A

[解析] 由A+2B=(α+2β，3γ₁，3γ₂，3γ₃)
   知|A+2B|=27|α+2β，γ₁，γ₂，γ₃|
   =27(|A|+2|B|)=135.

D

[解析] 对于①，由知，r(A)≥2，但，不能得到r(A)＜3(所有3阶子式全为0才可以得到r(A)＜3)，所以①错误．
   对于②，由知，线性无关，于是增加分量得与仍线性无关，所以②正确．
   对于③，由知，(a₁₁，a₁₂，a₁₃)，(a₂₁，a₂₂，a₂₃)，(a₃₁，a₃₂，a₃₃)线性相关，但增加分量后得到的β₁，β₂，β₃不一定线性相关，故③不正确．
   对于④，由知，α₁，α₂，α₃线性相关，故④正确．
   选D．

C

C

[解析] 当a=-1时，r(A)=1，再由AB=0，得r(A)+r(B)≤3．可见当a=-1时，秩r(B)有可能为1也可能为2，故A、B不正确．
   当a=1时，r(A)=2，由AB=0，得r(A)+r(B)≤3r(B)≤1，又B是非零矩阵，故r(B)=1．

C

[解析] 令f'(x)=2x(4-x²)ln(1+x²)=0，得x₁=-2，x₂=0，x₃=2．
   当x＜-2时，f'(x)＞0；当x∈(-2，0)时，f'(x)＜0；当x∈(0，2)时，f'(x)＞0；当x＞2时，f'(x)＜0，则x₁=-2，x₃=2为f(x)的极大值点，x₂=0为f(x)的极小值点，选C.

B

[解析] 根据对称性，令D₁={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤x}，
   
   选B．

D

C

B

[解析]

C

5(n重)，任意n维非零向量

[解析] 先把曲线方程化为参数方程于是在处，x=0，，，则L在点处的切线方程为，即．

y=ln(1+x²)+2

[解析] 令y'=p(x)，则，于是，即
   
   令，则p=ux，，于是
   
   分离变量得
   两端积分
   得
   从而
   即
   由y'|_x=1-1得C₂=-1，故．于是
   
   又由y|_x=0=2得C₃=2，故所求特解为y=ln(1+x²)+2.

-2；2

[解析] [x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-π]=-4．所以
   因此对于所讨论的极限应分x→0^-与x→0⁺讨论．
   
   所以当且仅当a=-2时上述极限存在，该极限值为2．

24

[解析] 易得
   
   因为
   又因为
   
   
   因此．

解：因为
   
   从而有
   
   利用上述公式
   

解：两边关于x求导，得
  
   解得
  
   所以
  

[考点] 一元函数微积分

解：方法一：
   
   在区域D内作圆x²+y²=x，将区域D分为D₁，D₂，则
   
   第一卦限的角平分线将D₁分为D₁₁及D₁₂，
   
   而
   
   方法二：
   在区域D内作圆x²+y²=x，将区域D分为D₁，D₂，则
   
   而
   又

解：令y'=p(y)，则，于是
   
   分离变量得
   两端积分得ln|p|=ln|y|+ln|C₁|，
   从而p=y'=C₁y，
   即
   分离变量得
   两端积分得ln|y|=C₁x+ln|C₂|，
   即y=C₂e^c₁x
   由y(0)=1得C₂=1，故y=e^C₁x．
   由题意，，解得C₁=1，因此
   y=e^x．
   故所求体积为
   
   所求体积的解法是基于下面的命题：平面图形0≤a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕y轴旋转所得旋转体的体积为．该体积也可用如下方法求：
   

证：因为
   所以

解：令u=x+y，对y=f(u)两边关于x求导，得
  
   即
  
   对式①两边关于x求导，有
  
   再将式②代入式③，整理可得
  

[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)