一、单项选择题2. 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为______
输入x
If x≤50 Then
y=0.5*x
Else
y=25+0.6*(x-50)
End If
输出y
A B C D
C
[解析] 由程序框图可知，该程序的作用是计算并输出分段函数y=
的函数值。当x=60时，y=25+0.6(60-50)=31，故选C。
二、填空题1. 设函数
，数列{a
n}满足a
n=f(n)，n∈N*，且数列{a
n}是递增数列，则实数c的取值范围是______.
(2，3)
[解析] 数列{a
n}是递增数列，所以有
，f(7)＜f(8)．所以7(3-c)-3＜c
2，解得c＜-9，或c＞2，所以，实数c的取值范围是(2，3)．
2. 已知向量a=(1，3)，b=(-2，-4)，且(2a-mb)∥(a+b)，则m=______。
-2
[解析] 由已知可得，2a-mb=(2+2m，6+4m)，a+b=(-1，-1)，又因为(2a-mb)∥(a+b)，故
，解得m=-2。
3. 二项式
的展开式中有理项的项数为______。
2
[解析] 根据题意，二项式的展开式的通项为
，所以当k=3和k=9时展开项为有理项。
4. 极限
______。
ea-b
[解析]
5. 如果一桶油连桶重8千克，用去2/7后连桶重6千克，那么原来桶中有油______千克，桶重______千克．
7 1
[解析] 由题意：m
桶+m
油=8，
m
油=7，m
桶=1．
三、解答题如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC。
1. 求证：PA为⊙O的切线；
证：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°。
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°。
∵∠P=∠BAC，
∴∠P+∠AOP=90°。
∴∠PAO=90°，即OA⊥AP。
又∵OA是⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线。
2. 若OB=5，
，求AC的长。
解：由(1)知，∠PAO=90°。
∵OB=5，
∴OA=OB=5。
又
∴在Rt△APO中，
由第一小题知，∠ACB=∠PAO=90°。
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴
，解得AC=8，即AC的长度为8。
3. 已知甲、乙两煤矿每年产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地。东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格为1元/吨和1.5元/吨。乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨。煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?
解：设甲煤矿向东车站运了x万吨，乙煤矿向东车站运了y万吨，总运费为W。
由题可得方程组：
且有总运费W=[1×x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y)]×10
4=10
4×(780-0.5x-0.8y)，②
②可进一步化作y=-0.625x+975-1.25x10
-4W。③
可画出①的图象，如图所示：
利用线性规划可知，当
时总运费最小，
此时总运费W=10
4×(780-0.5×200-0.8×80)=616×10
4。
答：甲煤矿应全部通过东车站运输，乙煤矿应通过东车站运输80万吨，通过西车站运输220万吨，此时有最小运费为616万元。
4. 求证：AB⊥平面BCF；
证：∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC。
又∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，
∴AB⊥FC。
∵BC∩FC=C，
∴AB⊥平面BCF。
5. 证明五点A，B，C，E，F在同一个球面上，并求A，F两点的球面距离。
证：由第一小题知，△ABF为直角三角形，且∠ABF=90°。
记EC与AF交于点O。
∵四边形ACFE是矩形，
∴A，B，C，E，F在以O为球心，AF为直径的球面上，
∴A，F两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，为
对称，且f'(1)=0．6. 求实数a、b的值；
解：f'(x)=6x
2+2ax+b，
∵若函数y=f'(x)的图象关于直线
对称，且f'(1)=0，
，解得a=3，b=-12．
7. 求函数f(x)的极值．
解：代入a=3，b=-2得f(x)=2x
3+3x
2-12x+1，
f'(x)=6x
2+6x-12=6(x+2)(x-1)，
f(x)的变化如下：
| x |
(-∞，-2) |
-2 |
(-2，1) |
1 |
(1，+∞) |
| f'(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
| f(x) |
↗ |
极大值21 |
↘ |
极小值-6 |
↗ |
当x=1时，f(x)取极小值，极小值为-6；当x=-2时，f(x)取极大值，极大值为21．
8. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m＞0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x
1、x
2、x
3、x
4，求四数之和x
1+x
2+x
3+x
4。
解：因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-4)=f(-x)。由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0。
由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数。又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[-2，0]上也是增函数。
如图所示，那么方程f(x)=m(m＞0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x
1，x
2，x
3，x
4，不妨设x
1＜x
2＜x
3＜x
4，由对称性知x
1+x
2=-12、x
3+x
4=4。所以x
1+x
2+x
3+x
4=-12+4=-8。
9. 客车与货车同时从A，B两地相向而行，第一次相遇时距离A地140千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发地后立即沿原路返回。第二次相遇时离A地的距离是A，B两地距离的60%，A，B两地距离为多少千米?
解：(算式解法)两车第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，两车一共行了3个AB的路程，可以推算出客车、货车各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍，即客车共走的路程是140×3=420千米，客车一共走了全程的(1+40%)，据此解答即可。
140×3÷(1+40%)=300(千米)
(方程解法)设AB距离为S千米，则第二次相遇时客车行驶了1.4S千米，火车行驶了1.6S千米，设客车速度v
1千米/时，货车速度为v
2千米/时，第一次相遇时，客车行驶140千米，则火车行驶(S-140)千米，则列出方程如下：
化简得140:(S-140)=7:8，解得S=300
答：A、B两地的距离为300千米。
图1
图2
备用图
10. 问题发现
①当α=0°时，
；②当α=180°时，
。
解：
11. 拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，
的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明。
解：无变化。
在图1中，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∠EDC=∠B=90°。
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
然成立。
又∵∠ACE=∠BCD=α，
∴△ACE∽△BCD，
在Rt△ABC中，
12. 问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长。
解：
[提示] 当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴
；当△EDC在BC下方，且A，D，E三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD=8，∴AE=6，根据
可求得
种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有
种不同的选法，所以不同的选法共有
。
。
深色：已答题 浅色：未答题