计算题1. 求图(a)所示等截面桁架A点的水平位移及AB杆的转角,各杆EA均为已知。
(1)支反力
由桁架的整体平衡得F
BV=F
CV=F,F
CH=F。
(2)各杆内力
由节点A和节点B的平衡分别得N
1=F,
,N
3=0。
(3)用卡氏定理求A点的水平位移Δ
AH
由于N
3=0,所以B点无水平位移,于是AB杆的转角为
本题还可用莫尔积分求AB杆的转角,由于AB杆的杆端为铰接(桁架均如此),因而不可能在节点上(杆端)施加单位力偶M
0=1,这时可将施加力偶改为在杆端分别办
的力[见图(b)],使得
,于是可求得各杆相应的轴力为
由此
2. 下图所示纯弯曲梁,已知外力偶矩M
e,截面对中性轴的惯性矩I
z,材料的弹性常数为E、v,AB线段的长度为a。求线段AB的长度改变量。
(1)要求出AB的长度改变量,则需要求出AB的线应变。该梁为纯弯曲,故AB线段上任意一点都处于单向压缩状态,但AB上各点的压应力是互不相等的,所以AB线上的线应变沿AB是变化的,应逐点求得。
取AB上任意一点K的单元体为单向压缩应力状态,其压应力为σ=-My/I
z=-M
ey/I
z。
(2)根据平面应力状态公式可得45°、135°方向的正应力
(3)在45°和135°方向(AB方向为135°)使用胡克定律,得
则将ε
135°dl在AB上积分,则可得Δl
AB:
3. 下图所示悬壁梁,左半部承受集度为q的均布载荷作用,试利用奇异函数法建立梁的挠曲线方程。设弯曲刚度EI为常值。
为了利用奇异函数建立弯矩的通用方程,将作用在梁左半部的均布载荷q,延展至梁的右端C(图(b)所示),同时,在延展部分施加反向同值均布载荷,于是得弯矩通用方程为M=-qx
2/2+q/2<x-l/2>
2,所以,挠曲线通用微分方程分
经积分,得
①
EIω=-qx
4/24+q/24<x-l/2>
4+Cx+D ②
在固定端截面处的挠度和转角均为零,得梁的位移边界条件为
在x=l处,dω/dx=0;在x=l处,ω=0。
将上述条件分别代入式①与②,得积分常数:C=7ql
3/48,D=-41ql
4/384。
将所得C与D值代入式②,得挠曲线的通用方程为
ω=[-qx
4/24+q/24<x-l/2>
4+7ql
3x/48-41ql
4/384]/(EI)
由此得AB与BC段的挠曲线方程分别为
ω
1=[-qx
4/24+7ql
3x/48-41ql
4/384]/(EI)
ω
2=[-qx
4/24+q(x-l/2)
4/24+7ql
3x/48-41ql
4/384]/(EI)
4. 用能量法求下图所示各结构的约束反力,并作内力图。设各杆的弯曲刚度EI为常数。
(a)解除C支座水平约束,用约束力X代之,基本系如图(a)所示;先求出A、C处的约束力(用X表示);列各段的弯矩方程,求偏导数
BC段:M
1(x)=(M
e/l+X)x,
əM
1/
əX=x(0≤x≤l)。
AB段:M
2(x)=Xx,
əM
2/
əX=x(0≤x≤l)。
由于铰支座C端的水平方向上的位移为零,使用卡氏定理得到:
即
可解得X=-M
e/(2l)(←)。
由平衡条件解得F
Ax=X=-M
e/(2l),F
Ay=F
Cy=M
e/(2l),作内力图如图(a)所示。
(b)解除C支座水平约束,用约束力X代之,基本系如图(b)所示;列各段的弯矩方程,求偏导数
BC段:M
1(x)=Xx,
əM
1/
əX=x(0≤x≤l)。
AB段:M
2(x)=Xl-qx
2/2,
əM
2/
əX=l(0≤x≤l)。
由于铰支座C端的水平方向上的位移为零,使用卡氏定理得到:
即
可解得X=ql/8(→)。
由平衡条件F
Ax=X=ql/8(←),F
Ay=ql(↑),M
