计算分析题1. 分析图(a)所示体系的几何组成。
解:先用三刚片规律分析内部体系,刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ如图(b)所示,三刚片用三个无穷远处的瞬铰O
Ⅰ,Ⅱ、O
Ⅰ,Ⅲ和O
Ⅱ,Ⅲ两两相连,三铰都在同一条无穷线上,且三对链杆各自等长并且是由一刚片的同侧连出,为几何常变体系。此部分再与基础用既不交于一点,也不全平行的三链杆相连。原体系为有一个多余约束的几何常变体系。
2. 求图(a)所示桁架中a、b杆的内力。
解:作截面Ⅰ-Ⅰ,如图(b)所示,考虑截面Ⅰ-Ⅰ以右部分的平衡,由∑F
y=0,得F
Nb=30kN(拉力)。再由结构整体的平衡条件∑M
A=0,得F
Na=100kN(拉力)。
3. 定性地画出图(a)、(b)、(c)所示结构在图示荷载(包括广义荷载)作用下变形图的大致形状。
解:(1)图(a)应当看作静定结构,因为B支座水平反力不引起弯矩,可以去掉,去掉后就变成了静定结构。静定结构应先画弯矩图形状,才能准确判断变形图的弯曲方向。对应的弯矩图和变形图分别见图(d)中的虚线和实线。
(2)图(b)为超静定结构,可以先画变形图。由于上下层柱均有剪力且剪力相等,因此两层柱都有侧移,其中上层侧移为下层的2倍,并且刚结点处无转角(因为横梁刚度无穷大)。最后变形图见图(e)。
(3)图(c)中AB部分为超静定,B点以右为静定部分。本题只有超静定部分产生弯矩,静定部分无荷载,也无温度变化,因此无弯曲。变形图见图(f)。
4. 下图所示结构,EI=常数,用力法作其M图(利用对称性)。
解:M图见下图。
5. 计算图(a)所示体系的计算自由度,并进行几何构成分析。
解:(1)本题求计算自由度用混合法较方便。取自由的刚片和结点,如图(b)所示,把杆ABED和杆EGKH看作2个自由的刚片,两者之间由一单铰E相连;把结点C、F看作两个自由结点,杆1、2、3、4、5、6以及与基础相连的四根链杆看作约束,算式为W=3×2+4-2-6-4=-2。
(2)几何分析。用三刚片规律分析,见图(c),刚片ABED加二元体BCD看作刚片Ⅰ(CE为多余约束),同理刚片EGKH加二元体EFG得刚片Ⅱ(FH为多余约束),基础为刚片Ⅲ。刚片Ⅰ、Ⅱ之间由铰E相连,Ⅱ、Ⅲ之间由杆9、10组成的瞬铰H相连,Ⅰ、Ⅲ之间由杆7、8组成的瞬铰B相连,三铰共线,故原体系为有三个多余约束的几何瞬变体系(三个多余约束分别是杆CE、FH,以及瞬变体系所具有的一个多余约束)。
[解析] 本题的内部体系与基础之间由四根链杆相连,这种情况通常采用三刚片规律分析,在内部寻找两个刚片,基础作为第三个刚片。
6. 下图所示刚架,B支座产生竖向位移Δ时,试用位移法作弯矩图。
解:M图见下图。
[解析] 反对称荷载。
7. 试作如图所示结构的弯矩图、剪力图、轴力图。
解:弯矩图、剪力图、轴力图如图(a)、(b)、(c)所示。
8. 直接绘出图(a)所示结构弯矩图和剪力图的轮廓,不计杆件的轴向变形,除AB杆外EI均为有限值。
解:本题从D点分成左右两个独立的结构,右半部分由于支座F的反力沿杆轴作用,对弯矩无影响,因此可以看作静定部分,弯矩图形状很容易画出,见图(b)。注意:E点有力偶作用,弯矩图应该有突变,但左右两侧弯矩图不平行,是因为E点有支座反力,如果没有该反力,力偶两侧弯矩图应该平行。
再分析D点左侧部分。采用力矩分配法的原理,先大致求一下转动刚度和分配系数,S
CD=3EI/l,S
CB=EI/l(由于AB杆刚度无穷大,所以不弯曲,B点可以沿竖向移动,因此B点相当于CB杆的定向支座),μ
CD=3/4,μ
CB=1/4。再将荷载分成结点力偶和均布力单独作用,在结点力偶作用下,直接画弯矩图,见图(c);在均布荷载下先求出BC杆的固端弯矩(C端固定,B端定向),再按分配系数分配画出弯矩图[见图(d)]。两图叠加并加上右半部分得总弯矩图形状,如图(e)所示。
