第一部分 选择题
一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。1. 函数f(x)在x=x
0处有定义是f(x)在x=x
0处连续的______
- A.充分不必要条件
- B.必要不充分条件
- C.充分必要条件
- D.既不充分又不必要条件
A B C D
B
[解析] 函数在一点处连续应满足：①f(x)在x=x
0的某一邻域内有定义；②
存在；③
．f(x)仅在x=x
0处有定义无法得出f(x)在x=x
0处连续，故f(x)在x=x
0处有定义是f(x)在x=x
0处连续的必要不充分条件．
3.
______
A．e
-1 B．
C．
D．e
3 A B C D
C
[解析]
5. 已知函数f(x)在x=1处连续，且
，则导数f
'(1)=______
A．
B．1
C．
D．5
A B C D
C
[解析]
7. 下列等式成立的是______
A．
B．∫sinxdx=cosx+C
C．∫x
2dx=2x+C
D．∫cosxdx=sinx+C
A B C D
D
[解析] A项，
；B项，∫sindx=-cosx+C；C项，
第二部分 非选择题
二、填空题1. 函数
的定义域为______．
(6，9)
[解析] 要使
有意义，需满足
解得6＜x＜9，故y的定义域为(6，9)．
3. 曲线
在点(1，1)处的切线方程为______．
3x-2y-1=0
[解析] 曲线
在点(1，1)处的切线斜率为
，故切线方程为
，即3x-2y-1=0．
4. 设函数y=xlnx，则二阶导数y"=______．
[解析] 由题意知
5. 设向量a=(3，-5，7)，b=(1，2，z)，且a与b垂直，则z=______．
1
[解析] 由a⊥b知，a·b-3×1+(-5)×2+7z=0，故z=1．
6. 不定积分∫3x
2e
x3dx=______．
ex3+C
[解析] ∫3x2ex3dx=∫ex3dx3=ex3+C．
7. 定积分
0
[解析] 由积分区间关于原点对称且被积函数是奇函数知
8. 函数f(x)=2x
3-3x
2+4在区间[-1，2]上的最大值为______．
8
[解析] 由题意知f'(x)=6x2-6x，令f'(x)=0，得函数在区间[-1，2]上的驻点x1=0，x2=1．又f(0)=4，f(1)=3，f(-1)=-1，f(2)=8，比较可知f(x)在[-1，2]上的最大值为8．
9. 设二元函数z=sin(xy)+x+20y+21，则
ycos(xy)+1
[解析]
10. 曲线y=x
3-3x
2+5x+10的拐点坐标为______．
(1，13)
[解析] 由y=x3-3x2+5x+10知，y'=3x2-6x+5，y"=6x-6．令y"=0，解得x=1．当x∈(-∞，1)时，y"＜0；当x∈(1，+∞)时，y"＞0，又y(1)=13，故y的拐点为(1，13)．
三、解答题(本大题共60分，写出必要的文字说明和演算步骤)1. 计算极限
解：
2. 计算定积分
解：
3. 设二元函数z=sin(πx-y)+e
xy，计算
解：由题意知，
则
4. 计算二重积分
，其中D是由直线x=0，y=0及x+y=2所围成的闭区域．
解：直线x+y=2与直线y=0，x=0的交点分别为(2，0)，(0，2)，则积分区域如下图中阴影部分所示，D={(x，y)|0≤y≤2，0≤x≤2-y}，
5. 试用x，y表示出该无盖水箱的表面积．
解：由题意知，水箱高为
米，设无盖水箱表面积为S平方米，则
．
6. 如何设计水箱尺寸，才能使它的表面积最小．
解：
解得x=2，y=2．
由驻点唯一且该实际问题有最值知，当水箱底面长为2米，宽为2米时，水箱表面积最小．
7. 设曲线方程为y=ax
2+bx，且当x∈[0，1]时，y≥0．若曲线y=ax
2+bx与直线x=1，y=0所围成的图形面积为1，且该图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为
，试求常数a，b的值．
解：由题意知，曲线y=ax
2+bx与直线x=1，y=0所围成的图形面积
且该图形绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积
当
，与题意不符，故a=3，b=0．
则x=1是f(x)的______
，所以x=1是f(x)的跳跃间断点．
故a=4．
与平面2x+2y+Cz-6=0垂直，则常数C的值为______
的方向向量为s=(1，1，2)，平面2x+2y+Cz-6=0的法向量为n=(2，2，C)，且直线与平面垂直，故s∥n，即
，解得C=4．
，且在区域D上有f(x，y)≥g(x，y)，则______
，则
深色：已答题 浅色：未答题