一、选择题2. 已知f(t)
↔F(jω)，则
的傅里叶变换为______。
A．
B．
C．
D．
E．
A B C D E
D
[解析] 因
由傅里叶变换的时移性质有：
f(2t-2)=f[2(t-1)]
↔[F(jω/2)/2]e
-jω
U(t)
↔πδ(ω)+1/(jω)
故
4. 象函数
的原函数f(t)为______。
- A.tU(t)
- B.tU(t-2)
- C.(t-2)U(t)
- D.(t-2)U(t-2)
A B C D
B
[解析]
常用拉氏变换对tU(t)
↔1/(s
2)，U(t)
↔1/s，根据拉氏变换的时移性质，
故得f(t)=2U(t-2)+(t-2)U(t-2)=tU(t-2)。
二、填空题1. 有一LTI系统，其输入x(t)和输出y(t)满足方程
该系统的单位冲激响应为______。
[解析] 输入为冲激相应时，输出对应单位冲激相应：
2. 若某系统对激励e(t)=E
1sin(ω
1t)+E
2sin(2ω
1t)的响应为r(t)=KE
1sin(ω
1t-φ
1)+KE
2sin(2ω
1t-2φ
1)，响应信号是否发生了失真?______(失真或不失真)
不失真
[解析] r(t)=KE1sin[ω1t-φ1]+KE2sin[2ω1t-2φ1]=KE1sin[ω1(t-φ1/ω1)]+KE2sin[2ω1(t-φ1/ω1)]，基波和二次谐波具有相同的延时时间，且φ1/ω1=常数，故不失真。
3. 如图所示反馈系统H(s)=V
2(s)/V
1(s)=______，当实系数k=______时系统为临界稳定状态。
ks/[s2+(4-k)s+4]；4
[解析] 由图可得
整理得
根据系统函数的定义可求出H(s)=ks/[s
2+(4-k)s+4]。如果H(s)的极点位于s平面虚轴上，且只有一阶，则系统为临界稳定系统。此时，要求s一次项为0，极点为虚数，即k=4。
4. f
1(t)和f
2(t)的波形如下图所示，设
，则
=______。
[解析] 由图可以得出f
2(t)和f
1(t)的关系，f
2(t)=f
1(t)-f
1(t-1)，故f
2(t)的傅里叶变换为
四、计算题1. 已知因果离散系统的输入输出方程是一个二阶常系数差分方程，系统的阶跃响应为g(k)=(2
k+3×5
k+10)ε(k)。
(1)求系统的单位响应。
(2)写出描述该系统输入输出关系的差分方程。
二阶常系数差分方程的一般形式可表达式为
(1)求系统的单位响应，当输入为冲激信号，可以表示为
δ(k)=ε(k)-ε(k-1)
输出为单位序列响应
(2)可以根据上面的差分方程一般表达式列出系统的特征方程为
λ
2+α
1λ+α
2=0
由单位响应可知特征根为
λ
1=2，λ
2=5
故有
λ
2+α
1λ+α
2=(λ-2)(λ-5)=λ
2-7λ+10
比较方程两边对应次项系数，可得
α
1=-7，α
2=10
将α
1，α
2代入系统的差分方程一般表达式为
y(k)-7y(k-1)+10y(k-2)=b
0f(k)+b
1f(k-1)+b
2f(k-2)
将f(k)=δ(k)并代入上式可得
h(k)-7h(k-1)+10h(k-2)=b
0δ(b)+b
1δ(k-1)+b
2δ(k-2)①
已知h(k)的表达式，分别令k=0，k=1，k=2，可求得
h(0)=14，h(1)=13，h(2)=62
将上述结果分别代入式①，并注意到h(-1)=h(-2)=0，可解得
b
0=14，b
1=-85，b
2=111
将b
0，b
1，b
2代入式①，得系统的二阶差分方程为
y(k)-7y(k-1)+10y(k-2)=14f(k)-85f(k-1)+111f(k-2)
2. 已知序列值为2、1、0、1的4点序列x[n]，试计算8点序列
其中l为整数，离散傅里叶变换Y(k)，k=0…7。
由题意可知八点序列y(n)=[2 0 1 0 0 0 1 0]，
根据离散傅里叶变换定义可得
W
N=e
-j2π/N
代入求得Y[0]=2+1+1=4，Y[1]=2×e
0+1×e
﹣j2π/4+1×e
﹣j6π/4=2，同理可得Y[k]=[4 2 0 2 4 2 0 2]。
3. 已知系统的微分方程为
写出直接形式和级联结构形式的状态方程和输出方程。
系统传输算子H(p)=2/(p
2+5p+6)。
(1)直接形式
信号流图如下图所示。
根据流图可以知道q'
1(t)=q
2(t)；q'
2(t)=-6q
1(t)-5q
2(t)+e(t)；r(t)=2q
1(t)。
所以状态方程为
输出方程为
(2)级联形式
信号流图如下图所示。
根据流图可以写出各部分之间的关系
q'
1(t)=-3q
1(t)+q
2(t)；q'
2(t)=-2q
2(t)+e(t)；r(t)=2q
1(t)
所以状态方程为
输出方程为
4. 线性卷积y
l(n)=x
1(n)*x
2(n)和循环卷积y
c(n)=x
1(n)·x
2(n)，N=6。
yl(n)=x1(n)*x2(n)={1，2，3，3，3，2，1}，，yc(n)={2，2，3，3，3，2}
6. 设x
1(n)长度为P，x
2(n)长度为L，重算y
c(n)。求N为何值时y
c(n)=y
l(n)，若不然，求在哪些点上y
c(n)=y
1(n)。
