤y}
={1-[1-F(x)]n-1}F(y)．
三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．1. 设随机变量X～N(μ，σ
2)，Y～U[-π，π]，且X，Y相互独立，令Z=X+Y，求f
Z(z)．
解：因为X～N(μ，σ
2)，Y～U[-π，π]，所以X，Y的密度函数为
又X，Y相互独立，所以X，Y的联合密度函数为
则
2. 设
有极限值l，试求a及l的值．
解：由于X→-1时，分母趋于零，这样，为使其存在极限，分子必须也趋于零，即此式为
型未定式．
注意到，为使分子为无穷小量，必须(-1)
3-a+1+4=0，即a=4．
将a=4代入原极限式，再使用洛必达法则，就有
即l=10．
3. 用正交变换化二次型为标准形，并写出所作的正交变换及标准形；
解：
得λ
1=λ
2=1，λ
3=4，
λ
1=1时，
得ξ
1=[1，1，1]，ξ
2=[1，-1，0]．
(取ξ
2时，考虑到既满足方程，是λ=1对应的特征向量，又和ξ
1正交)
得ξ
3=[1，1，-2]，将ξ
1，ξ
2，ξ
3单位化，并合并成正交阵，得
令x=Ty，则
4. 是否存在可逆阵W，使得WW
T=A．其中A是二次型的对应矩阵，若存在，求W，若不存在，说明理由．
5. 总体X的概率密度为
(θ＞0未知)，X
1，X
2，…，X
n为来自总体X的简单随机样本，试求参数θ的最大似然估计量，并讨论是否为无偏估计量．
解：取一组样本值x
1，x
2，…，x
n，均大于等于θ，于是有似然函数
显然，当θ取可能的最大值时，L(θ)为最大．
而θ取值范围是0＜θ≤min{x
1，x
2，…，x
n}，故当θ=min{x
1，x
2，…，x
n}时，L(θ)的最大．
因此，θ的最大似然估计为
即最大似然估计量为
由于
所以
的分布函数为
的分布为密度为
所以
所以
不是θ的无偏估计量．
6. 求(y
3-3xy
2-3x
2y)dx+(3xy
2-3x
2y-x
3+y
2)dy=0的通解．
解：将原给方程通过视察分项组合．
(y
3-3xy
2-3x
2y)dx+(3xy
2-3x
2y-x
3+y
2)dy
=(y
3dx+3xy
3dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x
3ydx+x
3dy)+y
2dy
=0，
即
所以通解为
其中C为任意常数．
7. 设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．
证明：充分性 r(A)＜n，AX=0有非零解，将非零解X组成B，则B≠O，且有AB=O．
必要性 若AB=O，其中B≠O，设B=[β1，β2，…，βs]，则Aβi=0，i=1，2，…，s．其中βi，i=1，2，…，s，不全为0，即AX=0有非零解，故r(A)＜n．
8. 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?
解：设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开始时间为T，则
H(t)=a(t-T)，又b×H(t)×Δs=c×Δt，
于是
，令
，则
，且S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，
由
已知EX=2，
求10. 随机变量Y=e
X的数学期望和方差．
解：
11. 求微分方程y"+4y'+4y=e
-2x的通解．
解：特征方程r
2+4r+4=0的根为r
1=r
2=-2．对应齐次方程的通解为
Y=(C
1+C
2x)e
-2x．
设原方程的特解y
*=Ax
2e
-2x，代入原方程得
因此，原方程的通解为
已知r(A)=r(B)，则线性方程组______
必有非零解．
可见，
，f有一阶连续的偏导数，则
则
深色：已答题 浅色：未答题