二、填空题1. 序列x(n)=2
n[u(n)-u(n-3)]的能量为______。
21
[解析] 序列f(k)的能量定义为
因此x(n)=2
n[u(n)-u(n-3)]的能量为
2. 连续时间信号傅立叶变换的虚部对应于信号的______。
奇分量
[解析] 因为所有信号都可以分解为一个奇分量和一个偶分量的和的形式，所以令x(t)=x
1(t)+x
2(t)，其中x(t)、x
1(t)、x
2(t)为连续信号。并且x
1(t)=x
1(-t)，x
2(-t)=-x
2(t)。
其中：
可见，偶分量x
1(t)对应F(ω)的实部，奇分量x
2(t)对应F(ω)的虚部。
3. 周期分别为3和5的两个离散序列的卷积和的周期性为______。
7
[解析] 对于线性卷积，若一个周期为M，另一个周期为N，则卷积后周期为M+N-1，所以T=T1+T2-1=3+5-1=7。
4. 有两个门函数G
(π/5)(t)和G
(π/10)(t)，则G
(π/5)(t)有效频带宽度B
1=______(Hz)，G
(π/10)(t)的有效频带宽度B
2=______(Hz)；记f(t)=G
(π/5)(t)·G
(π/10)(t-π/10)，则f(t)的有效频带宽度B
f=______(Hz)；如果有效频带之外的信号忽略不计，则对f(t)进行理想抽样的奈奎斯特(Nyquist)抽样频率f
s=______(Hz)。
5/π；10/π；15/π；30/π
[解析] 有效频带宽度的计算公式为2π/τ，单位是rad/s，所以要变成Hz，需要除以2π，因此前两个空分别为5/π和10/π；时域相乘，频域的fm是相加的，所以f(t)的有效频带宽度为15/π；奈奎斯特抽样频率和fm之间的关系是fs≥2fm，所以fs=30/π。
三、绘图题1. 信号f(-t/2)的波形如下图所示，试绘出y(t)=f(t+1)u(-t)的波形，其中u(t)为单位阶跃函数。
f(t)到f(at-b)的图像，首先要进行平移得到f(t-b)的图像，然后再进行尺度变化得到f(at-b)的图像。
先利用尺度变换画出f(-t)的图像，如图1所示：
图1
反转得到f(t)的图像，如图2所示：
图2
左移1得到f(t+1)的图像，如图3所示：
图3
取左半部分得到f(t+1)u(-t)的图像，如图4所示：
图4
四、计算题某因果数字滤波器的零、极点如图(a)所示，并已知其H(ejπ)=-1。试求：
1. 它的系统函数H(z)及其收敛域，且回答它是IIR还是FIR的什么类型(低通、高通、带通、带阻或全通)滤波器?
由该因果滤波器的零极点图，可以写出它的系统函数为
H(z)=k(z+j)(z-j)/z
2=k(z
2+1)/z
2=k(1+z
-2)，|z|＞0
其中，k为常数。由于收敛域包含单位圆，因此，系统的频率响应为
已知H(e
jπ)=-1，因此
H(e
jπ)=-1=k(e
j2Ω+1)/e
j2Ω=2k
可得常数k=-0.5
由此，滤波器的系统函数为
H(z)=-0.5(1+z
-2)，|z|＞0
其频率响应为
显然，该滤波器是FIR滤波器，且是带阻滤波器。
2. 写出图(b)所示周期信号
的表达式，并求其离散傅里叶级数的系数。
周期为4的周期信号
的表达式为
可得
的离散傅里叶级数的系数
k 
因此，其一个周期内的系数分别为
3. 该滤波器对周期输入
的响应y[n]。
由该滤波器零极点图可知，在频率Ω=π/2和Ω=3π/2处，频率响应为零，即
而在频率Ω=0处，频率响应为：
因此，当滤波器输入为
时，输出y[n]只有直流分量，即y[n]=-1。
4. 求信号f(t)u(t)的拉普拉斯变换F(s)。
f(t)u(t)=(-t+1)[ε(t)-ε(t-1)]=-tε(t)+ε(t)+(t-1)ε(t-1)，利用ε(t)↔1/s，tε(t)↔1/s2，(t-1)ε(t-1)↔e-s/s2，因此f(t)u(t)↔-1/s2+1/s+e-s/s2=(s+e-s-1)/s2。
5. 求因果序列的初值和终值，已知该序列z变换为X(z)=(1+z