A=3ql
2/8(
)。
作内力图如图(b)所示。
(c)利用对称性,取一半计算,对称结构受对称荷载作用跨中截面只有对称的内力 ,用X
1和X
2表示,得到基本系如图(c)所示;列各段的弯矩方程,求偏导数
DC段:M
1(x)=X
2-Fx/2,
əM
1/
əX
1=0,
əM
1/
əX
2=1(0≤x≤l/2)。
AD段:M
2(x)=-X
1x+X
2-Fl/4,
əM
2/
əX
1=-x,
əM
2/
əX
2=1(0≤x≤l)。
由于C截面的水平方向上的位移和转角均为零,使用卡氏定理可以得到:
即
和
可解得X
1=-F/8(←),X
2=Fl/6(
)。由平衡条件F
Ax=F/8(→),F
Ay=F/2(↑),M
A=Fl/24(
)。作内力图如图(c)所示。
(d)利用反对称性,取一半计算,对称截面上只有反对称的内力,用X表示,基本系如图(d)所示;列各段的弯矩方程,求偏导数
CG段:M
1(x)=Xx,
əM
1/
əX=x(0≤x≤l/2)。
AC段:M
2(x)=-Fx+Xl/2,
əM
2/
əX=l/2(0≤x≤l)。
由
即
可解得X=6F/7(↑)。由平衡条件F
Ax=F(←),F
Ay=6F/7(↓),M
A=6Fl/7(
)。作内力图如图(d)所示。
5. 如图(a)所示外伸梁ABC在自由端C受铅直载荷P的作用,已知EI为常数,试用能量原理求C端的挠度。
设A、B处的支座反力分别为R
A、R
B:
由∑m
A=0,得R
B=P(1+a/l)(↑)。
由∑m
B=0,得R
A=Pa/l(↓)。
在外载作用下,梁ABC各段的弯矩为
AB段:0≤x
1≤l,M(x
1)=(Pa/l)x
1。
BC段:0≤x
2≤α,M(x
2)=-Px
2。
则整个梁的应变能为
若P力沿其作用方向的位移为y
C,则在变形过程中,P所做的功为W=Py
C/2,由能量原理V
ε=W可得P
2a
2l/(6EI)+P
2a
3/(6EI)=Py
C/2,则y
C=Pa
2(l+a)/(3EI)。
6. 长度为l,弯曲刚度为EI,总重量为P=mg的匀质简支梁AB,在跨度中点C处承受重量为P
1=m
1g的重物从高度h自由下落的冲击作用,如下图所示。若需考虑被冲击的梁AB的质量,试求其动荷因数。
设梁在静荷载P
1作用下,跨中截面C的挠度为Δ
1,挠曲线方程为Δ
1(x);梁在冲击荷载作用下,跨中截面C的挠度为Δ
2,挠曲线方程为Δ
2(x)。则动荷因数K
d=Δ
2/Δ
1=Δ
2(x)/Δ
1(x)。
(1)系统在冲击前瞬时的机械能。冲击前瞬时,重物下降至与梁接触,梁与重物以相同的速度一起向下运动。静荷载下梁的挠曲线方程为Δ
1(x)=P
1(3l
2-4x
2)x/(48EI)(0≤x≤l/2),Δ
1=P
1l
3/(48EI)。设重物和梁一起下降时,截面C的下降速度为v
1,则梁任一微段dx的速度v为v=v
1Δ
1/Δ
1=v
1x(3l
2-4x
2)/l
3。
由动量守恒原理
解得梁和重物一起下降时,截面C的下降速度为
梁和重物在冲击前瞬时(图1中梁的水平位置)的机械能为
E
P1=0
V
ε1=0
图1
(2)系统在冲击末瞬时的机械能。冲击末瞬时,梁和重物下降至最低位置,速度为0(图1中位置2)的机械能为
E
k2=0
E
P2=-P
1Δ
2=-2(P
1K
dΔ
1/2)=-2K
dV
ε(V
ε为静荷载P
1下梁的应变能)
V
ε2=F
dΔ
2/2=(K
dP
1)(K
dΔ
1)/2=K
d2V
ε
(3)动荷因数。由机械能守恒原理
E
k1+E
P1+V
ε1=E
k2+E
P2+V
ε2
E
k1=V
ε(K
d2-2K
d)
解得K
