一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1. 当x→0时,下列无穷小量中与ln(1+2x)等价的是______
A.x
B.
C.x
2 D.2x
A B C D
D
[解析] 由于
所以当x→0时2x与ln(1+2x)等价.
3. 从一副52张的扑克牌中任意抽取5张,其中没有K字牌的概率为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 一共有
种抽牌方式,其中不含K的抽牌方式有
种,所以任抽5张不含K的概率为
,故本题选B.
5. 若级数
在x=-1处条件收敛,其中a
n>0,则其在x=3处______
A B C D
C
[解析] 因为
在x=-1处条件收敛,且其收敛中心为x
0=1,所以其收敛区间为(-1,3),又a
n>0,因此该级数在x=3处发散,故应选C.
6. 有50个产品,其中46个正品,4个次品,现从中抽取5个,每次任取1个(取后放回)产品,则取到的5个产品都是正品的概率为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 要抽到5个正品也即为每次抽取的产品都是正品,而每次抽到正品的概率是
所以最后抽到5个正品的概率为
即
故选B.
7. 设f(x)在x
0处可导,且
则f'(x
0)=______
A B C D
D
[解析] 因为
所以
故
得f'(x
0)=-2,故选D.
10. 已知f(2x)=x
2-2x,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由
得
故选C.
二、填空题1. 幂级数
的收敛域为______.
(-1,1)
[解析] 令x
2=t,则
因为
所以幂级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1),即-1<t<1,可得-1<x
2<1,当-1<x<1时,
收敛,当x=±1时,
此级数是发散的,所以该幂级数的收敛域为(-1,1).
2. 设
在x=0处连续,则a=______。
1
[解析] f(x)在x=0处连续,则
,f(0)=1,所以a=1.
3. 设y=x
5+e
2x+3sinx,则y
(2017)=______。
22017e2x+3cosx
[解析] 因为(e
2x)
(n)=2
ne
2x,
,(x
5)
(n)=0,n>5.所以y
(2017)=2
2017e
2x+3cosx.
4. 随机变量ξ的密度函数
则常数k=______。
[解析]
,所以
5. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,在各个交通岗遇到红灯是相互独立的,其概率均为
则在途中至少遇到1次红灯的概率为______.
[解析] 设途中遇到红灯的次数为ξ,它服从二项分布,计算途中至少遇到1次红灯的概率较为复杂,所以我们计算它的互斥事件,即途中一次红灯也没遇到,其概率为
所以途中至少遇到一次红灯的概率为
6. 已知矩阵
的秩为3,则λ=______.
-3
[解析] A的秩为3,则|A|=0,即
所以λ=-3或λ=1.若λ=1,则A的秩为1.所以λ=-3.
7. 函数f(x)=x
3在闭区间[0,2]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=______.
[解析] f'(x)=3x
2,
ξ∈(0,2),即
得
8. A,B均为三阶方阵,|A|=-2,|B|=4,则|-2A
2B
-1|=______.
-8
[解析] |A|=-2,|B|=4,所以|-2A
2B
-1|=(-2)
3|A|
2|B|
-1=(-8)·(-2)
2·
=-8.
9. 已知X~N(2,σ
2),且P(2<X<4)=0.3,则P(X<0)=______。
10. 函数
在[0,3]上满足罗尔定理结论的ξ=______。
2
[解析]
,f(0)=f(3)=0,所以有
,从而得到ξ=2.
三、计算题本大题共60分.1. 设X的密度函数为
,x∈(-∞,+∞),求X的数学期望E(X)和方差D(X)。
解:
3. 计算
其中D是由y=1,y=x,y=2,x=0所围成的闭区域.
积分区域如图所示,
设随机变量X的分布函数为
4. 求P(X<2),P(0<X≤3),
。
解:对应任意指定的实数a,只要随机变量X(不管什么类型)的分布函数在点a处连续,则
P(X=a)=0,
故有
P(X<2)=P(X≤2)=F
X(2)=ln2,
P(0<X≤3)=F
X(3)-F
X(0)=1-0=1.
5. 求概率密度f
X(x).
解:由于在f
X(x)的连续点处有
,即有
6. 求极限
7. 设函数y=(x
2-3x)
cos2x,求
两边同取自然对数,得
lny=cos2x·ln(x
2-3x),
两边同对x求导,得
所以
8. 求微分方程(x
2-1)y'+2xy-cosx=0的通解.
解:将原方程写成
,则方程的通解为
其中C为任意常数.
9. 计算
其中D是由直线y=x,2y=x及x=1围成的区域.
解:积分区域D如图所示.从被积函数的特点知,该积分应化为“先对y积分,后对x积分”的二次积分.
区域D可表示为:
则
四、证明与应用题每小题10分,共30分.1. 证明不等式:
证:构造函数
则f(0)=0,
即f(x)在x>0时单调递增,所以当x>0时,恒有
由定积分性质有
2. 证明:当x>0时,e
x-1>(1+x)ln(1+x)。
证:构造函数
f(x)=e
x-1-(1+x)ln(1+x),
则
,
当x>0时,f"(x)>0,所以f'(x)>f'(0)=0,即f'(x)>0.
故f'(x)在(0,+∞)上单调递增.又f'(x)在x=0连续,所以
当x>0时,f'(x)>f'(0)=0.
所以,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又f(x)在x=0连续,所以,当x>0时,f(x)>f(0)=0.
即
e
x-1>(1+x)ln(1+x).
3. 证明:若f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)≠0,则至少存一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)g(ξ)+2g'(ξ)f(ξ)=0.
[证明] 设F(x)=f(x)·g2(x).
因为f(x),g(x)均在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
所以F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
又f(a)=f(b)=0,则F(a)=F(b)=0,
则由罗尔定理知,在(a,b)内至少存在一点ξ,
使F'(ξ)=0,即f'(ξ)g2(ξ)+f(ξ)·2g'(ξ)g(ξ)=0,
又因为g(x)≠0,所以g(ξ)≠0,两边同除以g(ξ),
得f'(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g'(ξ)=0.