银符考试题库-在线练习-考研数学三模拟536

银符考试题库B12

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考研数学三模拟536

一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 设函数f(u)可导，且y+z=xf(y²-z²)确定隐函数z=z(x，y)，则

______

A.z．
B.x
C.y．
D.0．

A B C D

C

[解析]

．

，得

得

选C．

2. 已知α₁=[-1，1，a，4]^T，α₂=[-2，1，5，a]^T，α₃=[a，2，10，1]^T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为______

A.a≠5
B.a≠-4
C.a≠3
D.a≠-3且a≠-4

A B C D

A

[解析] α₁，α₂，α₃是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由

知a≠5．故应选(A)．

3. 已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为______

A.y"-y'-2y=e^x-2xe^x．
B.y"+y'+2y=e^x-2xe^x．
C.y"-y'-2y=-e^x+2xe^x．
D.y"+y'+2y=-e^x+2xe^x．

A B C D

A

[解析] y₁-y₂=e^2x-e^-x为对应齐次方程的解．
特征方程为(λ-2)(λ+1)=0，即λ²-λ-2=0，故对应的齐次方程为y"-y'-2y=0．
代入y₁，有

故非齐次方程为y"-y'-2y=e^x-2xe^x，选A．

4. 函数y=f(x)满足条件f(0)=1，f'(0)=0，当x≠0时，f'(x)＞0，

则它的图形是______
A．

B．

C．

D．

A B C D

B

[解析] 因函数单调增加，且在x=0处有水平切线，选(B)．

5. 差分方程y_t-2y_t-1=b(b为常数)的通解是______．

A.y_t=A2^t+b
B.y_t=2^t-b
C.y_t=A(-2)^t+b
D.y_t=A2^t-b

A B C D

D

[解析] 所给差分方程视为y_t-2y_t-1=b·1^t．因2≠1(特征根不等于底数)，故其特解形式为

=C(C为待定常数)，代入差分方程即得C=2C=b，C=-b，故

=-b．
易知其齐次方程的通解为

=A·2^t．
又

=-b，故其通解为
y_t=

=A·2^t-b，其中A为任意常数．仅D入选．

6. 已知函数

在(-∞，+∞)内连续可导，则______．

A.a=2，b=3
B.a=-2，b=3
C.a=3，b=2
D.a=-3，b=-2

A B C D

A

[解析] 下面介绍一个简化左、右导数计算的方法：
(1)设f(x)在[x₀，x₀+δ](δ＞0)上连续，在(x₀，x₀+δ)内可导，且

存在，则

；
(2)设f(x)在[x₀-δ，x₀](δ＞0)上连续，在(x₀-δ，x₀)内可导，且

存在，则

．
可用上法求之，也可用左、右导数定义求出a、b．

因f(x)在x=0处可导，故f'_-(0)=f'₊(0)，即a=2．
又因f(x)在x=0处连续，故f(0+0)=f(0-0)，即

故3=b．仅A入选．

7. 设函数

则f(x)在点x=0处______

A.极限不存在
B.极限存在，但不连续
C.连续，但不可导
D.可导

A B C D

C

[解析]

不存在，故f'(0)不存在．

8. A是m×n矩阵，线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______．

A.m=n且|A|≠0
B.导出组AX=0有且仅有零解
C.A的列向量组α₁，α₂，…，α_n与α₁，α₂，…，α_n，b等价
D.r(A)=n，且b可由A的列向量组线性表出

A B C D

D

[解析] 利用AX=b有唯一解的充分必要条件是

去判别．
当m=n时，必有

，
因而必有解。又|A|≠0，即m=n=r(A)，则AX=b必有唯一解．这也可由克拉默法则得知，但并不必要，当m≠n时，方程组也可能有唯一解．例如

，AX=b有唯一解．
C是AX-b有唯一解的必要条件，并非充分条件，即两个向量组α₁，α₂，…，α_n与α₁，α₂，…，α_n，b等价是方程组AX=b有解的充要条件，是有唯一解的必要条件．例如

AX=b有解，但解不唯一．
B是AX-b有唯一解的必要条件，并非充分条件．因这时不能保证r(A)=r(A

b)．如AX=0有非零解，则AX=b必没有唯一解，它可能有无穷多解，亦可能无解，当AX=0只有零解时，AX=b可能有唯一解，也可能无解，并不能保证必有唯一解．例如

AX=0仅有零解，而AX=b并无解．
D秩r(A)=n表明A的列向量组线性无关，因而如AX=b有解，则解必唯一．仅r(A)=n还不能保证r(A)=

，因而不能保证AX=b有解(参见B中反例)，b可由A的列向量组线性表出是AX=b有解的充要条件，这两个条件结合才能保证

．因而它们才是AX=b有唯一解的充要条件，仅D入选．
[注意] B、C均是必要条件，前者不能保证r(A)=

，因而不能保证AX=b必有解，后者不能保证AX=b的解唯一．A的列向量线性相关，AX=b绝对没有唯一解，列向量组线性无关最多有唯一解．

二、填空题

1. f(t)为连续函数，D是由y=x³，y=1，x=-1围成的区域，则

=______．

2

[解析] 如下图，由区域的对称性可得

2. 设A，B是两个随机事件，且P(A)+P(B)=0.8，P(A+B)=0.6，则

=______．

0.4

[解析] 因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，且P(A)+P(B)=0.8，P(A+B)=0.6，所以P(AB)=0.2．又因为