d>1的根,即得动荷因数为
7. 图(a)所示液压机油缸,沿油缸表面的ab方向(环向)和ad方向(轴向)分别测出应变ε
1=+254×10
-4,ε
2=+68×10
-4,油缸材料是45钢,E=210GPa,ν=0.28,试求油缸壁的主应力。
(a)
该油缸是一厚壁圆筒,承受压强为P的油压。从对称性可见,在圆筒表面沿轴线方向和圆周方向是两个主方向。如图(b)所示取单元体处于主应力σ
1和σ
2的作用,已经测出的应变ε
1和ε
2就是两个主应力σ
1和σ
2方向的主应变。
(b)
根据平面应力状态下,主应力在左边的胡克定律有:
将题目中的具体数值代入上式,得到主应力:
8. 如下图所示圆杆上有一个沿直径的贯穿圆孔,不对称交变弯矩为M
max=5M
min=512N·m。材料为合金钢,σ
b=950MPa,σ
-1=430MPa,ψ
σ=0.2。圆杆表面经磨削加工。若规定安全因数n=2,n
s=1.5,试校核此杆的强度。
(1)计算圆杆的工作应力
W=πd3/32=π×(0.04)3/32=6.28×10-6m3
σmax=Mmax/W=512/(6.28×10-6)=81.5MPa
σmin=σmax/5=16.3MPa
r=σmin/σmax=1/5=0.2
σm=(σmax+σmin)/2=(81.5+16.3)/2=48.9MPa
σa=(σmax-σmin)/2=32.6MPa
(2)确定因数Kσ,ε,β。
按照圆杆的尺寸d0/d=2/40=0.05。
查得σb=950MPa,Kσ=2.18;查得εσ=0.77;查得表面经磨削加工的杆件,β=0.77。
(3)疲劳强度校核
nσ=σ-1/[Kσσa/(εαβ)+yσσm]=430/[2.18×32.6/(0.77×1)+0.2×48.9]=4.21
规定的安全因数为n=2.nσ>n,所以疲劳强度是足够的。
(4)静强度校核因为r=0.2>0,所以需要校核静强度,最大应力对屈服极限的工作安全因数为nσ=σs/σmax=540/81.5=6.62>ns=1.5,所以静强度也是满足的。
9. 圆环状曲杆在其平面内受集中力作用,如下图所示。图中的F、R和EI均为已知。试用莫尔积分求B点水平方向的位移。
在B处加水平的单位力,如下图所示。
由对称性可求得支反力F
Ay=F
By=F/2(↑),
。
建立极坐标如图示,由静力平衡条件可得弯矩方程M(φ)和(φ),即为
M(φ)=F
ByR(1-cosφ)=FR/2·(1-cosφ)(0≤φ≤π/2)
(φ)=1·Rsinφ=Rsinφ(0≤φ≤π/2)
根据对称性,由单位载荷法可得B点的水平位移
10. 结构的组成及受力如图(a)所示。梁AB为14号工字钢,杆CD为5号槽钢,二者材料均为3号钢。已知P=15kN,a=1m,[σ]=160MPa,试校核此结构是否安全。
(1)构件的受力分析
以梁AB为平衡对象,其受力图如图(b)所示。
根据平衡条件
∑M
A=0
根据平衡条件
∑x=0,∑y=0
x
A=2P=30kN,y
A=P=15kN。
(2)对梁AB进行强度校核
梁AB在C截面处弯矩最大,其弯矩为:
M
max=P·α=15×1=15kN·m
轴力为:
N=x
A=30kN
由型钢表查得14号工字钢W=102cm
3,A=21.5cm
2。
C截面最大正应力为:
σ
max=M
max/W+N/A=15×10
6/(102×10
3)+30×10
3/(21.5×10
2)=161Mpa>[σ]=160MPa
(σ
max-[σ])/[σ]<5%
满足强度条件。
(3)对压杆CD进行稳定校核
5号槽钢截面的几何参数为:
i
min=1.1cm,A=6.93cm
2,λ=μl/i
min=1×1.414×10
