单项选择题 每题的备选项中只有一个最符合题意。
1. 设
已知
则t=
A B C D
C
[解析]
已知
则-4=3t-1,t=-1
或t+1=0,t=-1
2. 设平面方程为x+y+z+1=0,直线方程为1-x=y+1=z,则直线与平面:
A B C D
D
[解析] 直线的点向式方程为
。平面x+y+z+1=0,平面法向量
。而
故
坐标不成比例,即
因此
不平行于
从而可知直线与平面不平行、不重合且直线也不垂直于平面。
4. 若函数f(x)在点x
0 间断,g(x)在点x
0 连续,则f(x)g(x)在点x
0 :
A.间断 B.连续 C.第一类间断 D.可能间断可能连续
A B C D
D
[解析] 通过举例来说明。
设点
在x
0 =0间断,g(x)=0,在x
0 =0连续,而f(x)·g(x)=0,在x
0 =0连续。
设点
在x
0 =0间断,g(x)=1,在x
0 =0。
连续,而
在x
0 =0间断。
5. 函数
在x处的导数是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 利用复合函数求导公式计算,本题由
复合而成。
所以
7. 设z=f(x
2 -y
2 ),则dz=
A.2x-2y B.2xdx-2ydy C.f'(x2 -y2 )dx D.2f'(x2 -y2 )(xdx-ydy)
A B C D
D
[解析] 本题为二元复合函数求全微分,计算公式为
代入得:
dz=f'(x
2 -y
2 )·2xdx+f'(x
2 -y
2 )(-2y)dy=2f'(x
2 -y
2 )(xdx-ydy)
8. 若
则
=
A.
B.
C.F(x)+C
D.
A B C D
B
[解析] 将积分变形:
利用已知条件∫f(x)dx=F(x)+C,得出
11. 下列结论中正确的是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 逐项排除法。
选项A:x=0为被积函数
的无穷不连续点,计算方法:
只要判断其中一个发散,即广义积分发散,计算
所以选项A错误。
选项B:
选项C:
选项D:由
为标准正态分布的概率密度函数,可知
收敛。
也可用该方法判定:
因此,
收敛,选项D错误。
12. 曲面x
2 +y
2 +z
2 =2z之内及曲面z=x
2 +y
2 之外所围成的立体的体积V=
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 利用柱面坐标计算三重积分。
立体体积
联立
消z得D
xy :x
2 +y
2 ≤1,
由x
2 +y
2 +z
2 =2z,得到x
2 +y
2 +(z-1)
2 =1,(z-1)
2 =1-x
2 -y
2 ,
积分区域Ω在柱面坐标下的形式为
,dV=rdrdθdz,写成三次积分。
先对z积分,再对r积分,最后对θ积分,即得选项D。
13. 已知级数
是收敛的,则下列结论成立的是:
A.
必收敛
B.
未必收敛
C.
D.
发散
A B C D
B
[解析] 通过举例说明。
①取u
n =1,级数
级数发散,而
级数收敛。
②取u
n =0,
级数收敛,而
级数收敛。
14. 函数
展开成(x-1)的幂级数是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 将函数
变形,利用公式
将函数展开成x-1幂级数,即变形
利用公式写出最后结果。
所以
15. 微分方程(3+2y)xdx+(1+x
2 )dy=0的通解为:
A.1+x
2 =Cy
B.(1+x
2 )(3+2y)=C
C.
D.(1+x
2 )
2 (3+2y)=C
A B C D
B
[解析] 方程的类型为可分离变量方程,将方程分离变量得
两边积分:
ln(1+x
2 )+ln(3+2y)=-2C,令-2C=lnC
1 ,ln(1+x
2 )+ln(3+2y)=lnC
1 ,故(1+x
2 )(3+2y)=C
1 。
16. 微分方程y"+ay'
2 =0满足条件y|
x=0 =0,y'|
x=0 =-1的特解是:
A.
B.
C.ax-1
D.
A B C D
A
[解析] 本题为可降阶的高阶微分方程,按不显含变量x计算。设y'=P,y"=P',方程化为
分离变量,
积分得
代入初始条件x=0,P=y'=-1,得C
1 =1,即
求出通解,代入初始条件,求出特解。
即
代入初始条件x=0,y=0,得C=0。
故特解为
17. 设α
1 ,α
2 ,α
3 是3维列向量,|A|=|α
1 ,α
2 ,α
3 |,则与|A|相等的是:
A.|α2 ,α1 ,α3 | B.|-α2 ,-α3 ,-α1 | C.|α1 +α2 ,α2 +α3 ,α3 +α1 | D.|α1 ,α1 +α2 ,α1 +α2 +α3 |
A B C D
D
[解析] 利用行列式的运算性质变形、化简。
A项:
错误。
B项:
错误。
C项:|α
1 +α
2 ,α
2 +α
3 ,α
3 +α
1 |=|α
1 ,α
2 +α
3 ,α
3 +α
1 |+|α
2 ,α
2 +α
3 ,α
3 +α
1 |=|α
1 ,α
2 +α
3 ,α
3 |+|α
1 ,α
2 +α
3 ,α
1 |+|α
2 ,α
2 ,α
3 +α
1 |+|α
2 ,α
3 ,α
3 +α
1 |=|α
1 ,α
2 +α
3 ,α
3 |+|α
2 ,α
3 ,α
3 +α
1 |=|α
1 ,α
2 ,α
3 |+|α
2 ,α
3 ,α
1 |=|α
1 ,α
2 ,α
3 |+|α
1 ,α
2 ,α
3 |=2|α
1 ,α
2 ,α
3 |,错误。
D项:
20. 设
与A合同的矩阵是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由合同矩阵定义,若存在一个可逆矩阵C,使C
T AC=B,则称A合同于B。
取
可逆,可验证
22. 设随机变量X~N(0,σ
2 ),则对任何实数λ,都有:
A.P(X≤λ)=P(X≥λ) B.P(X≥λ)=P(X≤-λ) C.X-λ~N(λ,σ2 -λ2 ) D.λX~N(0,λσ2 )
A B C D
B
[解析] (1)判断选项A、B对错。
方法1:利用定积分、广义积分的几何意义
S为[a,b]上曲边梯形的面积。
N(0,σ
2 )的概率密度为偶函数,图形关于直线x=0对称。
因此选项B对,选项A错。
方法2:利用正态分布概率计算公式
选项B对,选项A错。
(2)判断选项C、D对错。
方法1:验算数学期望与方差
E(X-λ)=μ-λ=0-λ=-λ≠λ(λ≠0时),选项C错;
D(λX)=λ
2 σ
2 ≠λσ
2 (λ≠0,λ≠1),选项D错。
方法2:利用结论
若X~N(μ,σ
2 ),a、b为常数且a≠0,则aX+b~N(aμ+b,a
2 σ
2 );
X-A~N(-λ,σ
2 ),选项C错;
λX~N(0,λ
2 σ
2 ),选项D错。
23. 设随机变量x的概率密度为
的数学期望是:
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析]
24. 设总体X的概率密度为
而X
1 ,X
2 ,…,X
n 是来自该总体的样本,则未知参数θ的最大似然估计是:
A.
B.
C.min(X
1 ,X
2 ,…,X
n )
D.max(X
1 ,X
2 ,…,X
n )
A B C D
C
[解析] 似然函数:
lnL(θ)及L(θ)均为θ的单调增函数,θ取最大值时,L(θ)取最大值。
由于x
1 ,x
2 …,x
n ≥θ,因此θ的极大似然估计值为min(x
1 ,x
2 ,…,x
n )。
26. 在恒定不变的压强下,气体分子的平均碰撞频率
与温度T的关系为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 气体分子的平均碰撞频率
其中
为分子的平均速率,n为分子数密度(单位体积内分子数),
于是
所以p不变时,
成反比。
29. 已知平面简谐波的方程为y=Acos(Bt-Cx),式中A、B、C为正常数,此波的波长和波速分别为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 比较平面谐波的波动方程
故周期
频率v=
波长
,由此波速
35. 波长分别为λ
1 =450nm和λ
2 =750mn的单色平行光,垂直入射到光栅上,在光栅光谱中,这两种波长的谱线有重叠现象,重叠处波长为λ
2 谱线的级数为:
A.2,3,4,5,… B.5,10,15,20,… C.2,4,6,8,… D.3,6,9,12,…
A B C D
D
[解析]
即
故重叠处波长λ
2 的级数k
2 必须是3的整数倍,即3,6,9,12,…。
36. 一束自然光从空气投射到玻璃板表面上,当折射角为30°时,反射光为完全偏振光,则此玻璃的折射率为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 注意到“当折射角为30°时,反射光为完全偏振光”,说明此时入射角即起偏角i
0 。根据
再由
可得
39. 已知下列电对电极电势的大小顺序为:E(F
2 /F)>E(Fe
3+ /Fe
2+ )>E(Mg
2+ /Mg)>E(Na
+ /Na),则下列离子中最强的还原剂是:
A B C D
B
[解析] 电对中,斜线右边为氧化态,斜线左边为还原态。电对的电极电势越大,表示电对中氧化态的氧化能力越强,是强氧化剂;电对的电极电势越小,表示电对中还原态的还原能力越强,是强还原剂。所以依据电对电极电势大小顺序,知氧化剂强弱顺序:F2 >Fe3+ >Mg2+ >Na+ ;还原剂强弱顺序:Na>Mg>Fe2+ >F。
42. 将反应MnO
2 +HCl→MnCl
2 +Cl
2 +H
2 O配平后,方程式中MnCl
2 的系数是:
A B C D
A
[解析] 可以用氧化还原配平法。配平后的方程式为MnO2 +4HCl=MnCl2 +Cl2 +2H2 O。
48. 等边三角形ABC,边长为a,沿其边缘作用大小均为F的力F
1 、F
2 、F
3 ,方向如图所示,力系向A点简化的主矢及主矩的大小分别为:
A.
B.
C.
D.F
R =2F,M
A =Fa
A B C D
A
[解析] 将力系向A点简化,F
3 沿作用线移到A点,F
3 平移到A点附加力偶即主矩
三个力的主矢F
Ry =0,F
Rx =F
1 +F
2 sin30°+F
3 sin30°=2F(向左)。
49. 已知杆AB和杆CD的自重不计,且在C处光滑接触,若作用在杆AB上力偶矩为M
1 ,若欲使系统保持平衡,作用在CD杆上力偶矩M
2 的,转向如图所示,则其矩值为:
A.M
2 =M
1 B.
C.M
2 =2M
1 D.M
2 =3M
1
A B C D
A
[解析] 根据受力分析,A、C、D处的约束力均为水平方向(如图),考虑杆AB的平衡∑M=0,m
1 -F
NC ·a=0,可得
分析杆DC,采用力偶的平衡方程
即得m
2 =m
1 。
52. 杆OA=l,绕固定轴O转动,某瞬时杆端A点的加速度a如图所示,则该瞬时杆OA的角速度及角加速度分别为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 根据定轴转动刚体上一点加速度与转动角速度、角加速度的关系:a
n =ω
2 l,a
τ =αl,而题中
53. 图示绳子的一端绕在滑轮上,另一端与置于水平面上的物块B相连,若物块B的运动方程为x=kt
2 ,其中k为常数,轮子半径为R。则轮缘上A点的加速度大小为:
A.2k
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 物块B的速度为:
加速度为:
而轮缘点A的速度与物块B的速度相同,即v
A =v
B =2kt;轮缘点A的切向加速度与物块B的加速度相同,则
55. 均质圆盘质量为m,半径为R,在铅垂平面内绕O轴转动,图示瞬时角速度为ω,则其对O轴的动量矩和动能大小分别为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 根据定轴转动刚体动量矩和动能的公式:
其中:
56. 质量为m,长为2l的均质细杆初始位于水平位置,如图所示。A端脱落后,杆绕轴B转动,当杆转到铅垂位置时,AB杆角加速度的大小为:
A.0
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 根据定轴转动微分方程J
Bα =M
B (F),当杆转动到铅垂位置时,受力如图所示,杆上所有外力对B点的力矩为零,即M
B (F)=0。
57. 均质细杆AB重力为P,长为2l,A端铰支,B端用绳系住,处于水平位置,如图所示。当B端绳突然剪断瞬时,AB杆的角加速度大小为
,则A处约束力大小为:
A.F
Ax =0,F
Ay =0
B.