-1+z
-2)/[(1-z
-1)(1-2z
-1)]
X(z)=(1+z
-1+z
-2)/[(1-z
-1)(1-2z
-1)]=(z
2+z
1+1)/[(z-1)(z-2)]
由于X(z)的两个极点分别为z=1，z=2，可知X(z)的收敛域不包含单位圆，则该序列无终值。
6. 试根据状态方程求系统的微分方程，并画出系统模拟框图。
通过状态方程的拉普拉斯转换得到
计算可得到H(s)=R(s)/E(s)=6/(s
2+5s+6)+1
因此系统模拟框图如下图所示。
7. 若系统在e(t)=ε(t)的作用下，输出响应为r(t)=(2-3e
-2t+4e
-3t)ε(t)，求系统的初始状矢量λ(0
-)。
若系统在e(t)=ε(t)的作用下，零状态响应为e(t)=ε(t)
通过Rzs(s)=[6/(s2+5s+6)+1]·(1/s)=(2/s)-3/(s+2)+2/[3(s+2)]
因此得到rzs(t)=(2-3e-2t+2e-3t)ε(t)
输出响应为r(t)=(2-3e-2t+4e-3t)ε(t)，
通过相减得到零输入反应，r(0-)=2，因此λ(0-)=[1-1]。
8. 某LTI系统的系统函数：
当激励f(t)=sin(2t)/t·cos(4t)时，求系统的输出y(t)。
由题可知，f(t)=sin(2t)/t·cos(4t)=2Sa(2t)cos(4t)
设f
1(t)=2Sa(2t)
↔F
1(ω)，F(ω)
↔f(t)，则有
F
1(ω)=π[u(ω+2)-u(ω-2)]
F(ω)=[F
1(ω+4)+F
1(ω-4)]/2
频谱图如下图所示。
通过LTI系统之后，有
作傅里叶反变换得
y(t)=(π/2)e
jπ/2·(1/π)Sa(t)e
j3t+(π/2)e
-jπ/2·(1/π)Sa(t)e
-j3t=-Sa(t)sin(3t)
9. f(x)δ
(3)(x)=?其中x∈(-∞，+∞)，f(x)各阶导数存在。
根据δ(n)(t)φ(t)=(-1)nδ(t)φ(n)(t)，因此f(x)δ(3)(x)=(-1)3δ(t)f(3)(t)=-δ(t)f(3)(t)=-δ(t)f(3)(0)。
10. 考虑下图所示系统，其中各子系统的单位样值响应分别为：h
1(n)=u(n)，h
2(n)=u(n+2)-u(n)，h
3(n)=δ(n-2)-δ(n-5)，h
4(n)=u(n)-u(n-3)，求总系统的单位样值响应。
11. 已知序列x(n)=a
nε(n)，令
求：(1)X(e
jω)和X(k)。
(2)X(k)与X(e
jω)的关系。
(1)
(2)
(3)
=X(e
jω)|
ω=2πk/N
12. 有一线性时不变(LTI)系统，当系统的激励信号e
1(t)=u(t)/2时，系统响应r
1(t)=e
-t/4u(t)。试求当激励信号e
2(t)=δ(t)时，系统响应r
2(t)的表达式(假设系统起始时刻无储能)。
根据LTI系统的微积分性质，当激励为e1(t)=u(t)/2时，响应r1(t)=e-t/4u(t)，因此当激励为u(t)时，响应为2e-t/4u(t)，当激励为e2(t)=δ(t)时，r2(t)=[2e-t/4u(t)]'=-(1/2)e-t/4u(t)+2δ(t)。
13. 离散系统框图如下图所示。求系统函数H(z)和单位样值响应h(k)。并判断系统的稳定性。
(1)设两个延时器之间的信号为m(k)，则：
求其Z变换，得到：
消去M(z)，则：H(z)=Y(z)/F(z)=(z
2+0.5z+1)/(z
2-z+0.24)
(2)系统极点为p
1=0.4，p
2=0.6，全部在单位圆内，则系统稳定。
(3)因为
则：
的傅里叶变换F(jω)等于______。
，其Z变换为______。
，其幅频特性为|H(jω)|=K，相频响应φ(ω)=-ωtd。频率响应函数的特点：在全频带内，系统的幅频特性|H(jω)|为一常数，而相频响应φ(ω)应为通过原点的直线。
深色：已答题 浅色：未答题