一、选择题在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案．1. 下列无穷级数收敛的是______
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] A项，
其中调和级数
发散，而
为交错级数，收敛，所以原级数发散；
B项，
为等比级数，其中
级数收敛；
C项，由级数收敛的必要条件知
级数发散；
D项，
级数
收敛，级数
发散，所以原级数发散。故选B。
2. 设极限
则点x=x
0是函数f(x)的______
- A.极大值点
- B.极小值点
- C.驻点但非极值点
- D.非驻点
A B C D
A
[解析] 由题可知，当x→x
0时，
又(x-x
0)
2＞0，从而在x
0的邻域内，f(x)-f(x
0)＜0，即f(x)＜f(x
0)，由极值的定义可知，x=x
0是f(x)的极大值点。故选A。
4. 设f(x)在点x
0的某邻域内有定义，则f(x)在点x
0处可导的一个充分条件是______
A．
存在
B．
存在
C．
存在
D．
存在
A B C D
A
[解析] B项只有左导数存在；D项只有右导数存在；C项极限存在不能推出每部分极限都存在。故选A。
6. 若向量a，b的模分别为|a|=2，|b|=
，且a·b=2，则|a×b|=______
A．2
B．
C．
D．1
A B C D
A
[解析] 由题意知
7. 极限
A．
B．
C．e
-2 D．e
2 A B C D
C
[解析]
故选C。
8. 由方程y-xe
y=1所确定的隐函数y=y(x)的导数
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[解析] 令F(x，y)=y-xe
y-1，则F'
x=-e
y，F'
y=1-xe
y，故
9. 若
则f'(1)=______
A．0
B．ln2
C．
D．1
A B C D
D
[解析]
即f'(1)=1，故选D。
16. 设函数f(x)在点x=x
0处可导，且f'(x
0)=1，则
A．-2
B．2
C．
D．
A B C D
A
[解析]
故选A。
20. 设函数
g(x)=1-x，则f[g(x)]=______
A．
B．
C．
D．2+x
A B C D
A
[解析]
故选A。
21. 下列级数条件收敛的是______
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] A项不对，因为
C项中
因为
收敛，根据比较审敛法可知，
绝对收敛；D项中当n→∞时，
因为
收敛，根据比较审敛法极限形式可知，
绝对收敛；B项中
发散，又根据莱布尼茨判别法可知
收敛，故
条件收敛。
23. 设f(x)=sinx，则
A．
B．
C．2cosa
D．2sina
A B C D
A
[解析]
故选A。
29. 微分方程
的通解是y=______
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析]
故选B。
二、填空题1. 设向量b与向量a={1，-2，-1}平行，且a·b=12，则b=______。
{2，-4，-2}
[解析] 因为a//b，设b=ka=k{1，-2，-1}，则a·b=k{1+4+1}=12，k=2，即b=2a={2，-4，-2}。
2. 极限
0
[解析] 根据无穷小的性质可知，
3. 不定积分
-e-x+C
[解析]
4. 向量a={4，-3，4}在b={2，2，1}上的投影为______。
2
[解析] 向量a在b上的投影为
5. 非齐次微分方程y"-5y'+6y=xe
2x的一个特解应设为______。
y=x(Ax+B)e2x(A，B为待定系数)
[解析] 方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2-5r+6=0，所以r1=2，r2=3，λ=2是该特征方程的一个特征根，所以特解形式为y=x(Ax+B)e2x(A，B为待定系数)。
6. 已知连续函数f(x)满足
则f(x)=______。
sinx-1
[解析] 令
则f(x)=sinx+1+A，两边同时积分，得
则2+2A=A，即A=-2，则f(x)=sinx-1。
7. 设函数
在x=0处连续，则必有a=______。
8. 幂级数
的收敛半径为______。
[解析]
10. 设D为圆环域1≤x
2+y
2≤4，则二重积分
2π
[解析]
三、计算题(每小题5分，共50分)1. 求微分方程
的通解。
解：该微分方程对应的特征方程为
则
则该微分方程的通解为
3. 求极限
解：
4. 求定积分
解：
5. 设方程e
-xy-2z+e
z=0确定隐函数z=z(x，y)，求
解：设F(x，y，z)=e
-xy-2z+e
z，
所以
6. 计算曲线积分
其中L为顶点分别为(0，0)、(2，0)、(2，1)和(0，1)的四边形区域D的正向边界。
解：令P(x，y)=sinx+y-3，Q(x，y)=cosy+6x-7，则
由格林公式可得
8. 求幂级数
的收敛区间。
解：因为
所以R=2，从而-2＜x-1＜2，故收敛区间为(-1，3)。
9. 计算二重积分
其中积分区域D是由y=x，
所围成的闭区域。
解：y=x，y=
的交点为(0，0)和(1，1)，则积分区域如图所示，
10. 求由方程
确定的隐函数y=y(x)的导数。
解：方程两边同时对x求导得，
化简得
四、应用题(每小题7分，共14分)1. 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元。该单位每月能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
设该单位每月获利为S，则
因为当400≤x≤600时，S'(x)＜0，S(x)单调递减，所以当x=400时，S有最大值-40000。故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损。
2. 求由曲线y=lnx，x=e与y=0所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕x轴旋转所形成旋转体的体积V。
由y=lnx．x=e与y=0得交点为(1，0)，(e，0)，(e,1)，如图所示，
五、证明题(6分)1. 设函数f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)=1，f(1)+2f(2)=3。证明：存在ξ∈(0，2)，使得f'(ξ)=0。
证：因为f(x)在[1，2]上连续，所以f(x)在[1，2]上取得最小值m和最大值M，即3m≤f(1)+2f(2)≤3M，得m≤1≤M，由介值定理可知，存在一点c∈[1，2]，使得f(c)=1。又f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)=f(c)=1，由罗尔定理可知，存在ξ∈(0，c)
(0，2)，使得f(ξ)=0。
存在的______
存在，则函数y=f(x)在x=x0处左、右极限都存在且相等，但反之不成立。故选B。
的______
和直线
(t为参数)的位置关系为______
的值是______
故选C。
故选D。
则f(x)在x=0处______
故f(x)在x=0处连续。又因为
不存在，故f(x)在x=0处不可导。
x=±1，可得点为(-1，2)或者(1，-2)，故选C。
故选D。
选项B，
选项C，
故选D。
的第二类间断点为______
故x=4为函数的第二类间断点(无穷间断点)。
故x=2是第一类间断点。
则
从而
则
故选D。
即只需要计算
则
x=t2+1，则
求
二阶导
深色：已答题 浅色：未答题