解：sin(B-C)+2sinCcosB-2sinB=sin(B+C)-2sinB=sinA-2sinB=0。由正弦定理可知，。

解：由第一小题可知a=2b=2，根据大角对长边，有∠B＜∠A，∠B一定是锐角。又，则。由余弦定理可知，，解得c=2或。

解：因为①，又n≥2，②，由①-②得，，整理得，验证n=1时，满足。故数列{a_n}的通项公式为。

解：，S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ③，2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n2ⁿ⁺¹④，由③-④得，-S_n=1×2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=-2+(1-n)2ⁿ⁺¹，S_n=(n-1)2ⁿ⁺¹+2。

解：由题意可知，，椭圆的焦点F₁(-c，0)，F₂(c，0)。因为F₂在线段PF₁的中垂线上，所以F₁F₁=PF₂，即有，解得c=1或(舍去)。所以，b²=a²-c²=2-1=1。椭圆的方程为。

解：由题意，假设直线l的方程为y=k(x-2)，将其与椭圆方程联立整理可得，(1+2k²)x²-8k²x+8k²-2=0，因为直线l与椭圆有两个交点，所以，Δ=(-8k²)²-4(1+2k²)(8k²-2)=8-16k²＞0，解得，。又由已知，得k≠0。
   下面证明，只要直线l和椭圆C有两个交点M和N，就有∠NF₂F₁=∠MF₂A。假设点M(x₁，y₁)，点N(x₂，y₂)，则有①，②。注意到∠NF₂A≠90°，则直线NF²和直线MF₂的斜率都存在，记为k_NF2，k_MF2。所以要证∠NF₂F₁=∠MF₂A，只要证k_NF2=-k_MF2，即③。整理③式得2x₁x₂-3(x₁+x₂)+4=0④，将①②代入④可得，即证得等式③恒成立，也即k_NF2=-k_MF2。所以满足题意k的取值范围为。
   

解：由题可得f'(x)=(x+a)e^x，所以f'(0)=a，因为函数f(x)在x=0处的切线与直线y=x+3垂直，所以a=-1。

解：F(x)=(a+a-1)e^x-(x²+2ax+1)，所以F'(x)=(x+a)(e^x-2)。令F'(x)=0，得x=-a或x=ln2。因为F'(x)的两个因式x+a和e^x-2都是随x的增大而增大的，所以在确定F'(x)的符号时只需讨论方程F'(x)=0的两个根的大小即可。①当-a=ln2时，对任意的x∈R，都有F'(x)=(x-ln2)(e^x-2)≥0，所以函数F(x)在R上单调递增；②当-a＞ln2时，有，所以函数F(x)在(-∞，ln2)和(-a，+∞)上单调递增，在(ln2，-a)上单调递减；③当-a＜ln2时，有，所以函数F(x)在(-∞，-a)和(ln2，+∞)上单调递增，在(-a，ln2)上单调递减。

教学目标
   知识与技能目标：
   ①进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定，理解和掌握面面垂直的性质定理；
   ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，运用定理解决相关问题，进一步培养空间观念。过程与方法目标：
   ①通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力及转化的思想；
   ②能够通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识，学会分析问题、解决问题。
   情感、态度与价值观目标：
   ①通过对空间直线与平面、平面与平面位置关系的判断，学生发展合情推理能力和空间想象力，培养质疑思辨、创新的精神；
   ②学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
   教学重难点
   重点：理解并掌握面面垂直的性质定理和推导。
   难点：运用性质定理解决实际问题。

教学过程设计
   一、复习回顾
   1．面面垂直的定义：两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
   2．面面垂直的判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
   二、引入新课
   思考1．(情境导入)
   教师的黑板所在的平面与地面是什么关系?能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
   思考2．(事例导入)
   
   如图，平面α，β，由，α⊥β，是否可以得到b⊥β?
   三、探究新知
   如图，设α⊥β，α∩β=l，观察两垂直平面中，一个平面内的直线与另一个平面有哪些位置关系?
   
   当平面α内直线b满足什么条件时b⊥β?
   1．创设情境
   将面面垂直的判定定理的条件和结论互换，得到的新命题是否还成立。结合黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗，这样的直线分别有什么性质?试说明理由。
   2．新课教学
   由前面小实验，学生体会由特殊到一般的数学思想，并总结出直观结论。
   面面垂直的性质定理：
   两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
   符号语言表述
   
   注：①学习自然语言转化为数学语言：符号化。
   ②揭示定理的内涵：在平面内作交线的垂线，体现“平面化”的数学思想。
   我们知道．面面垂直也可通过线面垂直来证明，这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。
   3．巩固练习
   已知α⊥β，α∩β=l，判断下列命题的正误。
   ①平面α内的任意一条直线必垂直于平面β。______
   ②垂直于交线l的直线必垂直于平面β。______
   ③过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β。______
   四、课堂小结
   ①平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
   ②证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直。
   ③线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。

证：设平面M垂直于平面N，交线为c，在平面M内作直线a⊥c，垂足为O，在平面N内过O点作c的垂线b，则a，b所成的角就是二面角M-c-N，从而a⊥b，又b，c是平面N内的相交线，所以a垂直于平面N。