9. 求图(a)所示静定多跨梁的M
C和F
QG的影响线。
(a)
解:本题是求顺时针单位力偶下的影响线,可以用静力法,也可以用机动法。下面用机动法分析。建立y轴向上的坐标系,先求M
G的影响线(设M
G上侧受拉)。在G处加铰,代以M
G,使体系沿M
G正方向发生虚位移[见下图(b)]并令M
G对应的转角α=1。虚位移图的斜率就是M
G的影响系数,M
G的影响线如下图(c)所示。同理可以求出F
QG的影响线,见下图(e)。
11. 试分析图(a)、(b)的M、F
Q、F
N图是否相同。
解:两者的区别仅在于支座B的方向不同。
(1)分析M图。对图(a),由
,再取隔离体,如图(d)所示,则梁上任一点K处的弯矩
。
对图(b),
,可得梁上任一点K处[见图(e)]的弯矩
。
比较两种结果易知,图(a)和图(b)的M图相同。
(2)分析F
Q图。取任一微段CD为隔离体,如图(c)所示。无论微段取自图(a)还是图(b),由于图(a)和图(b)的M图相同,因此根据微段的力矩平衡方程可得图(a)和图(b)的剪力图也相同。
(3)分析F
N图。对图(a),取隔离体,如图(d)所示,根据静力平衡方程,有
;对图(b),取隔离体,如图(e)所示,根据静力平衡方程可得F
NK=0。可见图(a)和图(b)的轴力图不相同。
通过以上对M、F
Q、F
N图的分析,可以得出以下结论:
简支斜梁当荷载、杆长相同时,支座方向的改变对M、F
Q图无影响,只对F
N图有影响。
12. 用位移法求解下图所示结构未知结点位移。
解:θB=ql3/36E/(逆时针);ΔC=11ql4/432EI(竖直向下)。
13. 对图(a)所示体系进行几何分析。
解:从二元体1-2-3开始,依次去除6个二元体,得图(b)所示简化体系,根据二元体的性质可知,该简化体系的几何性质与原体系相同。下面分析简化体系:杆4、5与基础刚结,组成一个无多余约束的刚片,此刚片再增加杆6、7和杆8、9组成的二元体,仍为几何不变体系,杆10为多余约束(因为增加杆10后未减少自由度)。因此,原体系为有一个多余约束的几何不变体系。
14. 作图(a)所示结构的M图,画出结构的变形曲线。
解:简化半结构,如图(b)所示。先不求支座反力,直接画AB杆的弯矩图,M
CB=30×4=120kN·m,将C点弯矩与A、B两点连成直线,见图(c);再由弯矩图反求A支座反力为120/3=40kN(↓);对整体列y方向平衡方程,可求出D支座竖向反力为30+40=70kN(↑),则M
ED=M
EC=70×4=280kN·m,最后将M
EC与C点弯矩连成直线,M
ED与D点弯矩连成直线,画出两杆的弯矩图。结构最后的弯矩图见图(d),再根据弯矩图画出变形曲线,如图(e)所示。
画变形曲线时应注意几个关键问题:B、C、E三点均沿竖直方向向下移动,无水平位移,且C、E两点竖向位移相同;E点连接的两杆在E点保持垂直(夹角不变);所有杆件变形曲线均无拐点,变形曲线的凸向应与弯矩图的受拉侧一致。
15. 求图(a)所示结构中杆件1的内力影响线,并计算在可任意间断布置均布荷载q作用下的内力最大值。
(a)
解:用静力法。在图(b)中,考虑上半部分AB杆的平衡,由∑M
A=0,得方程x+2aF
N1+3aF
N2=0,再考虑下半部分CD杆的平衡,由∑M
C=0,得方程aF
N1+2aF
N2=0。联立求解方程得
,画出F
N1的影响线[见下图(c)]。均布荷载满跨布置时F
N1取最大值,即
。
16. 作下图所示结构的F
QK左、F
QK右、M
K(下侧受拉为正)影响线。
解:影响线见下图。
17. 用力法求下图所示结构中CD杆的轴力,并作受弯杆件的弯矩图。设受弯各杆EI=常数,而CD杆的EA=∞。
解:见下图。
18. 试用能量法或静力法求如图(a)所示结构的临界荷载F
Pcr。
解:本例为无限自由度体系的稳定问题。如图(a)所示体系可简化为图(c)计算,其弹簧刚度可由图(b)求出,