3/(1.1×10)=128.5
由表查得:
λ=120,φ=0.466,λ=130,φ=0.401
用直线内插法求得:
λ=128.5,f=0.466-8.5/10×(0.466-0.401)=0.411
压杆的稳定许用应力为:
[σ]
st=φ[σ]=0.411×160=65.8MPa
压杆的工作应力:
σ=N
CD/A=42.4×10
3/(6.93×10
2)=61.2MPa<[σ]
st
压杆满足强度条件,故整个结构是安全的。
图(a)所示矩形截面梁自由端作用集中力偶M0=3kN·m,力偶作用平面与y轴成θ=30°,已知材料的E=200GPa。
试求:11. 固定端截面四个角点的正应力值,并画出该截面的正应力分布图;
固定端截面正应力值
力偶M0作用面不是梁的主惯性平面,可把力偶M0矢量分解为xz和xy两个平面内的分量My和MZ,My和MZ两个力偶分量,将分别引起梁在xz和xy两个平面内的弯曲,即发生斜弯曲,如图(b)所示。
xz平面内的弯曲
My=M0sinθ=3sin30°=1.5kN·m
Wy=1/6×150×1002=25×104mm3
A,B两点的正应力为
σA,B=-My/Wy=-1.5×106/(25×104)=-6MPa
C,D两点的正应力为
σC,D=My/Wy=1.5×106/(25×104)=6MPa
xy平面内的弯曲
Mz=M0cosθ=3cos30°=2.6kN·m
Wz=1/6×100×1502=37.5×104mm3
A,D两点的正应力为
σA,D=-Mz/Wz=-2.6×106/(37.5×104)=-6.93MPa
B,C两点的正应力为
σB,C=Mz/Wz=2.6×106/(37.5×104)=6.93MPa
xz和xy两个平面内的弯曲(斜弯曲)的合应力为
σA=-6-6.93=-12.93MPa
σB=-6+6.93=0.93MPa
σC=6+6.93=12.93MPa
σD=6-6.93=-0.93MPa
截面的正应力分布如图(c)所示。
12. 固定端截面中性轴方程;
确定固定端截面中性轴方程
设y0,z0是中性轴上的一点,则中性轴方程为
Myz0/Iy+Mzy0/Iz=0
其中截面惯性矩
Iy=150×1003/12=12.5×106mm4
Iz=100×1503/12=28.1×106mm4
代入方程得1.5×106×z0/(12.5×106)+2.6×106×y0/(28.1×106)=0
则中性轴方程为
12z0+9.25y0=0
中性轴倾角为
|tanα|=|y0/z0|=12/9.25=1.297,所以α=52.4°
13. 梁的最大挠度;
计算梁的最大挠度
梁的最大挠度发生在自由端。
xy平面内弯曲时自由端的挠度
xz平面内弯曲时自由端的挠度
总挠度
挠度的方向|tanβ|=|f
z/f
y|=0.3/0.2313,所以β=52.4°。
14. 当角度θ由0变化到2π时,梁变形后自由端形心的轨迹方程。
确定自由端形心的轨迹方程
xy平面内弯曲时,自由端的挠度
xz平面内弯曲时,自由端的挠度
f
y2=0.27
2cos
2θ,f
z2=0.6
2sin
2θ
所以自由端形心的轨迹方程是一个椭圆方程f
y2/0.27
2+f
z2/0.6
2=1。
由计算结果可以看出:α≠θ,即中性轴和载荷作用平面不垂直;β≠θ,说明梁变形后轴线所在平面和载荷作用平面不在同一平面,即发生“斜弯曲”;α=β,表示中性轴和弯曲平面垂直。
15. 如图(a)所示的薄壁筒,在它的两个端面内作用有扭转外力偶矩M
e=628N·m,并沿轴线承受拉力F=31.4kN,薄壁筒的内径d=50mm,壁厚t=2mm。试从薄筒上任意一点取出原始单元体,并根据应力圆画出该点的主单元体。
