C

[解析] 曲线在点(x，f(x))处的曲率公式，曲率半径．
   本题中，所以，对应于t=1的点处有y'=3，y"=-1，所以，曲率半径．应选C．

B

[解析] 在区域D上有0＜x+y≤1，于是
   ln³(x+y)≤0≤sin²(x+y)≤(x+y)²≤(x+y)，且它们互不恒等，连续，因此，它们在D上的积分值满足
   
   应选B．

D

C

[解析] 因为cosx-1=xsinα(x)，所以    
   
   即有
   
   注意到，可知，即α(x)是x→0时的无穷小量，且，故
   
   即α(x)是与x同阶但不等价的无穷小量，选项C正确．

A

[考点] 定积分在物理中的应用
   [解析] 取[x，x+dx][0，h]，dF=1·x·a·dx=axdx，，选(A)．

D

[解析] A考查保号性(极限值的大小推函数值的大小)，错在“条件和结论中的≥都应改为>”；B考查保号性的推论(函数值的大小推极限值的大小)，错在“结论中的>应改为≥”；C考查保号性的推论(函数值的大小推极限值的大小)，错在“没说极限存在”；D正确．

B

[解析] 由①可推出f'(a)存在，因为由①有：
   故f'(a)=φ(a)．
   由②不能推出f'(a)存在，由导数定义可得：
   f'₊(a)=φ(a)，f'_-(a)=-φ(a)．
   因为φ(a)≠0，所以有f'₊(a)≠f'_-(a)，故f'(a)不存在．
   由③可推出f'(a)存在，因为在不等式中取x=a，知f(a)=0，故当λ＞1时，有
   
   于是即f'(a)=0.
   由④不能推出f'(a)存在，例如：则f(x)在x=0处不连续，因此f(x)在x=0不可导，
   但是存在．故应选B．

D

[解析] 本题的关键在于由题设可知在x=a的某邻域内有f(a)≥f(x)，g(a)≥g(x)，由此能否得到g(a)f(a)≥g(x)f(x)或g(a)f(a)≤g(x)f(x)，在一般情况下是得不到此结论的．
   若取f(x)=-(x-a)²，g(x)=-(x-a)²，显然f(x)和g(x)在x=a处取极大值0，但f(x)g(x)=(x-a)⁴在x=a处取极小值．则A，C都不正确；若取f(x)=1-(x-a)²，g(x)=1-(x-a)²，则f(x)和g(x)都在x=a处取极大值1，而f(x)g(x)=[1-(x-a)²]²在x=a处仍取极大值1，则B也不正确，从而只有D对．

C

[解析] 特征方程为：
   ∵f(x)=e^2x(1+cos2x)=e^2x+e^2xcos2x，∴
   故特解为：，选C．

D

[解析] 为方便表示，故在图中加上字母，如下图所示，一共加了两个字母，分别是x₁，x₂．
   
   关注极值点．
   极值点肯定来自于一阶导数为0的点或者一阶导数没有定义的点，从图中可以非常直观地看出，一阶导数为0的点是x=x₁和x=x₂，一阶导数没有定义的点是x=a．
   下面来验证这三个点，
   首先，看点x=x₁，由于在点x=x₁，的左去心邻域内f'(x)＜0，点x=x₁的右去心邻域内f'(x)＞0，故x=x₁是函数f(x)的一个极小值点．
   接着，看点x=x₂．由于在点x=x₂的左去心邻域内f'(x)＞0，点x=x₂的右去心邻域内f'(x)＜0，故x=x₂是函数f(x)的一个极大值点．
   最后，看点x=a，由于在点x=a的左去心邻域内f'(x)＜0，点x=a的右去心邻域内f'(x)＞0，故x=a是函数f(x)的一个极小值点，
   综上所述，函数y=f(x)有一个极大值点，有两个极小值点．

(C₁，C₂为任意常数)

[解析] 由题设条件可知二次方程2λ²+aλ=0与λ²-b=0有共同的一个解λ=2，所以b=4，a=-4．齐次微分方程为y"-4y'+4y=0，其通解是y=(C₁+C₂x)e^2x(C₁，C₂为任意常数)．
   求非齐次微分方程y"-4y'+4y=e^2x的一个特解：
   设特解Y=Ax²e^2x，代入微分方程y"-4y'+4y=e^2x，得
   A(2e^2x+8xe^2x+4x²e^2x)-4A(2xe^2x+2x²e^2x)+4Ax²e^2x=e^2x．
   比较系数，得故其特解为通解为
   

[考点] 定积分的应用

sinx²

11

[解析] 因abc=-6，故
   又故r(A)=2，r(A^*)=1．
   故A^*有特征值
   λ₁=λ₂=0，

0

[解析] 令y'=1-2sinx=0得
   y"=-2cosx，因为所以为y=x+2cosx的极大值点，也是最大值点，故最大值为

解：按照复合函数偏导的方法，得
   
   再对y求偏导数，有．

[考点] 复合函数求偏导数

解：积分区域如图所示．
   
   选择先x后y的积分次序，得
   
   令t=y-1，得
   
   利用对称区间上奇偶函数积分性质及定积分几何意义可得
   
   所以
   
   令t=sinθ，得
   

解：
   注 本题也可以利用定积分的定义计算．

[考点] 函数、极限

解：令x²-3x+2=0得x=1，2．由于f(x)≥0，故在[-10，10]上，即当x=1，2时，函数取得最小值m=0．
   f'(x)=(2x-3)sgn(x²-2x+3)=(2x-3)sgn[(x-1)²+2](x≠1，2)．当时，f'(x)＞0；当时，f'(x)＜0．
   所以，当时有极大值，于是最大值
  

[考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)

证1：问题等价于证明
  
   令
  
   因F(0)=0，故只要证明在(0，1)内有F'(x)＞0．事实上，有
  
   已知f(0)=0，0＜f'(x)＜1(当x∈(0，1))，故x∈(0，1)时f(x)＞0(以下证式①中另一因子大于零)．记，则g(0)=0，且
   g'(x)=2f(x)-2f(x)·f'(x)=2f(x)[1-f'(x)]＞0
   于是
  
   即F'(x)＞0获证．从而命题得证．
   证2：问题在于证明
  
   令．对式②左边应用柯西中值定理，存在0＜ξ＜1，有
  
   对于函数，在[0，ξ]上再利用柯西中值定理，可得
  

[考点] 一元函数微积分