一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1. 函数
在x=0处______
- A.连续且取得极大值
- B.连续且取得极小值
- C.可导且导数为0
- D.可导且导数不为0
A B C D
D
[考点] 本题考查连续与可导的定义及函数极限.
[解析] 因为
,所以f(x)在x=0处连续.因为
即f(x)在x=0处可导且
故答案为D.
2. 设函数f(x,y)可微,且f(x+1,e
x)=x(x+1)
2,f(x,x
2)=2x
2lnx,则df(1,1)=______
A B C D
C
[考点] 本题考查多元复合函数微分法.
[解析] 两边对x同时求导,得
,(1)
,(2);将x=0代入(1)式,得
1,(3);将x=1代入(2)式,得
;联立(3)(4),解得
,
,所以
.故答案为C.
3. 设函数
在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx
2+cx
3,则______
A.a=1,b=0,
B.a=1,b=0,
C.a=-1,b=-1,
D.a=-1,b=-1,
A B C D
A
[考点] 本题考查函数的麦克劳林展开式.
[解析] 由麦克劳林展开式,知
,所以
,即a=1,b=0,
故答案为A.
4. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,则
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题考查定积分的定义.
[解析] f(x)在区间[0,1]上连续,故f(x)在区间[0,1]上可积.将区间[0,1]进行n等分,则每个小区间的长度为
,取第k个小区间中点处的函数值,即
,k=1,2,…,n.由定积分的定义,得
.故答案为B.
5. 二次型f(x
1,x
2,x
3)=(x
1+x
2)
2+(x
2+x
3)
2-(x
3-x
1)
2的正惯性指数与负惯性指数依次为______
A B C D
B
[考点] 本题考查求矩阵的特征值及二次型的正负惯性指数.
[解析] 二次型
2x
2x
3+2x
3x
1对应的二次型矩阵
所以A的特征值为-1,0,3,正惯性指数与负惯性指数依次为1,1.故答案为B.
6. 已知
,记β
1=α
1,β
2=α
2-kβ
1,β
3=α
3-l
1β
1-l
2β
2若β
1,β
2,β
3两两正交,则l
1,l
2依次为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查施密特正交化.
[解析] 利用施密特正交化,得
两两正交,所以
故答案为A.
7. 设A,B为n阶实矩阵,下列不成立的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查分块矩阵的秩.
[解析] r(A)=r(A
T)=r(AA
T)=r(A
TA),得
,故A项成立;因为AB的列向量可以由A的列向量线性表示,所以r(A,AB)=r(A),
,故B项成立;而BA的列向量不一定能由A的列向量线性表示,因此r(A,BA)≥r(A),所以
故C项不成立;因为BA的行向量可以由A的行向量线性表示,所以
,故D项成立.
8. 设A,B为随机事件,且0<P(B)<1,下列命题中不成立的是______
A.若P(A|B)=P(A),则
B.若P(A|B)>P(A),则
C.若
,则P(A|B)>P(A)
D.若
,则P(A)>P(B)
A B C D
D
[考点] 本题考查概率的性质及条件概率.
[解析] 由P(A|B)=P(A)得,A,B相互独立,则
,故A项成立;
,得P(AB)>P(A)P(B),则
,故B项成立;由
,得
P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)]
P(AB)>P(A)P(B),则
故C项成立;
由
,得
,D项不成立,故答案为D.
9. 设(X
1,Y
1),(X
2,Y
2),…,(X
n,Y
n)为来自总体
的简单随机样本,令
,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查二维正态分布及其期望、方差、协方差、相关系数的性质.
[解析] (X
1,Y
1),(X
2,Y
2),…,(X
n,Y
n)为来自总体
的简单随机样本,
,i=1,2,…,n.
,且X
i,Y
i的相关系数为ρ,i=1,2,…,n,且X
1,X
2,…,X
n相互独立,Y
1,Y
2,…,Y
n相互独立,X
i,Y
j(i≠j)相互独立.
.因为
所以
是θ的无偏估计;
故答案为C.
10. 设X
1,X
2,…,X
16是来自总体N(μ,4)的简单随机样本,考虑假设检验问题:H
0:μ≤10,H
1:μ>10.Φ(x)表示标准正态分布函数,若该检验问题的拒绝域为
,其中
,则μ=11.5时,该检验犯第二类错误的概率为______
- A.1-Φ(0.5)
- B.1-Φ(1)
- C.1-Φ(1.5)
- D.1-Φ(2)
A B C D
B
[考点] 本题考查假设检验的第二类错误.
[解析] 假设检验的第二类错误是当原假设H
0不真的前提下,接受原假设H
0.记假设检验的第二类错误的概率为β,即β=P{接受H
0|H
0不真}=
.又σ
2=4
σ=2.由已知,选取的检验统计量为
,所以
故答案为B.
二、填空题1.
[考点] 本题考查无穷积分.
[解析]
2. 设函数y=y(x)由参数方程
确定,则
[考点] 本题考查参数方程求二阶导数.
