一、单项选择题(每小题4分，共计32分)4. 已知函数
是微分方程y''-ay=0的一个特解，则常数a=______
A．0
B．
C．
D．1
A B C D
B
[解析]
二、填空题(每小题4分，共计16分)1. 已知
则A
-1=______．
[解析]
2.
-2
[解析]
3. 曲线y=1+x+sinx在点(0，1)处的法线方程为______．
[解析] 因为
所以曲线在(0，1)处的切线斜率为2，法线斜率为
故法线方程为
4. 已知
则A
T-3B=______．
[解析]
三、计算题(每小题8分，共计64分)1. 求函数f(x，y)=x
3+y
3-3xy的极值．
解：先解方程组
求得驻点为(0，0)，(1，1)．
再求二阶偏导数
f
xx(x，y)=6x，f
xy(x，y)=-3，f
yy(x，y)=6y，
在点(0，0)处，
A=f
xx(0，0)=0，B=f
xy(0，0)=-3，C=f
yy(0，0)=0，B
2-AC=9＞0，
所以点(0，0)不是函数的极值点．
在点(1，1)处，
A=f
xx(1，1)=6，B=f
xy(1，1)=-3，C=f
yy(1，1)=6，B
2-AC=-27＜0，且A＞0，所以函数在点(1，1)处取得极小值，极小值为f(1，1)=-1．
2. 已知向量组
求其极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出．
解：
则α
1，α
2，α
4为原向量组的一个极大线性无关组，且α
3=3α
1+α
2，α
5=2α
1+α
2．
3. 求由曲线y=1-x
2与直线x+y-1=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：联立
解得二者交点为(1，0)，(0，1)，所围图形如图所示，故所求旋转体的体积为
4. 求函数f(x，y)=x
2+xy+y
2+x-y-5的极值点和极值．
解：
又有f
xx=2，f
yy=2，f
xy=1，
故在点(-1，1)处，A=2，B=1，C=2，则B
2-AC=-3＜0，且A=2＞0，
故点(-1，1)是f(x，y)的极小值点，且极小值为f(-1，1)=-6．
5. 计算
其中D:0≤y≤sinx，0≤x≤π．
解：由题意可知
6. 计算行列式
的值．
解：
7. 设矩阵
且满足AX+B=A
2B+X．求矩阵X．
解：由AX+B=A
2B+X可得(A-E)X=(A
2-E)B=(A-E)(A+E)B，
8. 求z=4(x-y)-x
2-y
2的极值，并判定是极大值还是极小值．
解：z
x=4-2x，z
y=-4-2y，令
解得驻点为(2，-2)，
z
xx=-2，z
xy=0，z
yy=-2，
对于驻点(2，-2)，A=z
xx(2，-2)=-2，B=z
xy(2，-2)=0，C=z
yy(2，-2)=-2，
B
2-AC=-4＜0，且A＜0，
因此点(2，-2)为z的极大值点，极大值为z(2，-2)=8．
则f'(x)=______
则k的值是______
的秩为2，则λ=______
深色：已答题 浅色：未答题