一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．3. 微分方程y"+2y'+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)______
- A.ashx
- B.achx
- C.ax2e-x+bex
- D.axe-x+bex
A B C D
C
[解析] 特征方程为r
2+2r+1=0，r=-1为二重特征根，而
，故特解为y*=ax
2e
-x+be
x．
4. 下列命题中错误的是______
A．
B．
C．
不一定发散
D．
A B C D
D
[解析] 由级数收敛的性质知命题A正确．
由反证法可知命题B正确．
若设
这两个级数都发散，但是
收敛，可知命题C正确，但命题D错误．
5. 设
则______
- A.N≤P≤Q
- B.N≤Q≤P
- C.Q≤P≤N
- D.P≤N≤Q
A B C D
D
[解析] x
2sin
3x是奇函数，故N=0，x
3e
x2是奇函数，故
所以P≤N≤Q．
7. 设函数
则f(x)______
- A.有1个可去间断点，1个跳跃间断点．
- B.有1个跳跃间断点，1个无穷间断点．
- C.有2个无穷间断点．
- D.有2个跳跃间断点．
A B C D
A
[解析]
在x=0，x=1无定义，而
所以x=0为可去间断点．
又
所以x=1为跳跃间断点．
9. 设A为n阶实矩阵，A
T为A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A
TAx=0，必有______
- A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
- B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
- C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
- D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
A B C D
A
[解析] 若Ax=0，则显然有A
TAx=0，即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解；反过来，若A
TAx=0则有
x
TA
TAx=(Ax)
T(Ax)=0，
从而推出Ax=0．
因为若设Ax=(a
1，a
2，…，a
n)
T，则
于是有
a
1=a
2=…=a
n=0，
即Ax=0．说明(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．
二、填空题1. 设总体X～P(λ)，X
1，X
2，…，X
n是来自X的简单随机样本，它的均值和方差分别为
和S
2，则
和E(S
2)分别为______．
[解析]
2. 设X
1，X
2，…，X
n为来自总体N(0，σ
2)的样本，且随机变量
则常数C=______．
3. 幂级数
在收敛域(-1，1)内的和函数S(x)为______．
4. 设X，Y为随机变量，已知D(X)=25，D(Y)=36，X与Y的相关系数ρ
XY=0.4，则cov(2X-3Y，X-Y)=______．
98
[解析] 因为
，则
cov(2X-3Y，X-Y)=2cov(X，X)-2coy(X，Y)-3cov(X，Y)+3cov(Y，Y)
=2D(X)+3D(Y)-5coy(X，Y)
=2×25+3×36-5×12=98．
5. 设α
1=[1，0，-1，2]
T，α
2=[2，-1，-2，6]
2，α
3=[3，1，t，4]
2，β=[4，-1，-5，10]
2，已知β不能由α
1，α
2，α
3线性表出，则t=______．
-3
[解析]
6. 设y(x)是微分方程y"+(x+1)y'+x
2y=x的满足y(0)=0，y'(0)=1的解，并设
存在且不为零，则正整数k=______，该极限值=______．
[解析] 由y(0)=0知，所求极限为“
”型，又
由初始条件y'(0)=1，若k=1，则上述极限为0，不符，故k≥2．
由所给方程知，y"(0)=[x-(x+1)y'-x
2y]|
x=0=-1．所以当k=2时，上述极限为
于是知
故k=2，
．
三、解答题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 设f(x)连续，
．求φ'(x)，并讨论φ'(x)在x=0处的连续性．
解：当x≠0时，
当x=0时，
则
因为
，所以φ'(x)在x=0处连续．
2. 设向量组α
1=[a
11，a
21，…，a
n1]
T，α
2=[a
12，a
22，…，a
n2]
T，…，α
s=[a
1s，a
2s，…，a
ns]
T．证明：向量组α
1，α
2，…，α
s线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组
有非零解(有唯一零解)．
证：
有非零解(唯一零解)．
3. 写出二次型f的矩阵表达式；
解：二次型的矩阵
则二次型f的矩阵表达式f=x
TAx．
4. 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
解：A的特征多项式|A-λE|=-(6+λ)(1-λ)(6-λ)，则A的特征值λ
1=-6，λ
2=1，λ
3=6．
λ
1=-6对应的正交单位化特征向量
λ
2=1对应的正交单位化特征向量
λ
3=6对应的正交单位化特征向量
令正交矩阵
所求正交变换
二次型f的标准型
5.
证：将微分方程(x
2+y
2)dy=dx-dy变形为
于是
则y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明y(x)有界即可．
对
两边从x
0到x积分，得
于是
设x≥x
0，则
6.
均存在．
证：y(x)有上界，所以
存在．
同理可证，当x≤x
0时，y(x)有下界，所以
也存在．
故
存在，
也存在．
[解析] 本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题．
7. 求Z=Y-X的密度函数；
解：解法一 分布函数法．
①当z≤0时，f(z，y)的非零区域与{y-x≤z}的交集为下图(a)中的阴影部分，
②当x＞0时，f(x，y)的非零区域与{y-x≤z}的交集为下图b中的阴影部分．
解法二 密度函数法(如下图)．
图1
图2
与X，Y的联合密度函数配套：
ⅰ)当z≤0时，
ⅱ)当z＞0时，
8. 求数学期望E(X+Y)．
解：
(i=1，2，…，n)．求：9. D(Y
i)；
解：由
得
10. Cov(Y
1，Y
n)．
解：因为X
1，X
2，…，X
n(n＞2)相互独立，
所以
由
得
在区间(-∞，+∞)内零点个数为______
，从而知在区间
内f(x)至少有1个零点，又当x＞0时，
当x→0时为无界变量，不是无穷大．令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除A．设x→0时，令f(x)=x2，
可排除B，C．
的导数与x2为等价无穷小，则f'(0)等于______
即
即
故
深色：已答题 浅色：未答题