一、选择题3. 已知一个LTI系统起始无储能，当输入e
1(t)=u(t)，系统输出为r
1(t)=2e
-2tu(t)+δ(t)，当输入e(t)=3e
-tu(t)时，系统的零状态响应r(t)是______。
- A.(-9e-t+12e-2t)u(t)
- B.(3-9e-t+12e-2t)u(t)
- C.δ(t)-6e-tu(t)+8e-2tu(t)
- D.3δ(t)-9e-tu(t)+12e-2tu(t)
A B C D
D
[解析] 因起始无储能，故r
1(t)为阶跃响应。
对该响应求导可得冲激响应为h(t)=r
1'(t)=2δ(t)-4e
-2tu(t)+δ'(t)，则系统对激励e(t)=3e
-tu(t)的零状态响应为
二、填空题1. 下图所示信号f(t)的傅立叶变换为______。
2jEτSa(ωτ/2)sin(ωτ/2)
[解析] 由于f(t)=Egτ(t+τ/2)-Egτ(t-τ/2)，门函数的傅里叶变换为gτ(t)↔τSa(ωτ/2)，利用时移性质gτ(t+τ/2)↔τSa(ωτ/2)e(jωτ)/2，gτ(t-τ/2)↔τSa(ωτ/2)e-(jωτ)/2，利用线性性质得到Egτ(t+τ/2)-Egτ(t-τ/2)↔EτSa(ωτ/2)e(jωτ)/2-EτSa(ωτ/2)e-(jωτ)/2=2jEτSa(ωτ/2)sin(ωτ/2)。
2. 序列
的单边z变换及其收敛域是______。
1/[(1-az-1)(1-abz-1)]，|z|＞max(|a|，|ab|)
[解析] 若要求序列
的单边z变换，则可将
看作：
于是其z变换为1/[(1-az
-1)(1-abz
-1)]，收敛域为|z|＞max(|a|，|ab|)。
3. 象函数F(z)=z
2/[(z-1)(z-2)]，1＜|z|＜2则原序列f(k)=______。
-ε(k)-2k+1ε(-k-2)
[解析] F(z)/z=z/[(z-1)(z-2)]=-1/(z-1)+2/(z-2)，F(z)=-z/(z-1)+z/(z-2)
根据给定的收敛域1＜|z|＜2可知，上式第一项的原序列为因果序列，第二项的原序列为反因果序列，故f(k)=-ε(k)-2k+1ε(-k-2)。
4. 已知离散时间系统的方框图如下图所示，请列写描述输出y(n)和输入x(n)之间关系的差分方程______。
y(n)-0.5y(n-1)=x(n)+0.5x(n-1)
[解析] 引入中间变量设左侧求和器的输出的z变换为Q(z)，因此Q(z)=X(z)+0.5z-1Q(z)，Y(z)=Q(z)+0.5z-1Q(z)，因此系统函数为H(z)=Y(z)/X(z)=(1+0.5z-1)/(1-0.5z-1)，反变换得到系统的差分方程为y(n)-0.5y(n-1)=x(n)+0.5x(n-1)。
三、绘图题1. 计算并画出卷积y[n]=x[n]*h[n]，其中：
四、计算题一因果离散系统
y(n)+0.2y(n-1)-0.24y(n-2)=x(n)+x(n-1)，x(n)=u(n)，y(-1)=0，y(-2)=0。1. 求系统函数H(z)。
差分方程两边取z变换，得到
整理得到
2. 求单位样值响应h(n)。
H(z)/z进行部分分式展开得到
因此
3. 求响应y(n)。
差分方程两边分别取z变换得到
整理得到
因此
对Y(z)/z进行部分分式展开得到
因此
4. 设x(n)
↔X(e
iΩ)，写出计算序列nx(n)傅里叶变换的表达式。
x(n)↔X(z)，因此nx(n)↔(-z)X'(z)，即x(n)↔X(eiΩ)，nx(n)↔(-eiΩ)X'(eiΩ)。
已知f(t)=cos(t)，
理想采样脉冲信号
其中采样周期Ts=π/2；滤波器H2(jω)为一幅度为Ts=π/2的理想低通滤波器，即
5. 试画出f
1(t)、y
1(t)、y
2(t)、y(t)四个位置的频谱示意图，并求出y(t)的时域表达式。
①f
1(t)的频谱图
输入函数f(t)的傅里叶变换为f(t)=cost
