银符考试题库-在线练习-精算师分类模拟18

精算师分类模拟18

计算题

1. 下列哪些函数表达式可以作为生存函数?
(1)S(x)=exp[x-0.7(2^x-1)]，x≥0
(2)

(3)S(x)=exp(-x²)，x≥0

解作为生存函数的基本属性有：S(0)=1，函数是单调递减的，同时

。
(1)由于S'(x)=exp[x-0.7(2^x-1)](1-0.7×2^x×ln2)，S'(0)=0.5148＞0，说明该函数不满足单调递减的性质。所以，它不能作为生存函数。
(2)由于

。该函数不可以作为生存函数。
(3)由于S(0)=1，S'(x)=(e^-x²)(-2x)＜0，

。该函数可以作为生存函数。

2. 如果

(0≤x≤100)，请写出40岁的人剩余寿命变量的生存函数、死亡效力函数和密度函数形式。

解由生命函数之间的关系，可以得出

3. 已知

(0＜x≤ω)，且

。计算Var[T(20)]。

解由

，可知X～U(0，ω)，且有
T(20)～U(0，ω-20)
则

已知

，即

所以

4. 已知_1|q_x+1=0.090，_2|q_x+1=0.170，q_x+3=0.250，计算q_x+1+q_x+2的值。

解把q_x+3=0.250代入_2|q_x+1=0.170式中，得
_2|q_x+1=p_x+1·p_x+2·q_x+3=0.170

p_x+1p_x+2=0.680
上式与已知条件
_1|q_x+1=p_x+1·q_x+2=0.090
联立求解，得
p_x+1=0.770，q_x+2=0.117
最后得
q_x+1+q_x+2=(1-p_x+1)+q_x+2=0.23+0.117=0.347

5. 设K是(97)的整数剩余寿命，试求Vat(K)。假设生命表如下：
x l_x
97 150
98 100
99 40
100 0

解方法一：
首先计算K的概率密度函数：

方法二：
首先计算K的生存函数：

则

6. 已知

(40＜x＜100)，试计算₃₀p₅₀。

解

7. 某一人群，在出生时男女人数相等，且男性的死亡效力为μ^m(x)=0.09(x≥0)，女性的死亡效力为μ^f(x)=0.07(x≥0)。求这个人群50岁的死亡概率q₅₀。

解假设出生总人数是l₀，则男性能存活到50岁的人数为：

女性能存活到50岁的人数为：

50岁时总存活人数为：

则50岁时男女人口结构比例分别为：

50岁时男女死亡概率分别为：

由全概率公式得这个人群50岁的死亡概率为：

8. 证明下列不等式：
(1)

(2)

(3)

解

由此以上命题均成立。

证明以下等式：

解

10.

解

11. 已知

(0≤x＜100)，计算(40)剩余寿命的中位数。

解令t_0.5代表剩余寿命的中位数，则

其中

在

等式两边同时取对数，可得

12. 已知T(x)是(x)剩余寿命随机变量，它的密度函数为f_T(t)=2e^-2t(t≥0)。计算：
(1)

；
(2)Var[T(x)]；
(3)剩余寿命的中位数。

解根据剩余寿命T(x)的密度函数，可知T(x)服从λ=2的指数分布，因而
(1)

(2)

(3)

13. 已知_tp_x=(0.9)^t(t≥0)，l_x+2=8.1，计算T_x+1。

解由于

所以该剩余寿命服从常数死亡效力分布，μ=-ln0.9。
在常数死亡效力分布下，有

再根据

则有

14. 相对于一个标准的生命表，另外一张生命表的死亡效力是它的2倍，即μ'(x)=2μ(x)。那么q'_x与2q_x具有怎样的大小关系?

解因为

由此推出
q'_x＜2q_x

15. 如下是一张选择期为2年的选择终极生命表：
[x] l_[x] l_x+2 x+2
82 … 6400 84
83 … 5080 85
84 … 3036 86
并且对于任意的x都有(1)3·q_[x]+1=4·q_[x+x]；(2)4·q_x+2=5·q_[x+1]+1，计算l_[84]。

解

其中l₈₆已知，而
₂p_[84]=p_[84]p_[84]+1=(1-q_[84])(1-q_[84]+1)
由已知条件推导出

则

16. 在UDD假定下，用生命表函数表达_yq_x+t，假设0＜t＜1，0＜y＜1，且0＜t+y＜1。

解

17. 已知q₇₀=0.40，q₇₁=0.50。f代表在死亡均匀分布假定下，(70)在70.5～71.5岁之间死亡的概率，g代表在CFM假定下，(70)在70.5～71.5岁之间死亡的概率，计算10000(g-f)。

解 (70)在70.5～71.5之间死亡的概率为：

不妨假设l₇₀=100，则
l₇₁=l₇₀(1-q₇₀)=100×(1-0.4)=60
l₇₂=l₇₁(1-q₇₁)=60×(1-0.5)=30
在死亡均匀分布假定下，有

