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福建省专升本考试高等数学2019年真题
第一部分 选择题
一、单项选择题
(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)
1. 函数
的反函数是______．
A．
B．
C．x=2y-1
D．y=2x+1
A
B
C
D
D
2.
A.-∞
B.0
C.1
D.+∞
A
B
C
D
B
3. 当x→0时，tan x是x的______．
A.高阶无穷小
B.低阶无穷小
C.同阶无穷小，但非等价无穷小
D.等价无穷小
A
B
C
D
D
4. 若函数
则点x=2是f(x)的______．
A.连续点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.无穷间断点
A
B
C
D
D
5. 设函数f(x)可微，则
A．-2f'(x)
B．
C．2f'(x)
D．-f'(x)
A
B
C
D
A
6. 已知函数y=sin 2x，则
A.2cos 2x
B.-4sin 2x
C.4cos 2x
D.-2cos 2x
A
B
C
D
B
7. 如果二阶可导函数f(x)在(0，1)上单调递增且凹，则
有______．
A.f'(x
0
)＞0，f''(x
0
)≥0
B.f'(x
0
)＞0，f''(x
0
)≤0
C.f'(x
0
)＜0，f''(x
0
)≥0
D.f'(x
0
)＜0，f''(x
0
)≤0
A
B
C
D
A
8. 定积分
A.0
B.1
C.2
D.4
A
B
C
D
C
9. 空间两点M(1，2，1)与N(2，0，-1)的距离等于______．
A.1
B.2
C.3
D.4
A
B
C
D
C
10. 微分方程y''-4y'+3y=0的通解是______．
A.y=c
1
e
x
+c
2
e
3x
B.y=c
1
e
x
+c
2
e
-3x
C.y=c
1
e
-x
+c
2
e
3x
D.y=c
1
e
-x
+c
2
e
-3x
A
B
C
D
A
第二部分 非选择题
二、填空题
(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1. 函数
的定义域是______．
[0，1)∪(1，+∞)
2. 极限
e
-2
3. 已知
则dy=______．
4. 设函数
则f'(x)=______．
5. 不定积分
ln(2+x
2
)+C
6. 微分方程y'=3x
2
满足初始条件y|
x=1
=3的特解是______．
y=x
3
+2
三、计算题
(本大题共6小题，每小题8分，共48分)
1. 求极限
解：
2. 若函数
在点x=2处连续，求a的值．
解：因为f(x)在点x=2处连续，
故
从而得到
即a=1．
3. 求曲线
在点(1，0)处的切线与法线方程．
解：因为
则可得到在点(1，0)处切线斜率
法线斜率
故在点(1，0)处切线方程为：y-0=2(x-1)，整理可得：y=2(x-1)．
法线方程为：
整理可得：
4. 求不定积分
解：
设空间两点A(1，0，-1)，B(2，1，1)，求：
5. 过A、B两点的直线方程l；
解：设所求直线l的方向向量为S，
可令S=AB={1，1，2}．又因为点A∈l，
故可得直线方程为
6. 过A点且垂直于直线l的平面方程π．
解：设所求平面π的法向量为n．
因为l⊥π，
故可令n=S={1，1，2}．
又因为点A∈π，
故可得平面方程为1·(x-1)+1·(y-0)+2(z+1)=0，
整理得x+y+2z+1=0．
7. 求微分方程
的通解．
解：该微分方程可以整理为
代入通解公式：
即通解为y=x
3
+Cx．
四、应用题
(本大题共2小题，23题12分，24题10分，共22分)
设曲线
和直线y=x+1所围成的平面图形为D，求：
1. D的面积；
解：如下图所示，取x为积分变量，则D的面积
2. D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：取x为积分变量，则所求的旋转体的体积为
设函数f(x)=2ln x-x
2
+2．
3. 求函数f(x)的单调区间；
解：定义域为(0，+∞)．
令f'(x)=0，得x
1
=-1(舍去)，x
2
=1．
列表如下：
x
(0，1)
1
(1，+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↑
极大值
↓
如表所示，f(x)在(0，1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减．
4. 证明方程f(x)=0有两个不同的实根．
证：f(x)在
上连续，也在[1，e]上连续．
f(1)=2ln 1-1
2
+2=1＞0，
f(e)=2ln e-e
2
+2=4-e
2
＜0．
据零点定理，存在
ξ
2
∈(1，e)，使得f(ξ
1
)=0且f(ξ
2
)=0．
因为
故ξ
1
≠ξ
2
．
综上可得方程f(x)=0有两个不同的实根．
第一部分 选择题一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第二部分 非选择题二、填空题
1
2
3
4
5
6
三、计算题
1
2
3
4
5
6
7
四、应用题
1
2
3
4
深色：已答题 浅色：未答题
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的反函数是______．
则点x=2是f(x)的______．
有______．
的定义域是______．
则dy=______．
则f'(x)=______．
在点x=2处连续，求a的值．
即a=1．
在点(1，0)处的切线与法线方程．
法线斜率
整理可得：
的通解．
代入通解公式：
和直线y=x+1所围成的平面图形为D，求：
上连续，也在[1，e]上连续．
ξ2∈(1，e)，使得f(ξ1)=0且f(ξ2)=0．
故ξ1≠ξ2．
深色：已答题 浅色：未答题