一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设A为三阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记
则______.
- A.C=P-1AP
- B.C=PAP-1
- C.C=PTAP
- D.C=PAPT
A B C D
B
[考点] 矩阵
[解析] 将A的第2行加到第1行得B,即
将B的第1列的-1倍加到第2列得C,即
因
故Q=P
-1,从而有C=BQ=BP
-1=PAP
-1,故应选B.
3. 考虑二元函数的下面4条性质:
①f(x,y)在点(x
0,y
0)处连续;
②f(x,y)在点(x
0,y
0)处的两个偏导数连续;
③f(x,y)在点(x
0,y
0)处可微;
④f(x,y)在点(x
0,y
0)处的两个偏导数存在.
若用“P
Q”表示可由性质P推出性质Q,则有______
A.②
③
①.
B.③
②
①.
C.③
④
①.
D.③
①
④.
A B C D
4. 设A是n阶矩阵,(E+A)x=0只有零解,则下列矩阵间乘法不能交换的是______
- A.A-E;A+E.
- B.A-E;(A+E)-1.
- C.A-E;(A+E)*.
- D.A-E;(A+E)T.
A B C D
D
[解析] 由于(E+A)x=0只有零解,知r(E+A)=n,所以存在(E+A)
-1且|E+A|≠0.
法一 因
(A+E)(A-E)=A
2-E=(A-E)(A+E), (*)
故A+E,A-E可交换,故A成立.
(*)式两边各左、右乘(A+E)
-1,得
(A-E)(A+E)
-1=(A+E)
-1(A-E), (**)
故(A+E)
-1,A-E可交换,故B成立.
(**)式两边乘|A+E|(数),得
(A-E)(A+E)
*=(A+E)
*(A-E),
故(A+E)
*,A-E可交换,故C成立.
由排除法知,应选D,即(A+E)
T,A-E不能交换.
法二 (A+E)(A-E)=(A+E)(A+E-2E)=(A+E)
2-2(A+E)
=(A+E-2E)(A+E)=(A-E)(A+E).
(A+E)
-1(A-E)=(A+E)
-1(A+E-2E)=(A+E)
-1(A+E)-2(A+E)
-1 =(A+E)(A+E)
-1-2(A+E)
-1=(A+E-2E)(A+E)
-1 =(A-E)(A+E)
-1.
同理(A+E)
*(A-E)=(A-E)(A+E)
*.
故应选D.
法三 D不成立,可举出反例,如取
则
而
故(A+E)
T(A-E)≠(A-E)(A+E)
T,即D不成立.
5. 设方程组
有解,则a
1,a
2,a
3,a
4应满足______.
- A.a1+a2+a3+a4=0
- B.a1+a2+a3+a4=1
- C.-a1+a2-a3+a4=0
- D.-a1+a2-a3+a4=1
A B C D
A
[考点] 线性方程组
[解析] 选项A正确.
因为原方程组有解,所以
,于是a
1+a
2+a
3+a
4=0.
6. 在区间(-∞,+∞)内,方程
______
- A.无实根.
- B.有且仅有一个实根.
- C.有且仅有两个实根.
- D.有无穷多个实根.
A B C D
C
[解析] 令
,显然,f(x)是偶函数.所以,只要考虑f(x)=0在(0,+∞)上的实根情况.当x≥0时,
.f(0)=-1<0,
.
又
,则f(x)在
上严格单调增,因此f(x)=0在
上有唯一实根,而当
时,f(x)>0,故在(0,+∞)上方程f(x)=0有且仅有唯一实根,由对称性可知,f(x)=0在(-∞,+∞)上有且仅有两个实根.
7. 当x→0时,无穷小的阶数最高的是______.
A.
B.tanx-x
C.(1+tanx)
ln(1+2x)-1
D.
A B C D
A
[解析] 由
得
,即
为4阶无穷小;
由
,即tanx-x为3阶无穷小;
由(1+tanx)
ln(1+2x)-1=e
ln(1+2x)ln(1+tanx)-1~ln(1+2x)ln(1+tanx)~2x
2得(1+tanx)
ln(1+2x)-1为2阶无穷小;
由
得
为3阶无穷小.选A.
9. 设F(x)可导,下述命题
①F'(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数;
②F'(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数;
③F'(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数
正确的个数是______
A B C D
B
[解析] ②是正确的,证明如下:设F'(x)=f(x)为奇函数,则
必是偶函数.证明如下:
又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)+C的形式,所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数.必要性证毕.设F(x)为偶函数:
F(x)=F(-x),
两边对x求导,得
F'(x)=-F'(-x),
所以F'(x)为奇函数,充分性证毕.
①是不正确的.反例:(x
3+1)'=3x
2为偶函数,但x
3+1并非奇函数,必要性不成立.
③是不正确的.反例:(sinx+x)'=cosx+1为周期函数,但sinx+x不是周期函数,必要性不成立.
10. 设向量组(Ⅰ)α
1,α
2,α
3,α
4线性无关,则和(Ⅰ)等价的向量组是______
- A.α1+α2,α2+α3,α3+α4.
- B.α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1.
- C.α1-α2,α2+α3,α3-α4,α4+α1.
- D.α1,α1-α2,α2-α3,α3-α4,α4-α1.
A B C D
D
[解析] 两个向量组可以相互表出
两个向量组等价.
两个向量组等价
等秩,但反之不成立,等秩不一定等价(但不等秩必不等价).
