一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．2. 设λ
1，λ
2是n阶矩阵A的特征值，α
1，α
2分别是A的对应于λ
1，λ
2的特征向量，则______
- A.当λ1=λ2时，α1，α2对应分量必成比例
- B.当λ1=λ2时，α1，α2对应分量不成比例
- C.当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必成比例
- D.当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必不成比例
A B C D
D
[解析] 当λ1=λ2时，α1与α2可以线性相关也可以线性无关，所以α1，α2可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ1≠λ2时，α1，α2一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)．
4. 设a为常数，
，则f(x)在区间(-∞，+∞)内______
- A.当a＞0时f(x)无零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点
- B.当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)无零点
- C.当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点
- D.当a＞0时f(x)恰有一个零点，当a≤0时f(x)无零点
A B C D
D
[解析] 本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题．
令
由于e
-x＞0，g(x)与f(x)的零点完全一样，又
且仅在一点x=0等号成立，故g(x)严格单调增，所以g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
当a＞0时，f(-∞)＜0，f(+∞)＞0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以f(x)正好有一个零点．
当a≤0，
f(x)无零点．
6. 设矩阵A=(α
1，α
2，α
3，α
4)经行初等变换为矩阵B=(β
1，β
2，β
3，β
4)，且α
1，α
2，α
3线性无关，α
1，α
2，α
3，α
4线性相关。则______．
- A.β4不能由β1，β2，β3线性表示
- B.β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一
- C.β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一
- D.β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定
A B C D
C
[解析] 因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以α4可由α1，α2，α3唯一线性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)经过有限次初等行变换化为B=β1，β2，β3，β4)，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4与x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程组，因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=α1有唯一解，所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解．即β4可由β1，β2，β3
唯一线性表示，选C．
8. 设
则有______
- A.I1＜I2＜I3
- B.I3＜I2＜I1
- C.I2＜I3＜I1
- D.I2＜I1＜I3
A B C D
D
[解析] 首先，由
可得，I
2＜I
1．
其次，
其中
故I
3＞I
1，从而I
2＜I
1＜I
3，故选(D)．
二、填空题1. 设A，B，C是两两独立且不能同时发生的随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=P，则P的最大值为______．
[解析] 由题设
P(AB)=P(AC)=P(BC)=P
2，P(ABC)=0，
于是
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
=3P-3P
2，
而
P(A+B+C)≥P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P-P
2，
即有 3P-3P
2≥2P-P
2，
即P(1-2P)≥0，解得
2. 已知α，β为常数，f(x)可导，则
______．
(α+β)f'(x)
[解析]
3. 设f(x)为连续函数，且
则F'(x)=______．
[解析] 由变限积分求导公式
可知，
4. 设随机变量X的概率分布为
，P{X=1}=a，P{X=3}=b，若E(X)=0，则D(X)=______．
．
[解析] 根据分布律的归一性可知，
，又EX=0，则
，即a+3b=1．联立方程
解得
从而
6. 设D={(x，y)|1≤x
2+y
2≤e
2}，则二重积分
[解析] 被积函数的特点含有x