，所以

=P(A)+P(B)-2P(AB)=0.8-0.4=0.4．

3. 设

则与直线2x+y=1垂直的曲线y(x)的切线方程为______．

[解析] 由已知得

由于曲线y(x)切线的斜率应为

当x＜0时，

无解．
当x≥0时，

由此得切点为P(1，ln2)．
所求切线方程为

4. 设

B=(E+A)^-1(E-A)，则(E+B)^-1=______．

[解析] E+B=E+(E+A)^-1(E-A)=(E+A)^-1(E+A+E-A)=(E+A)^-12E，
故

5. 函数

的间断点的个数为______．

2

[解析] 应先写出f(x)的表达式：

故知正好有两个间断点

6. 设A是3阶矩阵，其特征值是1，2，-1，那么(A+2E)²的特征值是______．

9，16，1

[解析] 设矩阵A属于特征值λ_i的特征向量是α_i，那么
(A+2E)α_i=Aα_i+2α_i=(λ_i+2)α_i，
(A+2E)²α_i=(A+2E)(λ_i+2)α_i=(λ_i+2)(A+2E)α_i=(λ_i+2)²α_i．
由于α_i≠0，故α_i是矩阵(A+2E)²属于特征值(λ_i+2)²的特征向量，即矩阵(A+2E)²的特征值是9，16，1．

三、解答题
共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．

1. 计算

其中

解：由分部积分法可知

又因为，f(1)=0，

故

2. 计算

解：

则D=D₁+D₂：

所以

3. 设Φ(x)在[a，b]二阶可导，Φ"(x)≤0，在[a，b]的

子区间上Φ"(x)

0，又Φ(a)=Φ(b)=0，求证Φ(x)＞0(x∈(a，b))．

证明：由罗尔定理知，

c∈(a，b)，Φ'(c)=0．由Φ'(x)在[a，b]↘，

Φ(x)在[a，c]↗，在[c，b]↘，

Φ(x)＞Φ(a)=0(a＜x≤c)，
Φ(x)＞Φ(b)=0(c≤x＜b)
因此，
Φ(x)＞0(a＜x＜b)．

4. 设f(x)在[0，1]上可导，且f(x)≥0，f'(x)＜0．求证：函数

满足

证明：令Φ(x)=F(x)-xF(1)，则Φ(x)在[0，1]二阶可导，在[0，1]区间
Φ'(x)=f(x)-F(1)，Φ"(x)=f'(x)＜0
且Φ(0)=F(0)=0，Φ(1)=F(1)-F(1)=0．
由上一小题得
Φ(x)＞0(x∈(0，1))
即F(x)＞xF(1)(x∈(0，1))
将上式两边在[0，1]积分得

由f(x)在[0，1]单调上升，F(1)＞F(x)(x∈(0，1))

设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表．

5. 求先抽到的一份报名表是女生表的概率p；

解：设A_i={所抽取的报名表为第i个地区的}(i=1，2，3)，
B_j={第j次取的报名表为男生报名表}(j=1，2)，则

6. 设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率q．

解：

7.

求a，b及可逆矩阵P，使得P^-1AP=B．

解：由|λE-B|=0，得λ₁=-1，λ₂=1，λ₃=2，因为A～B，所以A的特征值为λ₁=-1，λ₂=1，λ₃=2．
由tr(A)=λ₁+λ₂+λ₃，得a=1，再由|A|=b=λ₁λ₂λ₃=-2，得b=-2，即A=

由(-E-A)X=0，得ξ₁=(1，1，0)^T；
由(E-A)X=0，得ξ₂=(-2，1，1)^T；
由(2E-A)X=0，得ξ₃=(-2，1，0)^T，
令

则

由(-E-B)X=0，得η₁=(-1，0，1)^T；
由(E-B)X=0，得η₂=(1，0，0)^T；
由(2E-B)X=0，得η₃=(8，3，4)^T，
令

则

由

得

令

则P^-1AP=B．

8. 设函数f(x，y)在D上连续，且

其中D由

，x=1．y=2围成，求f(x，y)．

解：设

两边求二重积分，则

从而

故

[解析] 这是一道综合题目，表面看来很复杂．只要分析清楚了并不难．首先可以知道积分

是一个常数，因此

变为

两边再求二重积分就可以解决了．

已知随机变量X₁与X₂的概率分布，

而且P{X₁X₂=0}=1．

9. 求X₁与X₂的联合分布；

解：由联合分布与边缘分布的关系可知，X₁与X₂的联合分布有如下形式：

其中p₁₂=p₃₂=0是由于P{X₁X₂=0}=1，所以，P{X₁X₂≠0}=0．再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下：

10. 问X₁与X₂是否独立?为什么?

解：由联合分布表可以看出

而

所以，X₁与X₂不独立．

11. 已知α=[1，k，1]^T是A^-1的特征向量，其中

求k及α所对应的特征值．

解：由题设A^-1α=λα，λ是A^-1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=λAα，A^-1可逆，λ≠0，

即

对应分量相等，得
3+k=μ，
2+2k=kμ，
3+k=μ，
得2+2k=k(3+k)，k²+k-2=0，得k=1或k=-2．
当k=1时，α=[1，1，1]^T，μ=4，

当k=-2时，α=[1，-2，1]^T，μ=1，

12. 设X与Y相互独立，密度函数分别为：

求Y—X的密度函数．

解：因为X与Y相互独立，所以有

于是

因此

当z＜0时，

当0≤z＜1时

当z≥1时，f_Z(z)=0．
故

一、选择题

1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题

三、解答题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

深色：已答题浅色：未答题