法一 用排除法.
α
1,α
2,α
3,α
4线性无关,则r(α
1,α
2,α
3,α
4)=4.
A:只有3个向量.r(α
1+α
2,α
2+α
3,α
3+α
4)≤3.(Ⅰ)和A不等价.
B:因(α
1+α
2)-(α
2+α
3)+(α
3+α
4)-(α
4+α
1)=0.向量组B线性相关.
r(α
1+α
2,α
2+α
3,α
3+α
4,α
4+α
1)≤3.故(Ⅰ)和B不等价.
C:(α
1-α
2)+(α
2+α
3)-(α
3-α
4)-(α
4+α
1)=0,向量组C线性相关.
r(α
1-α
2,α
2+α
3,α
3-α
4,α
4+α
1)≤3.(Ⅰ)和C也不等价.
由排除法知,应选D.
法二 对于选项D,令β
1=α
1,β
2=α
1-α
2,β
3=α
2-α
3,β
4=α
3-α
4,β
5=α
4-α
1,则
α
1=β
1,α
2=α
1-β
2=β
1-β
2,α
3=α
2-β
3=β
1-β
2-β
3,α
4=α
3-β
4=β
1-β
2-β
3-β
4,
故(Ⅰ)和D可相互表出,是等价向量组,应选D.
二、填空题1. 若f(x)在(-1,1)内可微,且f'(0)=0,f"(0)=A,则
[解析]
其中ξ在x与ln(1+x)之间,即
由夹逼准则得到
再由极限运算准则得
2. 由直线y=-2x+4与x=1及y=0所围成的封闭图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为______.
[解析]
3. 设A为3阶矩阵,|A|=3,A
*为A的伴随矩阵.若交换A的第1行与第2行得矩阵B,则|BA
*|=______.
-27
[解析] 由题意知|B|=-|A|,而|A*|=|A|2,故
|BA*|=|B|·|A*|=-|A|3=-27.
4. 微分方程y'+y=e
-xcosx满足条件y(0)=0的解为______.
e-xsinx
[解析] 直接按一阶线性微分方程公式求解.
微分方程的通解为
由初值条件y(0)=0得C=0.所以应填e
-xsinx.
5. 已知
则
[解析] 等式两边同时对y求导,有
解得
6.
极限
三、解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1. 设连接点O(0,0)与Q(1,1)的一条凸曲线弧
,对于其上任意一点P(x,y),曲线弧
与直线段
围成的图形面积为x
2,求曲线弧
的方程.
解:设曲线弧
的方程为y=y(x).注意到
是一条凸曲线弧,所以曲线弧
与直线段
围成的图形(下图)的面积为
由题设,得
两端关于x求导数,并整理得
初始条件y|
x=1=1.
解此方程,得通解
y=Cx-4xlnx
将y|
x=1=1代入,得C=1,故y=x-4xlnx.
综上所述,所求曲线弧的方程为
[考点] 常微分方程及其应用
2. 已知曲线y=f(x)在[0,a](当x≥0时,f(x)>0)上与x轴围成的面积值比f(a)大be
a(其中常数a>0,b≠0),且f(x)在x=b处取极小值,试求f(x)的表达式.
解:由题意,
即
两边对x求导,得f(x)-f'(x)=be
x,即有一阶线性微分方程
,且满足y|
x=0=-b.
其通解为
由y|
x=0=-b得C=-b,故y=-be
x(x+1).
因为f(x)在x=b处取极小值,由f'(b)=-be
b(b+2)=0可知b=-2.
所以,f(x)=2e
x(x+1).
3. 设抛物线y=ax
2+bx+c过原点,当0≤x≤1时y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为
.试确定a,b,c的值,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
解:因为曲线过原点,所以c=0.
由题设有
,即
.则
令
,得
,代入b的表达式得
.
又因
及实际情况,知当
时,体积V最小.
4. 求方程
的通解.
解:令v=y
2,则方程变为
,故由一阶线性方程的通解公式得
即
[考点] 常微分方程
5. 求二重积分
其中D由直线x=a,x=0,y=a,y=-a及曲线x
2+y
2=ax,(a>0)所围成.
解:解法一:将D
1看成正方形区域与半圆形区域的差集,在半圆形区域上用极坐标变换.于是
于是
如果积分区域关于x轴(或y轴)对称,考察被积函数关于y(或x)的奇偶性,往往会简化计算.
解法二:在直角坐标系下计算
而
或
因此
于是
解法三:被积函数x对x是奇函数,但积分区域D
1关于y轴不对称,但关于
对称.作平移变换:
则D
1变为
关于v轴对称,于是
[解析] J的积分区域如图阴影部分,设D
1为由x=a,x=0,y=a,
所围.
由于D关于x轴对称,故
6. 设函数f(x)在[0,1]上有连续导数,满足0<f'(x)<1,并且f(0)=0,求证:
证:令
显然F(0)=0.因为0<f'(x)<1,所以f(x)单调递增.
又f(0)=0,所以当x>0时f(x)>0.
令
,显然Φ(0)=0.因为0<f'(x)<1,所以1-f'(z)>0,即Φ(x)在x∈(0,+∞)单调递增.即得:
Φ(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)(1-f'(x))>0,
所以当x>0时,Φ(x)>0.由①知F'(x)>0(x>0).当x>0时F(x)≥F(0).
所以F(1)≥F(0)=0.
即证得: