分析计算题非线性系统如下图所示。若输出的初始条件为零;c(0)=(0)=0输入为r(t)=1(t),试求:
1. 在
-e平面上画出相轨迹;
由题意可得
x=5e
即
于是有
由e=r-c=1-c,e(0)=1,得到
=-
,
=-
,
(0)=0,代入整理可得
开关线为e=-0.1,e=0.1,得到系统的相轨迹如下图所示。
2. 判断该系统是否稳定,最大稳态误差是多少。
由相轨迹图可以看出,初始条件下,系统的阶跃响应衰减振荡到奇点。故此系统是稳定的。最终的相轨迹将终止于(-0.1,0.1)的横轴上,故最大的稳态误差为ess=0.1。
3. 某采样系统框图如下图所示。
(1)试判断系统的稳定性;
(2)当输入r(t)=2008+2009t+2010t
2时,试求系统稳态误差。其中误差E(s)=R(s)-C(s)。
系统开环脉冲传递函数为
(1)系统特征方程1+G(z)=0可得|z
1|=|z
2|<1,故系统稳定。
(2)系统闭环传递函数为
由E(s)=R(s)-C(s)可得Φ
e(z)=1-Φ(z)=z(z-1)/(z
2-0.8z+0.2)
可知,系统为L型,故对于r(t)=2008+2009t+2010t
2时,系统稳态误差为∞。
系统的状态空间描述为
y(t)=[-1 1]x(t)4. 设x(0)=0,u(t)≠0,为使系统的状态响应x(t)中包含全部特征值所对应的运动模态,
应如何取值?
为使系统的状态响应x(t)中包含全部特征值所对应的运动模态,系统应完全能控
系统能控性判别矩阵为
系统完全能控时,rank(M)=2,故
(2b
1+b
2)(b
1-b
2)≠0
则b
1、b
2取值为b
2≠-2b
1且b
2≠b
1。
5. 当x(0)=0,u(t)=δ(t),
时,求系统的输出响应y(t)。
系统的闭环传递函数为
传递函数为零,故输出相应也恒为零,y(t)=0。
6. 采样系统如下图所示,其中G(s)对应的Z变换式为G(z),已知:
G(z)=K(z+0.76)/[(z-1)(z-0.45)],(K>0)
问:闭环系统稳定时,K应如何取值?
采样系统
系统的开环脉冲传递函数为
G(z)=K(z+0.76)/[(z-1)(z-0.45)]
系统的闭环特征方程为
z
2+(K-1.45)z+0.76K+0.45=0
令z=(ω+1)/(ω-1),代入可得1.76Kω
2+(1.1-1.52K)ω+2.9-0.24K=0。
于是有
因此系统稳定的K值范围为0<K<0.724。
7. 以x
1,x
2,x
3为状态变量,写出如下图所示系统状态空间表达式,并计算系统的极点。
由题意可得
整理可得
系统的状态空间表达式为
A的特征根即为系统的极点
得到λ
1,2=﹣2,λ
3=﹣1。
8. 某单位反馈控制系统,开环传递函数为G
0(s)=K/[s(s+1)(s+5)],当调整K=K
0时,系统刚好满足动态指标的要求。但在r(t)=t时,稳态误差过大,为满足稳态要求,K应为10K
0,试问有什么办法可以解决这一矛盾。
增益扩大10倍将导致对数幅频曲线上移,使截止频率增大,稳态误差过大,可采用串联滞后校正。
G(s)=K
0/[s(s+1)(s+5)]
绘制幅频特性如下图所示。
可得
。
增益扩大10倍对数幅频曲线上移,要保证截止频率不变,则可增加惯性环节1/(s/ω
1+1),(ω
1<5),为保证高频段与原系统重合,增加一阶微分环节s/5+1,
根据校正后的幅频特性,有
20lg(2K
0/ω
1)=40lg(ω
c/ω
1)
解得ω
1=0.5。
校正后系统的传递函数为
G'(s)=2K
0/[s(s+1)(2s+1)]
因此校正环节传递函数为
G
c(s)=10(0.2s+1)/(2s+1)
单位负反馈系统的开环传递函数为。9. 计算系统阶跃响应指标(调节时长t
s,超调量σ%);
系统的闭环传递函数为
由传递函数可得
调节时间t
s=3/ζω
n≈2.12s(5%误差带);
超调量
10. 计算系统在输入r(t)=(1+2t)·1(t)作用下的稳态误差e
ss。(误差定义为e(t)=r(t)-c(t))
误差传递函数为
当输入为r(t)=(1+2t)×1(t)时,即r(s)=1/s+2/s
2,代入可得
11. 两种串联校正网络特性如下图所示。它们均由最小相位环节组成。若单位反馈系统的开环传递函数为
。
试问哪一种校正网络可以提高系统的稳定性?此时的相位裕度是多少?试问两种校正方法有何相同和不同之处?其适用的条件是什么?
校正前系统的特性图如下图所示。
校正前系统的剪切频率约为19.8,相角裕度约为-11.2,系统不稳定。题图(a)所示校正环节的传递函数为
,题图2(b)所示校正环节的传递函数为
;选(a)时得到校正后系统的剪切频率为6.36,相角裕度约为-12.6°;选(b)时得到校正后系统的剪切频率为36.6,相角裕度约为34.5°,说明选(b)能提高系统的稳定性,故应该选(b)校正装置。
图(a)为相位滞后校正,可以提高系统的稳定裕度,但将使系统的频带过小,也可以提高系统的稳定精度;图(b)为相位超前校正,可以增大系统的稳定裕度和频带宽度,提高了系统动态响应的平稳性和快速性,但是使系统抗干扰的能力有所降低。
12. 已知某系统的开环传递函数为
试绘制系统的Bode图,并求系统的相位裕量和幅值裕量。
系统的开环传递函数为
系统Bode图如下图所示。
由传递函数和Bode图可得
,解得ω
c=500/3。
∠W
k(jω
c)=arctan(ω
c/60)-90°-arctan(ω
c/20)-arctan(ω
c/400)-arctan(ω
c/1000)
将ω
c=500/3代入上式,得∠W
k(jω
c)=-135°。
所以相角裕度为γ=180°+∠W
k(jω
c)=180°-135°=45°
幅值裕度为GM≈17.2dB。
13. 说明矩阵Φ(t)是否为某系统的状态转移矩阵;如果是,请求出其逆阵以及该系统的A阵。
根据状态转移矩阵的定义和性质可以判断出,此矩阵为某一系统的状态转移矩阵
(1)求其逆阵
根据状态转移矩阵的性质有
(2)求矩阵A
根据状态转移矩阵的性质
,Φ(0)=I。
14. 设一阶系统为
(t)=-x(t)+u(t),x(0)=2性能指标为
,控制约束为-1≤u(t)≤1。试确定最优控制u
*(t),最优轨线x
*(t)和最优性能指标J
*。
本题为t
f给定、积分型性能指标、终端自由的最优解问题。令
H=2x-u+λ(-x+u)=(2-λ)x+(λ-1)u
由协态方程
(t)=-
∂H/
∂x=λ-2,λ(t)=-2e
t-1+2
可知:λ(1)=0。由极值条件得
u
*(t)=-sgn[λ(t)-1]=-sgn[-2e
t-1+1]
所以最优控制
因为0≤t<0.307时,u
*=-1,故
(t)=-x(t)-1,x
*(t)=3e
-1-1
而当0.307≤t≤1时,u
*=1,故
(t)=-x(t)+1,x
*(t)=ce
-1-1
因为ce
-0.307+1=3e
-0.307-1,c=3-2e
0.307=0.281
所以最优轨线
最优终端状态
15. 设离散系统差分方程为x(k+1)=x(k)+au(k),x(0)=1,x(10)=0,式中,a为已知常数,性能指标为
;试确定使J为极小的最优控制序列
和最优轨线
。
本题为u(k)无约束、N给定、终端固定的离散最优解问题,用离散极小值原理求解。构造哈密顿函数序列
H(k)=u
2(k)/2+λ(k+1)[x(k)+au(k)]
根据协态方程和极值条件有
λ(k)=
∂H(k)/
∂x(k)=λ(k+1),λ(k+1)=λ(k)=c
∂H(k)/
∂u(k)=u(k)+aλ(k+1)=0,u*(k)=-ac
将
代入状态差分方程
x(k+1)=x(k)-a
2c
x(1)=x(0)-a
2c
x(2)=x(1)-a
2c=x(0)-2a
2c
...
x(k)=x(0)-ka
2c
代入x(0)=1,x(1)=0,解得
c=0.1a
-2 因此最优解为
u
*(k)=-0.1a
-1,x
*(k)=1-0.1k,k=0,1,...,10
描述系统的微分方程为:
式中,T1,T2,k2都为正常数,k1为比例控制器的增益。16. 画出系统的方框图,求参考输入r(t)到输出y(t)之间的传递函数,参考输入r(t)到误差e(t)=r(t)-y(t)之间的传递函数;
对系统给出的微分方程,作零初始条件下的拉氏变换并整理可得:
系统的方框图如下图所示。
可得参考输入到输出的传递函数为
17. 求使系统稳定k
1的取值范围。设r(t)=1-t,为使系统的稳态误差e
ss=r(∞)-y(∞)≤ξ
0,k
1的取值应满足什么条件?
系统的特征方程为D(s)=T
1T
2s
3+(T
1+T
2)s
2+s+k
1k
2=0。列出劳斯表如下表所示:
当系统闭环稳定时有1-(T
1T
2k
1k
2)/(T
1+T
2)>0,即k
1<(T
1+T
2)/(T
1T
2k
2)。
又当r(t)=1-t时,即R(s)=1/s-1/s
2=(s-1)/s
2时:
即
,由此可得
。
18. 已知系统如下图所示,T为采样周期,试求出使系统稳定,参数K的取值范围并说明采样周期变化对系统稳定性的影响。
由系统结构图可得
离散系统特征方程为
D(z)=1+G(z)=z
2+[K(1-e
-T)-(1+e
-T)]z+e
-T=0
令z=(ω+1)/(ω-1),代入方程化简后得Kω
2+2ω+[2(1+e
-T)/(1-e
-T)-K]=0。
列劳斯表如下
根据劳斯判据得系统稳定的条件为K>0及K<2(1+e
-T)/(1-e
-T)。
由上式可看出,采样周期增大,即采样频率减小,临界K减小,从而降低了系统的稳定性。
19. 若线性定常系统的传递函数为
G(s)=K(s+4)/[s(s+3)(s+4)]
为使系统是能控不能观的,试写出该系统的状态空间表达式。
G(s)=K(s+4)/[s(s+3)(s+4)]=K(s+4)/(s
3+7s
2+12s)
则能控不能观的状态空间表达式,即能控标准型为
y=[4K K 0]x
设采样系统的方框图如下图所示。
20. 求闭环脉冲传递函数C(z)/R(z);
系统的开环脉冲传递函数为
系统的闭环脉冲传递函数为
C(z)/R(z)=G(z)/[1+G(z)]=K(1-e
-T)/[z
2-e
-Tz+K(1-e
-T)]
21. 确定系统稳定的K值范围;
系统的特征方程为D(z)=z
2-e
-Tz+K(1-e
-T)=0,作双线性变换,令z=(ω+1)/(ω-1),代入整理可得
D(ω)=[(ω+1)/(ω-1)]
2-e
-T·(ω+1)/(ω-1)+K(1-e
-T)=0
整理可以得到
D(ω)=(K+1)(1-e
-T)ω
2+[2-2K(1-e
-T)]ω+K+1+(1-K)e
-T=0
闭环系统稳定时
或
易判断后一种可能性不存在,解得-1<K<1/(1-e
-T)。
22. 简要说明采样系统与连续系统的性能差别。
离散系统只在采样点具有连续系统所具有的信息,其离散信号的频谱中,除含有与连续信号的频谱对应的主要分量外,还有无穷多个附加的辅助分量,这些辅助分量相当于干扰,在系统中直接影响其动态性能,导致产生额外的反应误差。因此,需要在这些辅助分量到达系统输出端之前将其全部滤掉。