↔π[δ(ω+1)+δ(ω-1)]。
因为f
1(t)=f(t)*h
1(t)
↔F
1(jω)=F(jω)H
1(jω)。
所以F
1(jω)=jπ[δ(ω-1)-δ(ω+1)]。
f
1(t)的频谱图如下图所示：
②y
1(t)的频谱图的表达式为
y
1(t)=f(t)cos4t
↔(1/2π)F(jω)*π[δ(ω+4)+δ(ω-4)]=(π/2)[δ(ω+2)+δ(ω-2)]+πδ(ω)
y
1(t)的频谱图如下图所示：
③y
2(t)的频谱图的表达式为
y
2(t)=f
1(t)sin4t
↔(1/2π)F
1(jω)*jπ[δ(ω+4)-δ(ω-4)]=(π/2)[δ(ω+3)+δ(ω-3)]-(π/2)[δ(ω+5)+δ(ω-5)]
y
2(t)的频谱图的图像如下图所示：
④y(t)的频谱图的表达式为
Y(jω)=Y
1(jω)+Y
2(jω)=(π/2)[δ(ω+2)+δ(ω-2)]+πδ(ω)+(π/2)[δ(ω+3)+δ(ω-3)]-(π/2)[δ(ω+5)+δ(ω-5)]
y(t)的频谱图的图像如下图所示：
根据傅里叶反变换得到y(t)=(π/2)(cos2t+cos3t-cos5t)+1。
6. y(t)经过脉冲p(t)采样后得到y
s(t)，请画出信号y
s(t)在频率区间(-6，6)的频谱图。
原信号的频谱图如图1所示：
图1 原信号左移4个单位的频谱图如图2所示：
图2 原信号右移4个单位的频谱图如图3所示：
图3 叠加之后的图像如图4所示：
图4 所以抽样信号的频谱图如图5所示：
图5
7. 经过滤波器H
2(jω)后输出信号为z(t)，请画出信号z(t)的频谱，并求出z(t)的时域表达式。
H
2(jω)的图像如图6所示：
图6 Z(jω)的图像如图7所示：
图7 Z(jω)表达式为Z(jω)=H
2(jω)Y
s(jω)=π[δ(ω+2)+δ(ω-2)]，所以原函数为z(t)=cos(2t)。
8. 若某线性系统对激励信号f(t)=E
1sin(ω
1t)+E
2cos(2ω
1t)的响应为：y(t)=KE
1sin(ω
1t-φ
1)+KE
2cos(2ω
1t-φ
2)，试问φ
1与φ
2满足什么条件时，该响应相对于激励信号满足无失真传输。
无失真传输的概念是：输出信号与输入信号相比只有幅度上的变换和时间上的时延，信号的波形并没有发生变换，即满足y(t)=kf(t-t
d)，所以将题干的信号做整理得到
也就是说φ
1/ω
1=φ
2/(2ω
1)，因此可以得到2φ
1=φ
2。所以，只有当2φ
1=φ
2时，该响应信号相对于激励信号满足无失真传输。
和非零起始条件y(-1)=1表示的离散时间因果系统，当系统输入x(n)=δ(n)时，试用递推算法求：9. 该系统的零状态响应y
zs(n)(至少计算出前6个序列值)。
零状态响应yzs(n)的方程可以化为
yzs(n)-0.5yzs(n-1)=x(n)-x(n-1)-x(n-2)-x(n-3)-x(n-4)-2x(n-5)
即
yzs(n)=0.5yzs(n-1)+x(n)-x(n-1)-x(n-2)-x(n-3)-x(n-4)-2x(n-5)
且有yzs(n)=0，n＜0。
当输入x(n)=δ(n)时，递推计算出零状态响应yzs(n)的前6个序列值分别为
yzs(0)=1，yzs(1)=-1/2，yzs(2)=-5/4，yzs(3)=-13/8，yzs(4)=-29/16，yzs(5)=-93/32
10. 该系统的零输入响应y
zi(n)(至少计算出前4个序列值)。
零输入响应yzi(n)的递推方程可以化简为
yzi(n)=0.5yzi(n-1)
且有yzi(-1)=y(-1)=-1
递推计算出的零状态响应yzi(n)的前4个序列值分别为
yzi(0)=-1/2，yzi(1)=-1/4，yzi(2)=-1/8，yzi(3)=-1/16
11. 该系统的单位冲激响应h(t)，并大概画出h(t)的波形。
方法1：
由题可知
X(s)=(1-e
-2s)/s
又由sin(ω
0t)u(t)
↔ω
0/(s
2+ω
02)，可得
Y(s)=π/(s
2+π
2)+π/(s
2+π
2)e
-s=π(1+e
-s)/(s
2+π
2)
因此，系统函数为
H(s)=Y(s)/X(s)=πs/(s
2+π
2)·(1+e
-s)/(1-e
-2s)
又cos(ω
0t)u(t)
↔s/(s
2+ω
02)，
可得系统的单位冲激响应为
h(t)的波形如图1所示。
图1 方法2：
x(t)、y(t)和x
1(t)的波形如图2所示。
图2 先求系统的单位阶跃响应s(t)，再对s(t)微分得到其单位冲激响应h(t)。
由图2的x(t)可得
因此根据LTI系统的性质，对应输出s(t)为
单位冲激响应h(t)为
h(t)的波形如图1所示。
12. 当该系统输入为x
1(t)=u(t)-u(t-1)时的输出信号y
1(t)，并大概画出y
1(t)的波形。
输入为X
1(s)=(1-e
-s)/s时，输出为
Y
1(s)=X
1(s)H(s)=π/(s
2+π
2)
取拉氏反变换，得y
1(t)=sinπtu(t)
y
1(t)的波形如图3所示。
图3
13. 已知某系统的频率响应及输入信号的频谱如下图所示，其中T=0.04π，画出频谱A(ω)，B(ω)，C(ω)和Y(ω)，要求标注刻度和取值。
(1)设x(t)
↔X(ω)，a(t)
↔A(ω)，又由题意可知a(t)=x(t)cos(50t)，则A(ω)=[X(ω+50)+X(ω-50)]/2，A(ω)的图形如图(a)所示。
(2)设b(t)
↔B(ω)，又由题意可知b(t)=a(t)*h
1(t)，则B(ω)=A(ω)H
1(ω)，B(ω)的图形如图(b)所示。
(3)设c(t)
↔C(ω)，又由题意可知c(t)=b(t)q
T(t)，其中，
，则
其中，ω
s=2π/T=2π/(0.04π)=50。C(ω)的图形如图(c)所示。
(4)设y(t)
↔Y(ω)，又由题意可知y(t)=c(t)*h
2(t)，则Y(ω)=C(ω)H
2(ω)
Y(ω)的图形如图(d)所示。
14. 写出该系统的差分方程。
设通过两个加法器后面的信号分别为x1(n)，x2(n)，则
x(n)+Dx1(n)=x1(n)，4x1(n)+Dx1(n)=x2(n)，x2(n)+Dy(n)=y(n)
由此可得
x(n)=(1-D)x1(n)，x2(n)=(4+D)x1(n)，(1-D)y(n)=x2(n)
则(1-D)2y(n)=(4+D)x(n)，故差分方程为
y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=4x(n)+x(n-1)
15. 当x(n)=δ(n)时，全响应初始条件y(0)=1，y(-1)=-1，求系统的零输入响应y
zi(n)。
特征方程为(1-D)2=0，特征根为二重p12=1故零输入响应可设为yzi(n)=A1n+A2。下面需要求出yzi(-1)和yzi(-2)。
由于当x(n)=δ(n)时
y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=4δ(n)+δ(n-1)
则由y(0)-2y(-1)+y(-2)=4，得y(-2)=1。则y(-1)=1和y(-2)=1就是系统的起始状态。
将yzi(-1)=1，yzi(-2)=1代入yzi(n)=A1n+A2。可得-1=-A1+A2，1=-2A1+A2。解得A1=-2，A2=-3。于是零输入响应为yzi(n)=2n-3。
16. 当x(n)=δ(n)时，求系统的零状态响应y
zs(n)，并说明此系统是否因果、稳定。
当x(n)=δ(n)时，系统的零状态响应就是h(n)，即(1-D)2h(n)=(4+D)δ(n)，且(-1)=0，于是由
h(n)=(4+D)δ(n)/(1-D)2=(4-4D)δ(n)/(1-D)2+5Dδ(n)/(1-D)2=4δ(n)/(1-D)+5Dδ(n)/(1-D)2
