求离散信号的卷积常用的方法有以下几种
(1)用定义式计算，利用卷积性质求解。
(2)借助图形，分区间卷积。
(3)利用单位取样信号求卷积。
(4)利用序列阵表格法求卷积。
(5)利用z变换方法求卷积。
利用定义式计算是读者应该掌握的基本方法，这种方法计算的结果可以用闭式形式的函数式表达。但在计算时，求和运算的上下限以及求和结果的非零值所在区间应特别注意，稍有疏忽，就会导致错误。在解本例时，不作讨论，主要采用方法(2)、(3)和(4)，而方法(5)一般比较适合无时限的序列卷积，且参加卷积的序列的z变换不难求得。
解法一：借助图形，分区间卷积
图1
①
序列x
1(n)和x
2(n)如图1所示。由定义式可知，卷积运算需要经过反折、位移、相乘和累加等运算过程。
首先将x
1(n)，x
2(n)以变量m代n，然后将x
2(m)反折、位移得x
2(n-m)，n为位移量。再确定x
2(n-m)非零值区间的横坐标，上限为n，下限为n-5，如图2所示。
图2
从图2可知，当位移量n＜0时，x
2(n-m)与x
1(m)非零值没有重叠部分，故
s(n)=x
1(n)*x
2(n)=0，n＜0
当0≤n≤2时
②
当3≤n≤5时
③
当0≤n-5≤2，即5≤n≤7时
④
当3≤n-5≤5，即8≤n≤10时
⑤
当n-56，即n≥11时，x
1(m)与x
2(n-m)非零值没有重叠部分。
因此
s(n)=x
1(n)*x
2(n)=0
将各区间结果汇总，得
如图3所示。
图3
解法二：利用单位取样序列求卷积
由单位取样序列的卷积性质
s(n)*δ(n-n
0)=s(n-n
0)①
δ(n-m
1)*δ(n-m
2)=δ(n-m
1-m
2)②
而任一序列x(n)都可以用单位取样序列表示，即
因此，可以从两条途径来解本例。
途径一：把x
1(n)，x
2(n)都用单位取样序列表示。有
x
1(n)=G
3(n)-G
3(n-3)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)-δ(n-3)-δ(n-4)-δ(n-5)
x
2(n)=G
6(n)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)+δ(n-4)+δ(n-5)
由式①②，求得
x
1(n)*x
2(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+2δ(n-3)+δ(n-4)-δ(n-6)-2δ(n-7)-3δ(n-8)-2δ(n-9)-δ(n-10)
图形与如图3所示一致。
途径二：只将x
1(n)，x
2(n)中的任一序列用单位取样序列表示，比如x
1(n)，即
x
1(n)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)-δ(n-3)-δ(n-4)-δ(n-5)，x
2(n)=G
6(n)
由式①②，求得
x
1(n)*x
2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)-δ(n-3)-δ(n-4)-δ(n-5)]*G
6(n)=G
6(n)+G
6(n-1)+G
6(n-2)-G
6(n-3)-G
6(n-4)-G
6(n-5)
同样可以得到如图3所示的序列。
一般地，若两个序列进行卷积运算，其中一个有限长，而另一个无限长，那么利用单位样值信号求卷积往往比较简便。
解法三：利用“序列阵表格”法求卷积
如下表所示，x
2(n)从左到右排列，x
1(n)从上到下排列，表中填入的值是x
1(n)和x
2(n)的元素在对应位置的乘积。如第一行中各值就是
x
1(n)中的第一个元素x
1(0)与x
2(n)中的各元素相乘得到的。沿各条对角虚线将各乘积项相加，即得到各卷积s(n)之值。如：s(n)中的s(0)项是x
1(0)与x
2(0)相交所在的对角线上各项乘积的相加值，由此往右下推移，可得s(1)，s(2)，s(3)，…。显然，表左上角的第一项就是s(0)，其值为1，通过简单的运算，就能得到卷积和
s(n)=x
1(n)*x
2(n)={1，2，3，2，1，0，-1，-2，-3，-2，-1}
若所求的卷积和s(n)不是从s(0)开始的，那么在表中，从s(0)向左上推移，即可依次得到s(-1)，x(-2)，s(-3)，…，读者不妨自己练习。从以上过程可以看出，若参加卷积的两个序列都是有限长且较短的序列，那么“序列阵表格法”是一种很简便的求解方法。
的拉普拉斯变换为______。
的象函数为______。
=______。
=______。
；
①
是周期为4的周期序列，且已知8点序列
，0≤n≤7的8点DFT系数为：X(0)=X(2)=X(4)=(6)=1，X(k)=0，其他k。
，并概画出它的序列图形。
是x[n]以周期为8的周期延拓，它的序列图形如图1所示。
①
是周期为4的周期序列，8点序列x[n]=
，0≤n≤7，包含了
的两个完整的周期。根据DFT的性质，4点序列x0[n]=
，0≤n≤3的4点DFT系数为
是x0[n]以4的周期延拓，其序列图形如图1所示。
通过单位冲激响应为
的数字滤波器后的输出y[n]，并概画出它的序列图形。
图形如图2(a)所示。
的图形如图2(b)所示。
的DFS系数为
的DTFT为
通过
后的输出y[n]也是周期为4的周期序列，它的DFS系数为
，将之代入描述系统的微分方程，得
深色：已答题 浅色：未答题