B

[解析] 因可导必连续，连续函数必存在原函数，故B正确．
   A不正确，虽然由①(连续)可推出②(可积)，但由②(可积)推不出③(可导)．例如f(x)=|x|在[-1，1]上可积：．但f(x)=|x|在x=0处不可导．
   C不正确．由②(可积)推不出④(存在原函数)，例如
   
   在[-1，1]上可积，则
   
   但f(x)在[-1，1]上不存在原函数．因为如果存在原函数F(x)，那么只能是F(x)=|x|+C的形式，而此函数在点x=0处不可导，在区间[-1，1]上它没有做原函数的“资格”．
   D不正确．因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续)．例如：
   
   它存在原函数
   
   但f(x)并不连续．即存在原函数的函数f(x)可以不连续．

C

[解析]
   且它们相互独立，所以
   
   所以由T与X相互独立得，
   
   因此本题选C．

D

[考点] 多元函数偏导数
[解析] 由已知条件，有
   
   所以，故此题选D．

D

[解析] 显然这是一道计算性选择题，需要通过计算才能确定正确选项．由题设知(X，Y)的概率密度函数
   
   选项C、D易于计算，且P{min(X，Y)≥0}=P{X≥0，Y≥0}=f(x，y)dxdy=，选择D．
   又P{max(X，Y)≥0}=1-P{max(X，Y)＜0}=1-P{X＜0，Y＜0}
                   
   P{X+Y≥0}=f(x，y)dxdy
               
   P{X-Y≥0)=f(x，y)dxdy
               
   所以选项A、B、C都不正确．
   如果将已知条件改为：(X，Y)的概率分布为，那么正确选项是什么?
   由题设不难计算出：
   P{mix(X，Y)≥0}=P{X≥0，Y≥0}=P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=2}=．
   P{max(X，Y)≥0}=1-P{max(X，Y)＜0}=1-P{X＜0，Y＜0}=1．
   P{X+Y≥0}=P{X=-1，Y=1}+P{X=-1，Y=2}+P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=2}=1．
   P{X-y≥0}=P{X≥Y}=P{X=1，Y=1}=0．
   选项D正确，其他选项均不正确．

B

[解析] 取y=x，则取y=x²，则故原极限不存在．

B

[考点] 考查随机变量的分布函数
   [解析] 由于X～N(1，σ²)，所以。
   由此可知相应的四个选项是
   A．；
   B．；
   C．；
   D．。因为x∈R它们都要成立，因此选B。
   

A

[解析] 由题设P(AB)=P(AC)=P(BC)=x²，P(ABC)=0，于是
   P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3x-3x²，
   而P(A+B+C)≥P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2x-x²，故有
   3x-3x²≥2x-x²，解得，故选A．

D

[解析] 由题意，知f(x，y)=f_X(x)f_Y(y)，其中
   
   所以，X与Y相互独立．由于
   
   则
   选D．

C

[解析]
   而
   C中的三个向量线性无关，是Ax=0的一个基础解系．
   选C．

A

[解析] 方程组无解|A|=0(反证，若|A|≠0，用克拉默法则，方程组必有解)；B项方程组有解，|A|可能为零，也可能不为零；C项|A|=0，方程组也可能有解；D项，反过来，若方程组有唯一解一定不为零．

[解析] 设Y₁=X₁-2X₂，Y₂=3X₃-4X₄，由E(X_i)=0，D(X_i)=σ²=4，i=1，2，3，4．则
   E(Y₁)=E(Y₂)=0，D(Y₁)=D(X₁-2X₂)=D(X₁)+4D(X₂)=20，
   D(Y₂)=D(3X₃-4X₄)=9D(X₃)+16D(X₄)=100．
   因此Y₁～N(0，20)，Y₂～N(0，100)．规范化得，
   由χ²分布的定义知
   
   故自由度为2．

[解析]
   因为条件收敛，所以即p的范围是

t(2)

[解析] 因为X～N(μ，σ²)，所以X₃-X₄～N(0，2σ²)，又
   
   故所以
   

c₁e^x+c₂e^-x(c₁，c₂为任意常数)

[考点] 复合函数求偏导数及解二阶常系数齐次微分方程．
[解析] ，代入，得f"=f，即f"-f=0．
   特征方程为λ²-1=0，λ₁=1，λ₂=-1，从而
   

2

[解析] 运用洛必达法则，
   原式
   

1

[解析] 分别求出r(A^*)，r(B^*)．如果r(B^*)为满秩矩阵，则r(A^*B^*)=r(A^*)．
   因r(A)=3，故r(A^*)=1(因当r(A)=n-1时，r(A^*)=1)．又r(B)=4，故r(B^*)=4(因r(B)=n，则r(B^*)=72)，即B^*为满秩矩阵，于是
   r(A^*B^*)=r(A^*)=1．

证：由题意，
   是A的n-1重特征值，A的非零特征值r(B)=1，μ=0是B的n-1重特征值，B的非零特征值A是实对称阵，故
   B对应于n-1重特征值μ=0，因r(B)=1，故有n-1个线性无关的特征向量，故B～故得证A～B．

证：设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，(Ⅱ)的一个极大无关组为η₁，η₂，…，η_r．
   因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)表示，即ξ₁，ξ₂，…，ξ_r可由η₁，η₂，…，η_r线性表示，于是
   r(ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η₁，η₂，…，η_r)=r(η₁，η₂，…，η_r)=r．
   又ξ₁，ξ₂，…，ξ_r线性无关，则ξ₁，ξ₂，…，ξ_r也可作为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η₁，η₂，…，η_r的一个极大无关组，于是η₁，η₂，…，η_r也可由ξ₁，ξ₂，…，ξ_r表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)表示，得证．

证：因为收敛，所以，
   当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，
   而，
   所以再由收敛，故收敛．

证：方法一  A²=A，A的特征值取值为1，0，由A-A²=A(E-A)=O知
   r(A)+r(E-A)≤n，
   r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n，
   故r(A)+r(E-A)=n，r(A)=r，从而r(E-A)=n-r．
   对λ=1，(E-A)X=0，因r(E-A)=n-r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r；
   对λ=0，(0E-A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n-r个线性无关特征向量，设为ξ_r+1，ξ_r+2，…，ξ_n．
   故存在可逆阵
   P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]，
   使得  
   方法二  r(A)=r，A有r个列向量线性无关，设为前r列，将A按列分块，有
   A²=A[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]=A，
   即Aξ_i=ξ_i，i=1，2，…r，故λ=1至少是r重根，又r(A)=r，AX=0有n-r个线性无关解，设为η_r+1，η_r+2，…，η_n，即Aη_j=0，j=r+1，…，n．故λ=0是A的特征值，η_j，j=r+1，…，n是对应的特征向量．
   令P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η_r+1，…，η_n]，有