C.
D.F
Ax =0,F
Ay =P
A B C D
B
[解析] 绳剪断瞬时(见图),杆的ω=0,
则质心的加速度
根据质心运动定理:
62. 图示圆轴抗扭截面模量为W
t ,剪切模量为G,扭转变形后,圆轴表面A点处截取的单元体互相垂直的相邻边线改变了γ角,如图所示。圆轴承受的扭矩T为:
A.T=GγW
t B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 圆轴表面
又τ=Gr,所以T=τW
t =GγW
t 。
63. 矩形截面挖去一个边长为α的正方形,如图所示,该截面对z轴的惯性矩I
z 为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 图中正方形截面
整个截面
64. 图示外伸梁,A截面的剪力为:
A.0
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 设F
A 向上,∑M
C =0,m-F
A L=0,则
再用直接法求A截面的剪力
66. 图示四个悬臂梁中挠曲线是圆弧的为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由集中力偶M产生的挠曲线方程
是x的二次曲线可知,挠曲线是圆弧的为选项B。
69. 图示圆轴,在自由端网周边界承受竖直向下的集中力F,按第三强度理论,危险截面的相当应力σ
eq3 为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 把力F沿轴线z平移至圆轴截面中心,并加一个附加力偶,则使圆轴产生弯曲和扭转组合变形。最大弯矩M=FL,最大扭矩
70. 两根完全相同的细长(大柔度)压杆AB和CD如图所示,杆的下端为固定铰链约束,上端与刚性水平杆同结。两杆的弯曲刚度均为EI,其临界载荷F
a 为:
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 当压杆AB和CD同时达到临界荷载时,结构的临界荷载:
77. 有一个普通完全井,其直径为1m,含水层厚度H=11m,土壤渗透系数k=2m/h。抽水稳定后的井中水深h
0 =8m,试估算井的出水量:
A.0.084m3 /s B.0.017m3 /s C.0.17m3 /s D.0.84m3 /s
A B C D
B
[解析] 先用经验公式
求影响半径R;
再应用普通完全井公式
代入题设数据后有:
流量
83. 图示电路中,若u=U
M sin(wt+ψ
u ),则下列表达式中一定成立的是:
式1:u=u
R +u
L +u
C 式2:u
X =u
L -u
C 式3:U
X <U
L 及U
X <U
C 式4:
A.式1和式3 B.式2和式4 C.式1,式3和式4 D.式2和式3
A B C D
A
[解析] 在正弦交流电路中,分电压与总电压的大小符合相量关系,电感电压超前电流90°,电容电流落后电流90°。
式2应该为:u
X =u
L +u
C 式4应该为:
94. 将放大倍数为1、输入电阻为100Ω、输出电阻为50Ω的射极输出器插接在信号源(u
s ,R
s )与负载(R
L )之间,形成图b)电路,与图a)电路相比,负载电压的有效值:
A.UL2 >UL1 B.UL2 =UL1 C.UL2 <UL1 D.因为us 未知,不能确定UL1 和UL2 之间的关系
A B C D
C
[解析] 理解放大电路输入电阻和输出电阻的概念,利用其等效电路计算可得结果。
图a):
图b):等效电路图
所以U
L2 <U
L1 。