单项选择题(每题的备选项中,只有1个最符合题意)1. 极限
等于______
A.
B.
C.
D.1
A B C D
A
[考点] 考查常用的极限.
[解析] 已知,当x→0,
因此
2. 设
函数在x=0处连续,则a和b的关系是______
A.a=b
B.a=2b
C.
D.不确定
A B C D
A
[考点] 考查函数在某一点连续的充分必要条件.
[解析] 若函数f(x)在x=0处连续,则:
因此,
因此,可得:a=b.
4. 已知函数
则下列说法错误的是______
A.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增
B.函数f(x)在区间(2,+∞)上的值恒大于2
C.函数f(x)的单调递减区间为[0,2]
D.函数f(x)在区间
上的值恒小于-2
A B C D
C
[考点] 考查函数的单调性.
[解析] 对函数f(x)求导,得
因此,可知函数的单调递增区间为:(-∞,0]和[2,+∞),单调递减区间为[0,1)及(1,2];又知,f(2)=2,f(0)=-2.因此C项函数f(x)的单调递减区间为[0,2]表述错误.
5. 已知函数f(x)连续,则
为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 考查不定积分的求解.
[解析]
7. 已知函数u=xyz,则函数在点A(1,1,1)沿着A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 考查方向导数的计算.
[解析] 从点到点方向的方向向量n={1,2,3},于是方向余弦分别为:
又知,函数u=xyz在点A(1,1,1)处的偏导数分别为:
所以,方向导数为:
8. 设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D
1是D在第一象限的部分,则
______
A.
B.0
C.
D.
A B C D
A
[考点] 考查重积分.
[解析] 结结O、B.如下图所示:
由图可知:D=D
1+D'+D",因此,
又知,函数xy关于变量x,y均为奇函数,cosxsiny关于变量y为奇函数,关于变量x为偶函数,D
1+D'形成的△BOA关于x轴对称,D"形成的△BOC关于y轴对称;因此,
其中:
其中:
因此得:
9. 已知Ω是由曲面
与z=1所围成的闭区域,则
为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 考查重积分.
[解析] 利用球面坐标进行计算;已知在球面坐标中,z=rcosθ,y=rsinθsinqφ,x=rsinθcosθ;则Ω是由上边界曲面
和下边界曲面
所围成,Ω则可表示为:
因此可知,
10. 下列级数中收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 考查级数收敛性的判断.
[解析] A项,当n→∞时,
而
发散,所以该级数发散;B项,
所以,该级数发散;C项,由于
所以,该级数发散;D项,当n→∞时,
而级数
收敛,则该级数收敛.
11. 级数
的和为______
A.1
B.
C.2
D.
A B C D
B
[考点] 考查级数求和.
[解析] 因为,
所以,级数前n项的和S
n为:
所以,
即级数:
12. 设二阶常系数线性微分方程y"-3y'+2y=γe
x的一个特解为y=e
2x+(1+x)e
x,则该方程的通解为______
- A.(C1+1)ex+(C2+1)e2x+xex
- B.C1ex+(C2+1)e2x+xex
- C.(C1+1)e2x+(C2+1)e2x+xex
- D.(C1+1)ex+(C2+1)e2x+xe2x
A B C D
A
[考点] 考查二阶常系数线性微分方程通解求法.
[解析] 首先确定γ的值,将特解y=e
2x+(1+x)e
x代入原方程中得:(4e
2x+3e
x+xe
x)-3(2e
x+2e
2x+xe
x)+2(e
2x+e
x+xe
x)=γe
x-e
x=γe
xγ=-1;求原方程对应的齐次方程的通解,已知原方程为y"-3y'+2y=-e
x,则对应的齐次方程的特征方程为γ
2-3γ+2=0;所以,齐次方程的通解为:Y=C
1e
x+C
2e
2x;因此,该方程的通解为:y=C
1e
x+C
2e
2x+e
2x+(1+x)e
x=(C
1+1)e
x+(C
2+1)e
2x+xe
x.
13. 已知y
1(t)=2
t,y
2(t)=2
t-3t是方程y
t+1+P(t)
y1=Q(t)的两个特解,则P(t),Q(t)分别为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 考查非齐次方程和齐次方程的解的性质.
[解析] 由题意可得y
1(t)-y
2(t)=3t对应齐次方程y
t+1+P(t)y
1=0的解;将3t代入方程y
t+1+P(t)y
1=0中,得:3(t+1)+P(t)3t=0,得:
将y
1(t)=2
t代入非齐次方程中,得:
17. 已知二次型
为正定的,则a的值为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 考查二次型.
[解析] 由二次型方程得到二次型的对称矩阵A为:
若二次型为正定的,则A的各阶主子式为正,因此,1>0;
计算得:
19. 设向量组A:α
1,α
2,α
3,若向量组β
1=α
1+α
2,β
2=α
1+α
2+lα
3,β
3=α
1+α
3,线性相关,则l的取值为______
A B C D
B
[考点] 考查向量组的相关性.