。设失稳变形曲线如图(c)所示,y轴正方向假设为与曲线的凸向一致。设压杆AB任一截面O的弯矩为M,由平衡条件∑M
O=0,得M+kδx-F
Py=0,其中M=-EIy"。整理得
。非齐次微分方程的通解为
。
将边界条件x=0,y=0;x=l,y=δ;x=l,y'=0代入通解得
要使方程中A、B、δ有非零解,必有系数行列式为零,即
用试算法,得
19. 试确定下图所示结构位移法基本未知量数目和基本结构,两根链杆a和b需考虑变形。
解:基本未知量有7个,基本结构如下图所示。
20. 用位移法作下图所示结构的M图。设横梁EI为无限大,各柱相对线刚度如图中所示。
解:M图见下图。
[解析] 本题横梁刚度无穷大,只有一个水平位移未知量。当求出竖杆弯矩后需要根据结点平衡条件求无穷大杆的弯矩。对于中间的三个结点,各连接两个无穷大杆,即有两个未知弯矩,不能求出具体数值,只能按转动刚度进行分配,在此每根杆分配到的弯矩是相等的。但这时横梁的弯矩与“结构力学求解器”计算的结果是不一致的,原因是“求解器”中的无穷大杆并不是绝对的无穷大,而是计算时给其赋上一个很大的数(1010),其实还是按有限大计算。
21. 用机动法计算如图(a)所示连续梁的极限荷载F
Pu。
解:由于AD、DC段截面的极限弯矩不相同,故塑性铰不仅可能出现在截面B、C处和集中力作用截面处,也可能出现在截面突变处,即截面D。经分析,可能的破坏机构有四种,分别见图(b)~(d)。
与机构1相应的虚功方程为
与机构2相应的虚功方程为
与机构3相应的虚功方程为
与机构4相应的虚功方程为
比较以上计算结果,可知该连续梁的极限荷载为
。
22. 用位移法作下图所示结构的弯矩图。
解:M图见下图。
23. 用力法作图(a)所示结构弯矩、剪力、轴力图,各杆刚度为EI。
(a)
解:(1)求弯矩。本题有一个未知量,取下图(b)所示的基本体系,画出
图和M
P图[见下图(c)、(d)]。列出力法方程δ
11X
1+Δ
1P=0。柔度系数和自由项为
将系数和自由项代入力法方程解得
。
由
叠加得结构最后弯矩图,如下图(e)所示。
(2)求剪力。根据弯矩剪力的微分关系,可由弯矩求剪力。以AB杆为例,
,由于弯矩图相对于杆轴逆时针旋转,故剪力为负值。最后剪力图见下图(f)。
(3)求轴力。由于剪力已经求出,根据结点平衡即可求出轴力。以结点E为例[见下图(h)],分别列出x和y方向的平衡方程,求得
(压力),
(压力),轴力图见下图(g)。
24. 用力法作图(a)所示结构的弯矩图,并对计算结果进行校核。EI=常数。
解:(1)作弯矩图。本题有两个多余约束,取基本体系如图(b)所示,
图、
图和M
P图如图(c)、(d)、(e)所示。力法方程为
柔度系数和自由项为
将系数和自由项代入力法方程解得
。叠加得结构最后弯矩图,如图(f)所示。
(2)校核。超静定结构校核需要满足平衡条件和位移条件。平衡条件取结点D弯矩校核(图和算式略),满足;位移条件取C支座位移为零进行校核,在基本结构上加虚单位力,画出
图[见图(g)],与原结构M图图乘得
故计算结果正确。
[解析] 注意:校核时选择的基本结构可以和力法计算时相同,也可以不同。但本题校核时选择的基本结构应尽量使AD段无弯矩图,因为原结构M图中该段为曲线,如果
图中AD段弯矩不为零,则图乘时计算量较大。
25. 利用力法并取半结构求解图(a)所示超静定刚架,并作M图,EI=常数。
(a)
解:本题值得注意的是中间水平支座可先化为一组反对称的未知力[见下图(b)],外荷载为正对称。按照对称性的结论——正对称荷载下反对称的未知力为零,可得出这组水平反力为零,整个结构可取半结构计算,半结构见下图(c)。基本体系、
图和M
P图分别见下图(d)、(e)、(f),力法方程δ
11X
1+Δ
1P=0。柔度系数和自由项为
系数代入力法方程解得
。结构最后弯矩图见下图(g)。