在CFM假定下，有

所以
10000(g-f)=3

18. 已知l_x=12，l_x+1=9。假设K为(x)在CFM假定下在前1/3年死亡的概率，L为(x)在死亡均匀分布假定下在后2/3年死亡的概率，试计算K+L的值。

解在CFM假定下，有

在死亡均匀分布假定下，有

则

所以
K+L=0.0914+0.1667=0.2581

19. 已知
(1)μ(70.5)=0.01005；
(2)μ(71.5)=0.03046；
(3)μ(72.5)=0.05128。
假定死亡在分数时期服从均匀分布。计算一个70.5岁的人在2年内死亡的概率。

解在均匀分布假定下，有

推导出

由题设条件可得
q₇₀=0.01，q₇₁=0.03，q₇₂=0.05
则
₂q_70.5=1-₂p_70.5
=1-0.5p_70.5·p₇₁·_0.5p₇₂

=0.059

20. 对于一个30岁的投保人，Z为终身寿险死亡即刻赔付1的现值变量。已知l_x=100-x(0≤x≤100)，利息力恒定为0.05，计算f_Z(0.6)的值。

解因为

且由条件知剩余寿命服从de Moivre分布，即T～U(0，70)，故

密度函数等于分布函数的导数

已知δ=0.05，z=0.6，代入上式得
f_Z(0.6)=0.48

21. 假设寿命X服从[0，110]上的均匀分布。对于一个40岁的投保人，Z为终身寿险死亡即刻赔付1的现值变量。已知年实质利率为2.5%，求Z的90%置信上限。

解 (40)的剩余寿命T服从均匀分布(0，70)，其生存函数为：

由题意，可得

Z的90%置信上限即为使F(z)=0.9的z值，即

解得
z=exp[(70-70×0.9)lnv]=0.84

22. 一个x岁的人投保死亡即刻赔付1的终身寿险，已知死亡力函数为常数μ，利息力恒定为0.05，趸缴净保费为0.6。保险公司经过对风险和利率的重新评估，决定将上述精算假设调整如下：
(1)μ_x(t)在原来的基础上增加0.02；
(2)利息力调整为0.04。
计算经过精算假设调整后的趸缴净保费。

解在恒定死亡力和恒定利息力场合，容易验证趸缴净保费为：

在调整以前有

则求得
μ=0.075
调整以后
μ'=0.075+0.02=0.095，δ'=0.04
则调整后的趸缴净保费为：

23. z为(x)终身寿险死亡即刻赔付1的现值变量。已知剩余寿命T(x)的密度函数为

(t＞0)，利息力δ=0.05，求

和Var(z)的值。

解 (1)

，则

其中Y～N(-1.25，25)，则

(2)因为

，其中

所以

24. (40)投保一终身寿险，Z为该终身寿险死亡即刻赔付的现值变量。已知
(1)给付金额b_t=1+0.2t；
(2)贴现v_t=(1+0.2t)^-2；
(3)_tp_40μ(40+t)=0.02(0≤t≤50)。
试计算Var(Z)。

解给付函数和贴现函数都已知，容易得到现值函数为：
Z=b_tv_t=(1+0.2t)^-1
密度函数已知
f_T(t)=_tp₄₀μ(40+t)=0.02，0≤t≤50
则趸缴净保费为：

两倍利息力下，趸缴净保费为：

所以现值变量的方差为：
var(Z)=E(Z²)-[E(Z)]²=0.0909-0.2398²=0.0334

25. 已知寿命服从ω=100的de Moivre分布，利息力恒定，且在该利息力下

=40，终身寿险死亡即刻赔付1000元，求(40)的趸缴净保费。

解一般情况下，如果剩余寿命T服从(0，ω-x)的均匀分布，即

可以得到

本题中，T服从(0，60)的均匀分布，故所求的净保费为：

26. 一终身寿险的死亡即刻给付为1，并按δ=0.05的利息力返还趸缴净保费。若趸缴净保费是按恒定死亡力μ=0.06，恒定利息力2δ的净均衡原则计算，求趸缴净保费。

解设死亡赔付现值变量为Z，趸缴净保费记作P。则根据题意，死亡即刻被保险人获得的受益金来自两个部分，一部分是死亡即刻给付的恒定受益金额1，另一部分是趸缴净保费P按照δ=0.05的利息力积累到死亡即刻的积累值Pe^δt，所以受益函数为：
b_t=1+Pe^δt，t≥0
贴现函数按照2δ利息力计量
v_t=v^t=e^-2δt，t≥0
死亡即刻赔付现值变量为：
Z=b_tv_t=(1+Pe^δt)e^-2δt=e^-2δt+Pe^-δt，t≥0
根据净均衡原则，有
P=E(Z)
又在死亡力恒定的条件下有