一、选择题1. 设X
1，X
2…，X
n是来自X～P(λ)的简单随机样本，则统计量
的数学期望E(T)=______。
A B C D
A
[解析] 由已知得EX
i=DX
i=λ，(i=1，2，3…，n)，则
4. 设总体X服从正态分布N(μ，σ
2)，其中σ
2已知，则总体均值μ的置信区间长度L与置信度l-α的关系是______。
- A.当1-α减小时，L变小
- B.当1-α减小时，L增大
- C.当1-α减小时，L不变
- D.当1-α减小时，L增减不定
A B C D
A
[解析] 首先要求出L，进而推断L与1-a的关系，当总体X～N(μ，σ
2)，σ
2已知时，μ的置信区间为
，其中u
α/2号是标准正态分布上α/2分位数，由Φ(u
α/2)=1-(α/2)={1+(1-α)}/2确定，其中Φ(x)是X单调增函数，因此置信区间的长度
，当样本容量n固定时，随u
α/2的减小而变小，即随1-α的减小而变小，故A项正确。
8. 设A，B，C为3个随机事件，且A，B相互独立，则下列命题中不正确的是______。
A．若P(C)=1，则AC与BC独立
B．若P(C)=1，则A∪C与B独立
C．若P(C)=l，则A-C与A独立
D．若C
B，则A与C独立
A B C D
D
[解析] 由于概率为1的事件与任一事件独立，故
P(AC∩BC)=P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(B)
P(AC)P(BC)=P(A)P(C)P(B)P(C)=P(A)P(B)
于是P(AC∩BC)=P(AC)P(BC)，即AC与BC独立，即A项正确。类似可得B，C两项正确。
10. 已知总体X的期望EX=0，方差DX=σ
2，X
1，…，X
n是来自总体X的简单随机样本，其均值为
，则可以作出σ
2的无偏估计量______。
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析] 由于EX=0，DX=EX
2=σ
2，故
C项正确，其他选项都不是σ
2的无偏估计量，这是由于
13. 设
为概率密度，则k的值为______。
A．
B．
C．1/2
D．
A B C D
A
[解析] 由
得
。
14. 设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X
1，X
2，…，X
n(n≥2)为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量
有______。
- A.ET1＞ET2，DT1＞DT2
- B.ET1＞ET2，DT1＜DT2
- C.ET1＜ET2，DT1＞DT2
- D.ET1＜ET2，DT1＜DT2
A B C D
D
[解析] 由X
1，…，Xn～P(λ)，知EX
i=λ，DX
i=λ，i=1，2，…，n。从而
从而选D项。
二、填空题1. 设随机变量列X
1，X
2，…，X
n…相互独立且同分布，则X
1，X
2，…，X
n，…服从辛钦大数定律，只要随机变量X
1______。
期望存在
[解析] 辛钦大数定律的条件是Xi独立同分布，且期望存在，而切比雪夫大数定律的条件是Xi不相关且方差有界。
2. 假设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为7/8，则λ=______。
ln2/2
[解析] 应用独立试验序列概型，可求得结果，事实上已知
，记A={X＞2}，Y为对X作三次独立重复观察事件A发生的次数，则Y～B(3，p)，其中
依题意P{y≥1)=1-P{Y=0}=1-(1-p)
3=7/8，故1-p=1/2，p=1/2，又p=e
-2λ，由1/2=e
-2λ解得λ=(1/2)ln2。
3. 在总体N(1，4)中抽取一容量为5的简单随机样本X
1，X
2，X
3，X
4，X
5，则概率P{max(X
1，X
2，X
3，X
4，X
5)＞1}=______。
31/32
[解析] P{max(X1，X2，X3，X4，X5)＞1}=1-P{max(X1，X2，X3，X4，X5)≤1}=1-P{X1≤1，X2≤1，X3≤1，X4≤1，X5≤1}=1-P{X1≤1}P{X2≤1}P{X3≤1}P{X4≤1}P{X5≤1}=1-(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)=31/32。