故h(n)=(4+5n)u(n)。
由于h(n)不满足绝对可和条件，故系统不稳定；由于h(-1)=0，n＜0，故系统因果。
17. 将矩形脉冲信号
输入下图系统中，其中ω
0=3π/4，ω
c=π/4，请画出输出信号y(t)的频谱图，并分析该系统的滤波特性，求出该系统的单位冲激响应h(t)。
由于x(t)=g
4(t)
↔X(jω)=4Sa(2ω)，1
↔2πδ(ω)，根据频移性质
所以可以得到：
经过滤波器的输出的傅里叶变换为4Sa(2ω-3π/2)H(jω)=4Sa(2ω-3π/2)g
π/2(ω)
经过最后的乘法器的输出的傅里叶变换为：
4sa(2ω)的图像如图1所示：
图1
门函数限制的区间范围如图2：
图2
所以输出信号y(t)的频谱图如图3：
图3
所以可以得到H(jω)=Y(jω)/X(jω)=g
π/2(ω+3π/4)。
所以，利用对称性质可以得到H(jω)=g
π/2(ω+3π/4)
↔h(t)=(1/4)Sa(πt/4)e
-3πjt/4，所以其滤波特性为低通滤波。
18. 求系统的状态方程和输出方程。
选择一阶子系统(积分器)的输出端信号为状态变量，即如图中所示的λ
1(t)和λ
2(t)，对应的输入端信号分别为
q(t)=λ
2(t)+ce(t)+br(t)
p(t)=abr(t)
则在P，q两个点可列写如下状态方程：
λ
1'(t)=q(t)=λ
2(t)+ce(t)+br(t)①
λ
2'(t)=p(t)=abr(t)②
而输出方程为
r(t)=e(t)+λ
1(t)③
将式③代入式①和式②可得如下矩阵形式的状态方程和输出方程：
19. 系统在起始状态不为零(λ
1(0
-)≠0，λ
2(0
-)≠0)的情况下，系统对单位阶跃输入信号e(t)=(t)的完全响应为
求图中各参数n，b，c及系统的冲激响应h(t)。
由完全解形式可知，特征根为-1和-2(注意u(t)部分是激励引起的)，故。不是特征根，则特征方程：
(a-b)a-ab=a
2-ba-ab=a
2+3a+2
故-b=3，-ab=2，解得a=-2/3，b=-3。
由
可得
即
解得λ
1(0
-)=1，λ
2(0
-)=2，c=4。故a=2/3，b=-3，c=4。
下面通过求H(S)再求逆变换得到h(t)
故h(t)=(4e
-2t-3e
-t)u(t)+δ(t)。
其中x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。已知x(t)=e-tu(t)，y(0-)=1，y'(0-)=1。20. 画出系统的直接型实现方框图。
首先求系统函数：微分方程两边求拉氏变换得到，s
2Y
zs(s)+5sY
zs(s)+6Y
zs(s)=2sX(s)+X(s)，因此系统函数H(s)=Y
zs(s)/X(s)=(2s+1)/(s
2+5s+6)=(2s
-1+s
-2)/[1-(-5s
-1-6s
-2)]，直接型实现框图如下图所示。
21. 画出系统的零极点图，并判断系统的稳定性。
H(s)=(2s+1)/(s
2+5s+6)=(2s+1)/(s+2)(s+3)，零点为-1/2，极点为-2与-3，零极点图如下图所示，又由于极点均位于左半平面，因此系统稳定。
22. 计算系统的零输入响应y
zi(t)，零状态响应y
zs(t)，全响应y(t)。
零输入响应：根据系统函数可见特征根为-2与-3，因此y
zi(t)=C
1e
-2t+C
2e
-3t，带入初始条件y(0
-)=1，y'(0
-)=1，得到C
1+C
2=1，-2C
1-3C
2=1，因此C
1=4，C
2=-3，y
zi(t)=(4e
-2t-3e
-3t)ε(t)。
零状态响应：x(t)=e
-tu(t)
↔X(s)=1/(s+1)，H(s)=(2s+1)/(s+2)(s+3)，因此零状态响应的拉氏变换为
反变换得到
全响应
______
。当k≠2，序列值恒为0；当k=2，序列值为4，因此
深色：已答题 浅色：未答题