当有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N≥max(N1，N2)，当N≥N1+N2-1，则线性卷积与循环卷积相同。即N≥P+L-1=7时。
7. 可以运用一个N点FFT程序同时计算两个N点的不同的实序列x
1[n]和x
2[n]的DFTX
1(k)和X
2(k)，试简述这一计算方法和计算框图，并推导相应的运算公式。
由于N点得FFT程序可以计算一个N点复序列x[n]的DFT系数X(k)，因此，用一个N点FFT程序同时计算两个N点实序列x
1[n]和x
2[n]的DFT的方法如下：首先令：
把两个N点实序列x
1[n]和x
2[n]分别作为实部和虚部，构成一个N点复序列x[n]，即
x[n]=x
1[n]+jx
2[n]①
根据DFT的线性性质，则有：
②
又上式右边可以看出：X
1(k)是X(k)的实部序列，X
2(k)是X(k)的虚部序列，并根据DFT的有关对称性质，可以得到
X
1(k)=Re{X(k)}=0.5{X(k)+X
*(N-k)}，k=0，1，2，…，N-1③
和
X
2(k)=Im{X(k)}=-0.5j{X(k)-X
*(N-k)}，k=0，1，2，…，N-1④
上面两式中的上标*表示取共轭运算(下同)。
用一个N点FFT程序同时计算两个N点实序列x
1[n]、x
2[n]的DFTX
1(k)、X
2(k)的计算框如下图所示。
8. 设LTI离散系统的传输算子为
系统输入f(k)=(-2)
kε(k)，输出y(k)的初始值y(0)=y(1)=0。试求该系统的零状态响应y
f(k)、零输入响应y
x(k)和完全响应y(k)。
已知离散系统的传输算子对其进行化简有
H(E)=(E
2+E)/(E
2+3E+2)=E(E+1)/[(E+2)(E+1)]=E/(E+2)
由此可得系统的单位响应
h(k)=(-2)
kε(k)
(1)计算零状态响应y
f(k)
y
f(k)可以表示为输入信号与单位响应的卷积，即
y
f(k)=f(k)*h(k)=[(-2)
kε(k)]*[(-2)
kε(k)]=(1+k)(-2)
kε(k)
(2)计算系统的零输入响应y
x(k)
由传输算子可列出系统的特征方程为
(E+2)(E+1)=0
解得特征根为
E
1=-1，E
2=-2
故系统的零输入响应y
x(k)为
y
x(k)=[c
1(-1)
k+c
2(-2)
k]ε(k)
完全响应表达式为y(k)=y
x(k)+y
f(k)，将初始条件y(0)=y(1)=0代入，有
解得
c
1=2，c
2=-3
故系统的零输入响应为
y
x(k)=[2(-1)
k-3(-2)
k]ε(k)
(3)系统的全响应为
y(k)=y
x(k)+y
f(k)=[2(-1)
k-3(-2)
k]ε(k)+(k+1)(-2)
kε(k)
9. 已知信号f(t)的频谱
信号y(t)=f"(t)，计算
根据时域微分定理Y(jω)=(jω)
2F(jω)=-ω
2F(jω)，如下图所示。
根据帕斯瓦尔定理，得
10. 试求下图所示周期信号的傅里叶级数。
(1)如图(a)所示。因为f
1(-t)=f
1(t)，所以f
1(t)为偶函数，不含正弦分量，即b
n=0
当n为奇数时，a
n=4/n
2π
2。
当n为2，6，10，…时，a
n=4/n
2π
2+4/n
2π
2=8/n
2π
2。
故f
1(t)的傅里叶级数
(2)如图(b)所示。因为f
2(-t)=f
2(t)，所以f
2(t)为偶函数，不含正弦分量，即b
n=0
且f
2(t)=f
1(t-T/2)，所以
n2=
n1e
-jnΩ(T/2)=
n1e
-jnπ。
又因为
且
n1=a
n1=4/n
2π
2-(4/n
2π
2)cos(nπ/2)，所以
即f
2(t)的傅里叶级数
(3)如图(c)所示，f
3(t)=f
1(t)+f
2(t)，由线性性有
n3=
n1+
n2=a
n1+a
n2=a
n3，即
n3=16/(n
2π
2)，n=2，6，10，…
即f
3(t)的傅里叶级数
(4)如图(d)所示，f
4(t)=f
1(t)-f
2(t)，则
n4=
n1-
n2=a
n1-a
n2=8/n
2π
2，n=奇数。
所以f
4(t)的傅里叶级数
【总结】
①傅里叶级数具有线性性，即
若
则
②傅里叶级数具有时移性，即
若
则
③几个傅里叶系数的关系：n=a
n-jb
n，
，φ
n=arctan(b
n/a
n)，a
n=A
ncosφ
n，b
n=A
nsinφ
n。
本题几个函数都是偶函数，即b
n=0，因而n=a
n。
11. 确定该系统y(n)和x(n)的差分方程。
由于输入输出关系为
①
所以
②
两式相减，得系统的差分方程为
y(n)-y(n-1)=x(n)
12. 求出该系统的单位冲激响应h(n)。
求出该系统的单位冲激响应可以将差分方程表示为h(n)-h(n-1)=δ(n)，特征方程r-1=0，特征根r=1，所以h(n)=C③。
将h(0)=1代入式③，求得C=1，所以单位冲激响应为h(n)=u(n)。
13. 利用帕斯瓦尔定理求下列积分。
(1)
(2)
帕斯瓦尔定理为
(1)令f(t)=Sa(t)，求得
根据能量定理得到
(2)先求
因为双边指数信号
由对称性得
令a=2，即
得
所以
的单边拉普拉斯变换为______。
，结果为A项。
深色：已答题 浅色：未答题