4. 设总体X的概率密度为
，X
1，X
2，…，X
n为总体X的简单随机样本，其样本方差为S
2，则E(S
2)=______。
2
[解析] 显然E(S
2)=D(X)，而DX=E(X-EX)
2，则
5. 设X
1，X
2，…，X
n来自总体X～(μ，σ
2)的简单随机样本，记样本方差S
2，则E(D
2)=______。
2σ4/(n-1)
[解析] 由性质
和
可知
故D(S
2)=2σ
4/n-1。
6. 假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数F(x，y)=______。
[解析] 已知X的概率密度
，所以P{X＞0}=1。
7. 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为
已知随机事件{X=0}与{x+y=l}相互独立，则a=______，b=______。
4；0.1
[解析] 利用二维离散型随机变量概率分布的性质
，有0.4+a+b+0.1=1，可知a+b=0.5，又事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，于是由独立的定义有P{X=0，X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1}，而P{X=0，X+Y=1}=P{X=0，Y=1}=a，P{X+Y=1}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=a+b=0.5。由边缘分布的定义：P{X=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=0，Y=1}=0.4+a，代入独立等式，得a=0.5(0.4+a)，解得a=0.4，b=0.1。
8. 假设总体x服从正态分布N(μ，σ
2)，X
1，X
2，…，X
2n来自总体X容量为2n的一组简单随机样本，统计量
，则当σ
2已知，c=______时，Y服从χ
2分布，其自由度为______；当σ
2未知，c=______时，y为σ
2的无偏估计。
1/(2σ2)；n；1/(2n)
[解析] 记Y
i=X
2i-X
2i-1(i=1，2，…，n)则Y
i～N(0，2σ
2)且相互独立，故
因此当σ
2已知，c=1/(2σ
2)时
分布，其自由度为n。
令
解得c=1/(2n)，所以，当c=1/(2n)时，y为σ
2的无偏估计。
三、解答题设随机变量X与Y的概率分布分别为
表1 
表2 
且P{X2=Y2}。1. 求二维随机变量(X，Y)的概率分布；
因为P{X
2=Y
2}=1，所以P{X
2≠Y
2}=1-P{X
2=Y
2}=0。
即P{X=0，Y=-1}=P{X=0，Y=1}=P{X=1，Y=0)=0。
利用边缘概率和联合概率的关系得到
P{X=0，Y=0}=P{X=0}-P{X=0，Y=-1}-P{X=0，Y=1}=1/3
P{X=1，Y=-1}=P{Y=-1}-P{X=0，Y=-1}=1/3
P{X=1，Y=1}=P{Y=1}-P{X=0，Y=1}=1/3
即(X，Y)的概率分布为
2. 求Z=XY的概率分布；
Z的所有可能取值为-1，0，1。
P{Z=-1}=P{X=1，Y=-1}=1/3
P{Z=1}=P{X=1，Y=1}=1/3
P{Z=0}=1-P{Z=1}-P{Z=-1}=1/3
Z=XY的概率分布为
3. 求X与Y的相关系数P
XY。
因为
其中
E(XY)=E(Z)=-1·(1/3)+0·(1/3)+1·(1/3)=0
E(Y)=-1·(1/3)+0·(1/3)+1·(1/3)=0
所以E(XY)-E(X)·E(Y)=0，即X，Y的相关系数P
XY=0。
4. 设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售l单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商品所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。
需求量X在区间[10，30]上服从均匀分布，它的概率密度为
设进货量为a，则销售所得利润与需求量有关。
当X＞a时，进货量全售出得利润500a，差额从外调剂获利润300(X-a)；
当X≤a时，销售得利润500X，多余数量作削价处理亏损了100(a-X)。
