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辽宁省专升本考试数学真题2020
一、单项选择题
1. 函数f(x)在点x=a处连续是f(x)在点x=a处可导的______
A.充分必要条件
B.非充分且非必要条件
C.充分但非必要条件
D.必要但非充分条件
A
B
C
D
D
[解析] 可导一定连续，连续不一定可导，所以函数f(x)点x=a处连续是f(x)在点x=a处可导的必要但非充分条件，故选D．
2. 若函数
则x=1是f(x)的______
A.连续点
B.跳跃间断点
C.可去间断点
D.第二类间断点
A
B
C
D
B
[解析]
，故x=1为f(x)的跳跃间断点，故选B．
3. 极限
______
A．
B．e
C．e
3
D．1
A
B
C
D
C
[解析]
，故选C．
4. 当x→0时，下列各组函数为等价无穷小量的是______
A.sin5x与3x
2
B.ln(1+3x)与5x
C.1-cos2x与x
D.e
3x
-1与3x
A
B
C
D
D
[解析]
只有D项中的两个函数为x→0时的等价无穷小量．
5. 已知f
'
(0)=2，则
______
A．-6
B．2
C．4
D．
A
B
C
D
A
[解析]
，故选A．
6. 函数f(x)=x
3
-2x
2
+x-5的单调减少区间为______
A．
B．
C．[1，+∞)
D．
A
B
C
D
D
[解析] f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f
'
(x)=3x
2
-4x+1=(x-1)(3x-1)，令f'(x)＜0，可得
，所以f(x)的单调减少区间为
，故选D．
7. x+sinx是f(x)的原函数，则∫f(x)dx为______
A.x+sinx
B.1+cosx
C.x+sinx+C
D.1+cosx+C
A
B
C
D
C
[解析] 由题意得∫f(x)dx=x+sinx+C，故选C．
8. 过点(1，2，3)且与平面3x+2y+z+4=0垂直的直线方程是______
A．
B．
C．x+2y+3z-4=0
D．3x+2y+z+6=0
A
B
C
D
A
[解析] 由题意得所求直线的方向向量即为平面3x+2y+z+4=0的法向量(3，2，1)，则所求直线方程为
，故选A．
9. 已知直线
与直线
垂直，则a的值为______
A．3
B．
C．6
D．4
A
B
C
D
B
[解析] 直线
的方向向量为l
1
=(1，2，a)，直线
的方向向量为l
2
=(12，5，6)，由两直线垂直可得l
1
·l
2
=0，即1×12+2×5+6a=0，解得
10. 已知区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1-x}，则
=______
A．
B．2
C．1
D．
A
B
C
D
C
[解析] 由二重积分的几何意义可得
，其中S
D
为区域D的面积．
二、填空题
1.
的定义域为______．
(1，5)
[解析] 若使函数有意义，则须满足
解得1＜x＜5，所以y的定义域为(1，5)．
2. 若
，则
0
[解析]
3. 曲线y=x
2
+1在点(1，2)处的法线方程是______．
x+2y-5=0
[解析] y
'
=2x，曲线在点(1，2)处的切线斜率y
'
|
(1，2)
=2，所以对应的法线斜率为
，所求法线方程为
，整理得x+2y-5=0．
4. 设函数y=xsinx，则y
"
=______．
2cosx-xsinx
[解析] y=xsinx，y'=sin+xcosx，y
"
=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx．
5. 曲线y=x
3
-6x
2
-1的拐点坐标是______．
(2，-17)
[解析] y=x
3
-6x
2
-1的定义域为R，y
'
=3x
2
-12x，y
"
=6x-12，令y
"
=0得x=2，当x＜2时y
"
＜0，当x＞2时y
"
＞0，当x=2时，y=-17，所以曲线的拐点坐标为(2，-17)．
6. ∫cosxsin
2
xdx=______．
[解析]
7. 定积分
0
[解析]
，即f(x)是[-3，3]上的奇函数，由对称区间上定积分的性质可得
8. 设向量
，则
(-6，-2，3)
[解析]
9. 二元函数z=e
x
2
+y
的全微分dz=______．
2xe
x
2
+y
dx+e
x
2
+y
dy
[解析]
故dz=2xe
x
2
+y
dx+e
x
2
+y
dy．
10. 改变积分次序
[解析] 由题意得，积分区域为{(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤2x}∪{(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}，如下图所示，积分区域还可以表示为
，故改变积分次序后
三、解答题
(本大题共60分，写出必要文字说明，演算步骤)
1. 计算极限
解：
2. 计算定积分
解：
3. 设二元函数z=sin(x
2
+y)+ln(xy)，计算
解：
4. 计算二重积分
，其中D是由直线x=0，y=0，x+y=1所围成的闭合区域．
解：由题意得积分区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1-x}，
设平面图形由曲线y=x
2
和直线y=2x所围成，求：
5. 该图形的面积A．
解：联立
可得曲线y=x
2
和直线y=2x的交点为(0，0)和(2，4)，故图形面积
．
6. 该图形绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积V．
解：所求旋转体体积
7. 讨论函数
在x=0处的连续性及可导性．
解：
所以f(x)在x=0处连续．
所以f(x)在x=0处可导．
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
三、解答题
1
2
3
4
5
6
7
深色：已答题 浅色：未答题
提交纠错信息
评价难易度
提交知识点
则x=1是f(x)的______
，故x=1为f(x)的跳跃间断点，故选B．
______
，故选C．
只有D项中的两个函数为x→0时的等价无穷小量．
______
，故选A．
，所以f(x)的单调减少区间为
，故选D．
，故选A．
与直线
垂直，则a的值为______
的方向向量为l1=(1，2，a)，直线
的方向向量为l2=(12，5，6)，由两直线垂直可得l1·l2=0，即1×12+2×5+6a=0，解得
=______
，其中SD为区域D的面积．
的定义域为______．
解得1＜x＜5，所以y的定义域为(1，5)．
，则
，所求法线方程为
，整理得x+2y-5=0．
，即f(x)是[-3，3]上的奇函数，由对称区间上定积分的性质可得
，则
故dz=2xex2+ydx+ex2+ydy．
，故改变积分次序后
，其中D是由直线x=0，y=0，x+y=1所围成的闭合区域．
可得曲线y=x2和直线y=2x的交点为(0，0)和(2，4)，故图形面积
．
在x=0处的连续性及可导性．
深色：已答题 浅色：未答题