[解析]
3. 欧拉方程x
2y
"+xy
'-4y=0满足条件y(1)=1,y
'(1)=2的解为y=______.
y=x2
[考点] 本题考查欧拉方程的解法.
[解析] 令x=e
t,则
y
'(x)e
t+xy"(x)e
t=xy
'(x)+x
2y"(x),则原方程可化为
,该方程的特征方程为λ
2-4=0,其特征值为λ
1=2,λ
2=-2,则原方程的通解为y=C
1e
2t+C
2e
-2t,将x=e
t代入,原方程的通解为
又因为y(1)=1,y'(1)=2,得
所以y=x
2.
4. 设∑为空间区域{(x,y,z)|x
2+4y
2≤4,0≤z≤2}表面的外侧,则曲面积分
4π
[考点] 本题考查曲面积分.
[解析] 由高斯公式,得
,其中,Ω为∑围成的封闭区域,Ω为椭圆柱体,在xOy平面上的区域为椭圆
;Ω关于yOz平面对称,则
;Ω关于xOz平面对称,则
.所以
5. 设A=(a
ij)为3阶矩阵,A
ij为代数余子式,若A的每行元素之和均为2,且|A|=3,则A11+A21+A31=______.
[考点] 本题考查伴随矩阵的性质.
[解析] 因为A的每行元素之和均为2,则有
,即λ=2为A的特征值,
为λ=2对应的特征向量,所以A
*的其中一个特征值为
,对应的特征向量是
,即
,故
6. 甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数,则X与Y的相关系数为______.
[考点] 本题考查随机事件的概率及相关系数.
[解析] 由题意知,X,Y可能的取值分别为0,1,P{X=0,Y=0}=P{Y=0|X=0}
,
所以X,Y的联合分布律及边缘分布律为
得E(X)=E(Y)=0.5,E(X
2)=E(Y
2)=0.5,E(XY)=0.3,D(X)=E(X
2)-[E(X)]
2=0.25,D(Y)=0.25,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.3-0.5
2=0.05,故X与Y的相关系数
三、解答题本题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 求极限
2. 设
,求级数
的收敛域及和函数.
解:令
可以看作以e
-x为公比的等比级数,
当|e
-x|许1,即x>0时,
收敛,
且当x>0时,
对于
则当|x|<1,即-1<x<1时,绝对收敛,
又因为当x=±1时,级数为
,级数收敛,
所以
的收敛域为[-1,1],
从而
的收敛域为(0,1].
令
当x∈(0,1)时,
所以当x∈(0,1)时,
3. 已知曲线
求C上的点到xOy坐标面距离的最大值.
解:设曲线C上的点的坐标为(x,y,z),其到xOy平面的距离为|z|,
则令目标函数为f(x,y,z)=z
2,约束条件为
构造拉格朗日函数
当λ=0时,由(1)得,μ=0,由(3)得z=0,代入(4)(5)得
当λ≠0时,由(1)(2)得,x=4y,与(4)(5)联立
得
f(4,1,12)=12
2,f(-8,-2,66)=66
2,
所以距离的最大值为66.
4. 设
是有界单连通闭区域,
取得最大值的积分区域记为D
1.
(1)求I(D
1)的值;
(2)计算
,其中
是D
1的正向边界.
解:(1)令f(x,y)=4-x
2-y
2,要使
取得最大值,则f(x,y)=4-x
2-y
2≥0,且区域D中不包含使得f(x,y)=4-x
2-y
2<0的点,所以当区域D1={(x,y)|x
2+y
2≤4}时,I(D)取得最大值.
(2)
且P(x,y),Q(x,y)在区域D
1有奇点,补充区域D
2={(x,y)|x
2+4y
2≤ε
2},
为D的边界,取顺时针方向,则
5. 已知
(1)求正交矩阵P,使得P
TAP为对角矩阵;
(2)求正定矩阵C,使得C
2=(a+3)E-A,E为3阶单位矩阵.
解:(1)
所以A的特征值为λ
1=λ
2=a-1,λ
3=a+2,
当λ
1=λ
2=a-1,
解得特征向量,
当λ
3=a+2时,
解得特征向量,
,α
3与α
1,α
2正交,
将α
1,α
2进行施密特正交化得,
将β
1,β
2,α
3单位化
(2)
因为C是正定矩阵,所以
(注:答案不唯一)
6. 在区间(0,2)上随机取一点,将该区间分成两段,较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y,令
(1)求X的概率密度;
(2)求Z的概率密度;
(3)求
解:(1)因为X+Y=2,且0<X<Y,则X在(0,1)上服从均匀分布,所以X的概率密度为
(2)因为X+Y=2,则
,Z的分布函数为
当z<1时,
显然不成立,所以F
Z(z)=0;
当z≥1时,
(方法一)
综上可知,
所以Z的概率密度为
(方法二)
所以Z的概率密度为
综上可知,Z的概率密度为
(3)