所以利润函数为
求数学期望
由题意利润期望值不少于9280元，所以由-7.5a
2+350a+5250≥9280，用因式分解法解此不等式有62/3≤a≤26，因为a为整数，所以a=21为最小进货量。
5. 蟋蟀用一个翅膀在另一翅膀上快速地滑动，从而发出吱吱喳喳的叫声，生物学家知道叫声的频率X与气温Y具有线性关系，下表列出了15对频率与气温间的对应关系的观察结果：
试求Y关于X的线性回归方程。
6. 将一枚硬币投掷三次，以X表示三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正次数与出现背面次数之差的绝对值，试写出X与Y的联合分布律与边缘分布律。
由题意：X～B(3，1/2)，Y=|X-(3-X)=|2X-3|
X可能取值为0，1，2，3；Y的可能取值为1，3；则
P{X=0，Y=1}=P{
}=0
P{X=1，Y=3}=P{
}=0
P{X=2，Y=3}=P{
}=0
P{X=3，Y=1}=P(
)=0
即得X和Y的联合分布与边缘分布为
7. 向平面区域D：0≤x≤2，0≤y≤4-x
2内随机地投掷一点(X，Y)，设A={X≤1}，B={Y≤3}。
(1)求A，B恰好发生一个的概率；
(2)问A，B是否独立?并讨论X与Y的独立性。
D的面积为
，故(X，Y)的概率密度函数
，且
，P(B)=7/8，P(AB)=9/16。
(1)
=P(A)+P(B)-2P(AB)=7/16
(2)由于P(AB)≠P(A)P(B)，所以A，B不独立。
P(AB)=F(1，3)，P(A)=F
X(1)，P(B)=F
Y(3)
即F(1，3)≠F
X(1)F
Y(3)，所以X，Y不独立。
，记Z=X+Y。8. 求P{Z≤1/2|X=0}；
。
9. 求Z的概率密度f(z)。
设Z的分布函数为F(z)，则其值为非零时z的取值区间为[-1，2)。
当z＜-1时，F(z)=0；
当z≥2时，F(z)=10；
当-l≤z＜2时，F(z)=P{Z＜z}=P{X+Y＜z}=P{X+Y＜z|X=-l}P{X=-l)+P{X+Y＜z|X=0}P{X=0}+P{X+Y＜z|X=1}P{X=1}=[P{Y＜z+1}+P{Y＜z}+P(Y＜z-1)]/3=[F
y(z+1)+F
y(z)+F
y(z-1)]/3。
所以z的分布密度函数为
10. 下表数据是退火温度X(℃)对黄铜延性Y效应的试验结果，Y是以延长度计算的。
画出散点图并求Y对于X的线性回归方程。
散点图如下图所示
从图上看，Y与X呈线性关系，应拟合Y对于X的线性方程y=a+bx，现在n=6，为求线性回归方程，所需计算列表如下：
从而
回归方程为
。
，其中λ＞0，a＞0。记
。11. 求λ的矩估计量
和最大似然估计量
；
令EX=X，得A的矩估计量
。
样本的似然函数L(x
1，x
2，…，x
n；λ)为
取对数
，令
解得
，从而A的最大似然估计量
；
12. 求Y的数学期望EY的最大似然估计量
。
由于EY是A的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故EY的最大似然估计量为
13. 求Z的概率密度f(z；σ
2)；
由于X与Y相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且EZ=0，DZ=DX+DY=3σ
2，故得X的概率密度为
14. 设Z
1，Z
2，…，Z
n为来自总体Z的简单随机样本，求
的最大似然估计量σ
2；
设z
1，z
2，…，z
n为样本Z
1，Z
2，…，Z
n的观测值，则似然函数为
令
解得
故σ
2的最大似然估计量为
15. 证明
为σ
2的无偏估计量。
由于
，故
是σ
2的无偏估计量。
16. 设Z=lnX～N(μ，σ
2)，即X服从对数正态分布，验证
；
17. 设自上小题中的总体X中取一容量为n的简单随机样本X
1，X
2，…，X
n，求E(X)的最大似然估计量。
X
i的密度函数为
设x
1，x
2，…，x
n是相应于X
1，X
2，…，X
n的样本值，则似然函数为
当x
i＞0(i=1，2，…，n)时，L＞0，且
令
∂lnL/
∂μ=0，
∂lnL/
∂(σ
2)=0，解得μ，σ
2的最大似然估计值为
从而得到μ，σ
2的最大似然估计量为
故E(X)的最大似然估计量为
。
是曲边梯形面积，如下图所示：
则P{X≤2|X≥l}的值为______。
=-3.8549+1.8331x。
深色：已答题 浅色：未答题