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山东省专升本高等数学(Ⅲ)真题2021年
一、选择题
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。
1. 函数f(x)=ln(2-x)的定义域是______．
A.[2，+∞)
B.(2，+∞)
C.(-∞，2]
D.(-∞，2)
A
B
C
D
D
[解析] 根据题意可知函数定义域满足2-x＞0， 即x＜2，所以定义域为(-∞，2)，答案选D．
2. 已知
则a=______．
A．
B．1
C．2
D．4
A
B
C
D
C
[解析]
因此a=2，答案选C．
3. 当x→0时，以下函数是无穷小量的是______．
A．
B．1-e
x
C．1-sinx
D．1-tanx
A
B
C
D
B
[解析] 根据无穷小的定义，若
则称f(x)在x→x
0
时为无穷小量．A中，
不是无穷小；B中，
是无穷小；C中
不是无穷小；D中
不是无穷小，答案选B．
4. 已知函数
则x=0是f(x)的______．
A.可去间断点
B.跳跃间断点
C.无穷间断点
D.连续点
A
B
C
D
C
[解析] x=0时，f(x)无意义，因此是间断点，进一步
因此是无穷间断点，答案选C．
5. 函数y=tan(3x)的微分dy=______．
A.3sec
2
(3x)dx
B.3tan(3x)sec(3x)dx
C.sec
2
(3x)dx
D.tan(3x)sec(3x)dx
A
B
C
D
A
[解析] y'=(tan3x)'=3sec
2
3x，dy=y'dx=3sec
2
3xdx，答案选A．
6. 函数f(x)=e
x
-5x的单调递增区间是______．
A.(-∞，ln5]
B.[-ln5，+∞)
C.(-∞，-ln5]
D.[-ln5，+∞)
A
B
C
D
B
[解析] 当f'(x)≥0时，函数单调递增，又f'(x)=(e
x
-5x)'=e
x
-5≥0，即x≥ln5，所以函数的单调递增区间为[ln5，+∞)，答案选B．
7. 极限
A.0
B.1
C.2
D.+∞
A
B
C
D
A
[解析]
答案选A．
8. 已知∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f(3x+2)dx=______．
A．3F(x)+C
B．
C．3F(3x+2)+C
D．
A
B
C
D
D
[解析]
答案选D．
9. 已知函数f(x)，g(x)在[0，1]上连续，且满足g(x)＞f(x)＞0，则下列不等式不成立的是______．
A．
B．
C．
D．
A
B
C
D
C
[解析] 因为g(x)＞f(x)＞0，则
根据定积分的保号性可知
答案选C．(注：此题题设改为g(x)＞f(x)＞1更合适)
10. 已知y=(2+x
2
)
x
，则y'=______．
A．
B．
C．
D．
A
B
C
D
A
[解析] y=(2+x
2
)
x
，两边同时取对数得lny=ln(2+x
2
)
x
=xln(2+x
2
)，进一步两边同时关于x求导得
解得
因此
答案选A．
二、填空题
(每题3分，共15分)
1. 已知函数
g(x)=e
x
，则f[g(0)]=______．
[解析] g(0)=e
0
=1，
2. 已知
则
12
[解析]
3. 已知函数f(x)=2
x
+x+3，则f''(x)=______．
2
x
(ln2)
2
[解析] f'(x)=2
x
ln2+1，f''(x)=(2
x
ln2+1)'=2
x
(ln2)
2
．
4. 已知
则
-3
[解析]
5. 已知f(x)是连续函数，则
f(x)
[解析]
三、计算题
(每小题6分，共42分)
1. 求极限
解：
2. 已知函数
在x=0处连续，求实数a与b的值．
解：左极限
右极限
因为f(x)在x=0处连续，所以
得
解得
3. 求极限
解：
4. 求曲线y=arctan(1+x)在点
处的切线方程和法线方程．
解：因为
所以
由此得切线方程为：
即
法线方程为：
即
5. 设y=y(x)是由方程e
x
2
y
=x-y确定的函数，求y'．
解：方程两边对x求导得，
e
x
2
y
(2xy+x
2
y')=1-y'，
解得
6. 求不定积分
解：
7. 求定积分
解：令
则x=1+t
2
，dx=2tdt．
当x=1时，t=0；当x=2时，t=1．
四、应用题
(第1题6分，第2题7分，共13分)
1. 求曲线
与x轴所围成的图形的面积．
解：
2. 设k＞0，求函数f(x)=2ln(1+x)+kx
2
-2x的极值点，并判断是极大值点还是极小值点．
解：函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，求导得
令f'(x)=0，即2x(kx+k-1)=0，得驻点
(1)当k=1时，
因为
所以f(x)无极值点．
(2)当0＜k＜1时，x
2
＞x
1
，
x
1
=0是f(x)的极大值点；
是f(x)的极小值点．
(3)当k＞1时，x
2
＜x
1
，
x
1
=0是f(x)的极小值点；
是f(x)的极大值点．
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题
1
2
3
4
5
三、计算题
1
2
3
4
5
6
7
四、应用题
1
2
深色：已答题 浅色：未答题
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提交知识点
则a=______．
因此a=2，答案选C．
则称f(x)在x→x0时为无穷小量．A中，
不是无穷小；B中，
是无穷小；C中
不是无穷小；D中
不是无穷小，答案选B．
则x=0是f(x)的______．
因此是无穷间断点，答案选C．
答案选A．
答案选D．
根据定积分的保号性可知
答案选C．(注：此题题设改为g(x)＞f(x)＞1更合适)
解得
因此
答案选A．
g(x)=ex，则f[g(0)]=______．
则
则
在x=0处连续，求实数a与b的值．
处的切线方程和法线方程．
则x=1+t2，dx=2tdt．
与x轴所围成的图形的面积．
所以f(x)无极值点．
是f(x)的极小值点．
是f(x)的极大值点．
深色：已答题 浅色：未答题