[解析] 已知向量组β1,β2,β3线性相关,则满足k1β1+k2β2+k3β3=0,其中k1,k2,k3不全为零;因此,得k1(α1+α2)+k2(α1+α2+lα3)+k3(α1+α3)=(k1+k2+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2l+k3)α3=0,其中,k1+k2=0,k1+k2+k3=0,k2l+k3=0;因此,若满足k1,k2,k3不全为零,则l的取值必须为0.
20. 设2阶方阵A的行列式
则|(2A)
-1|+4|A
*|+|A
T|等于______
A B C D
A
[考点] 考查矩阵的运算及其性质.
[解析] 由行列式的性质可知,|A|=|A
T|,|λA|=λ
n|A|,|A
-1|=|A|
-1,|A
*|=|A|
n-1,因此,
23. 已知连续性随机变量X的概率密度函数为
则p(-2≤x≤1)为______
A.
B.
C.
D.3
A B C D
C
[考点] 考查随机变量及其分布.
[解析]
24. 设随机变量X的密度函数为
已知
则a和b的值可能为______
A.a=1,b=0
B.a=1,b=-1
C.
D.
A B C D
A
[考点] 考查随机变量的期望.
[解析]
因此得:
给合题干选项,可知A项正确.
29. 一物体沿x轴做简谐振动,振幅A=0.12m,周期T=2s.当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运动,则该简谐振动的表达式为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 考查简谐运动.
[解析] 设物体的简谐振动方程为:x=Acos(ωt+φ),其中:A=0.12m,角频率ω=2π/T=π;当t=0时,x=0.06m,所以,cosφ=0.5;物体的速度为:v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ),当t=0时,v=-ωAsinφ,则:
因此,简谐振动的表达式为:
31. 在弦线上有一简谐波,其表达式
为在此弦线上形成驻波,并在x=0处为一波腹,此弦线上还应有一简谐波,则表达式为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 考查相干波.
[解析] 第一列波
该波沿x轴负方向传播;第一列波在x=0点的振动方程:y
1(0)=2.
点为波腹,要求第二列波在该点的振动方程为:
则第二列波沿x轴正方向传播,波函数:
33. 在杨氏双缝干涉实验中,双缝间距为d=0.500mm,缝与屏相距D=50.0mm,已知白光中有两种波长分别为λ
1=400nm和λ
2=600nm的光.若以白光入射,则下列说法中正确的是______
- A.λ1光的第2级明纹与λ2光的第3级明纹重合
- B.这两种波长的干涉亮纹不会发生重叠
- C.波长为λ1=400nm的光波产生的干涉条纹的间距为0.0200mm
- D.波长为λ2=600nm的光波产生的干涉条纹的间距为0.0600mm
A B C D
D
[考点] 考查双缝干涉实验.
[解析] A项,错误,双缝干涉实验中,亮纹到屏中心的距离为
若在x处两种波长的亮纹重叠,即
则得:
所以在k
1=3n,k
2=2n(n=1,2,…)处都会发生重叠;B项,错误,理由同A项分析;C项,错误,根据双缝干涉公式,计算得:光波产生的干涉条纹的间距
D项,正确,根据双缝干涉公式,计算得:光波产生的干涉条纹的间距
35. 单色平面波垂直入射到一个宽度为0.5mm的单缝上,缝后置一焦距为1m的透镜,在焦平面上观察衍射条纹,若中央条纹的线宽度为2ram,则中央明纹和第三级暗纹之间的距离为______
A.3mm
B.
C.1mm
D.
A B C D
A
[考点] 考查光的单缝衍射.
[解析] (1)求解单色波的波长λ,由单缝衍射中央明纹的宽度公式:
得:
(2)根据单缝衍射暗条纹的条件公式:asinθ=kλ(k=1,2,…),当k=3时,
则,中央明纹和第三级暗纹之间的距离为ftanθ≈fθ=3×10
-3=3mm.
36. 部分偏振光系一自然光和一线偏振光混合而成,通过一理想的偏振片,当偏振片转动时,发现最大的透射光强是最小透射光强的4倍,则该部分偏振光中自然光强和线偏振光强的比例______
A B C D
B
[考点] 考查光的偏振.
[解析] 设在部分偏振光中自然光强为I
1,线偏振光强为I
2,透射光强为I,偏振片转动的角度为θ;根据马吕斯定律可知,强度为I
2的线偏振光经过偏振片之后的线偏振光强度为I
2cos
2θ;又知,强度为I
1的自然光透过偏振片后的光强为
则由题意可知:
其中:
则:
即得:
39. 在25℃时,0.1mol·L
-1的醋酸溶液的电解度为1.34%,在100mL的溶液中加入300mL水之后,醋酸溶液的电解度为原来的______倍.
A B C D
C
[考点] 考查电解度.
[解析] 已知电解度的公式为:
设原电解度为α
0,加入水后的电解度为α
1,则