2+y
2的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便．
三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．1. 计算
解：按第一行展开
得到递推公式
D
5-D
4=-x(D
4-D
3)=…=-x
3(D
2-D
1)．
由于
D
1=1-x，于是得
容易推出D
5=-x
5+x
4-x
3+D
2=-x
5+x
4-x
3+x
2-x+1．
2. 求函数
的间断点，并判断它们的类型．
解：对于函数F(x)的分段点x=0，因
故x=0是函数F(x)的跳跃间断点．
当x＞0时，
在x=1处没有定义，且极限
不存在．故x=1是函数F(x)的振荡间断点．
当x＜0时，
在点列
处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点．特别对点
，令
有
故
是函数F(x)的可去间断点；而点列
显然是函数F(x)的无穷间断点．
3. 设A是n阶实矩阵，证明：tr(AA
T)=0的充分必要条件是A=O．
解：充分性A=O，显然tr(AA
T)=0．
必要性tr(AA
T)=0，设
记B=AA
T，则
即A=O．
4. 求极限
解：方法一 原极限等价于求
令f(t)=arctant，
由拉格朗日中值定理可得
方法二
令
则
所以
5. 若|f(x)|≤1(x∈[-2，2])，又
，证明：
x
0∈(-2，2)，使得f"(x
0)+3f
2(x
0)=0．
证明：令
，要证
x
0∈(-2，2)，F'(x
0)=0，f'(x
0)≠0，我们用前面分析中指出的方法(3)来证明．
由中值定理，
α∈(-2，0)，使得
同理，
β∈[0，2]使得
在[α，β]上的最大值必在(α，β)中某点x
0取到，于是F"(x
0)=0，即f'(x
0)(f"(x
0)+3f
2(x
0))=0．
知f'(x
0)≠0，否则．
与|f(x)|≤1矛盾．
因此f"(x
0)+3f
2(x
0)=0．
6. 若f'(x)＞0(x∈(-2，2))，又
a∈(-2，2)使得f"(a)≥0，证明：
x
0∈(-2，2)使得f"(x
0)+3f
2(x
0)=0．
证明：令
，要证
x
0∈(-2，2)，使得F'(x
0)=0．我们用分析中提到的方法(2)证明．
按假设条件：F'(α)=f'(α)[f"(α)+3f
2(α)]≥0．
若等号成立，则命题得证．若F'(α)＞0，则必
β∈(-2，2)使F'(β)＜0，否则对
x∈(-2，2)，F'(x)＞0与F(-2)＞F(2)矛盾．
因F'(α)，F'(β)异号，
x
0∈(α，β)使得F'(x
0)=f'(x
0)(f"(x
0)+3f
2(x
0))=0，
即f"(x
0)+3f
2(x
0)=0．
[解析] 要证
x
0∈(-2，2)使得f"(x
0)+3f
2(x
0)=0
在(-2，2)内有零点
在(-2，2)内有零点x
0且f'(x
0)≠0
在(-2，2)内有零点x
0且f'(x
0)≠0．
．要证F'(x)在(-2，2)内有零点，常用以下方法．
(1)证明
α，β∈(-2，2)，α≠β，使得F(α)=F(β)；
(2)证明
α，β∈(-2，2)，α≠β，使得F'(α)F'(β)＜0；
(3)证明
α，β∈(-2，2)，F(x)在[α，β]的最大(小)值在(α，β)内取到．
求：7. φ(x)的定义域；
解：先求f(x)的定义域，即级数
的收敛域，显然是[-1，1]．
从而f(1-x)的定义域是-1≤1-x≤1，即0≤x≤2，lnxln(1-x)的定义域是{x＞0}∩{x＜1}={0＜x＜1}．
综上可知函数φ(x)的定义域是(0，1)．
8. φ'(x)．
解：
9. 设f(x，y)在点O(0，0)的某邻域U内连续，且
常数
．试讨论f(0，0)是否为f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?
解：由
再令
于是上式可改写为
由f(x，y)的连续性，有
另一方面，由
知，存在点(0，0)的去心邻域
当
时，有
故在
内，f(x，y)＞0．所以f(0，0)是f(x，y)的极小值．
10. 设b＞a＞0，证明
证明：原不等式
(a+b)(lnb-lna)-2(b-a)＞0，将b改为x，则转化为函数不等式(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)＞0(x＞a)．
令F(x)=(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)＞0，x＞a，则F(x)在[a，+∞)上二阶可导，且
所以当x＞a时，F'(x)单调增加，即
于是F(x)在[a，+∞)上单调增加，所以对b＞a＞0，有
即
11. 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
解：求切线方程的关键是求斜率，因f(x)的周期为5，故在(6，f(6))处和点(1，f(1))处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出f'(1)．
由
得f(1)-3f(1)=0，f(1)=0．又
则4f'(1)=8，f'(1)=2，由f(6)=f(1)=0，f'(6)=f'(1)=2，故所求切线方程为y=2(x-6)．
在区间(-∞，+∞)内零点个数为______
，从而知在区间
内f(x)至少有1个零点，又当x＞0时，
则与Z=Y-X同分布的随机变量是______．
所以选B．
，n=1，2，…．则
深色：已答题 浅色：未答题