(a)
(1)对于薄壁圆筒,当其仅受扭转时,切应力τ
x在横截面上的分布是均匀的,且与扭矩同一方向。而当其仅受拉伸时,其横截面上的正应力σ
x也是均匀的,且与轴力同一方向。所以,对于该薄壁圆筒,同时承受拉伸和扭转共同作用,其上任意一点的单元体应力状态都是一样的。
(2)在A点取出的单元体,代表任意一点的原始单元体,如图(b)所示。
(b)
薄壁筒的横截面积为。
由拉力F引起的正应力为:
由扭矩M
e引起的切应力:
(3)根据单元体上的应力,画出应力圆。σ
x=σ,σ
y=0,τ
x=τ。
圆心坐标为:
半径为:
应力圆为:
图(c)
16. 长度为l的矩形截面杆如图(a)所示,在中间受到一对大小相等、方向相反的力F作用,弹性模量E和泊松比μ均为已知。试求杆的长度变化Δl。
在杆的两端面加一对轴向拉力N,如图(b)所示,则横向变形为Δh=-μεh=-μσh/E=-μNh/(bhE)=-μN/(bE)。
根据功的互等定理,F力在N力引起的横向变形上所做的功应等于N力在F力引起的轴向变形上所做的功,即-F·Δh=N·Δl,-F[-μN/(bE)]=N·Δl,所以,Δl=μF/(bE)。
一端固定、另一端自由的大柔度直杆,压力F以小偏心距e作用于自由端,如下图所示。试导出下列诸量的公式:
17. 杆的最大挠度Δ;
当杆受偏心压力作用而弯曲时,其任一横截面x处的弯矩:
M(x)=-F(Δ+e-w)
由此可得杆挠曲线的近似微分方程:
EIzw"=-M(x)=F(Δ+e-w)
令k2=Fcr/(EI),上式变形为:
w"+k2w=k2(Δ+e)
上述微分方程的通解及一阶导为:
w=Asinkx+Bcoskx+(Δ+e)
w'=Akcoskx-Bksinkx
根据边界条件(w)x=0=0,(w')x=0=0可确定积分常数:
A=0,B+(Δ+e)=0①
由(w)x=l=Δ得:
Bcoskl+(Δ+e)=Δ②
联立①、②可得杆的最大挠度:
Δ=e(1-coskl)/coskl
18. 杆的最大弯矩M
max;
分析该梁可知,最大弯矩值发生在梁的固定端截面上,由弯矩方程可得:
Mmax=|-F(Δ+e)|=F(Δ+e)
将最大挠度值代入上式整理得:
Mmax=Fe/coskl
19. 杆横截面上的最大正应力。
杆内最大正应力发生在杆的固定端截面上的凹侧边缘,值为:
σc,max=F/A+Mmax/Wz=F/A+Fe/(Wzcoskl)
k2=F/(EIz)
20. 一直径为d的圆截面平面曲拐ABC(AB⊥BC,位于xz平面),与直径为d
0的圆截面杆CD铰接C点,如图(a)所示。今有一重为W的物体,由高度为H处自由落下冲击于曲拐B点,试校核CD杆的安全。已知材料的力学性能:σ
b=380MPa,σ
s=240MPa,σ
p=200MPa,E=200GPa,G=80GPa;结构尺寸:d=50mm,d
0=10mm,l=1m,载荷W=200N,高度H=20mm;强度安全系数n=2,稳定安全系数[n
w]=3。
此结构为一次静不定。CD为二力杆,设承压为F,取曲拐ABC为研究对象,其受力情况如图(b)所示。
(1)C点的变形条件结构在C点的位移Δ
C等于CD杆压缩量,即Δ
C=Δl
CD。
由图(b)可知:
Δ
C=Fl
3/(3EI)+Fl·l/(GI
p)·l+Fl
3/(3EI)-Wl
3/(3EI),Δl
CD=F·2l/(EA),则(2F-W)l
3/(3EI)+Fl
3/(GI
p)=2Fl/(EA)。
由此可解出
(2)求动荷系数
Δ
jB为静力W作用于B处所引起B点处的竖直位移,在解出多余约束力F以后,B点的位移即是曲拐ABC在W和F共同作用下B点的挠度。
Δ
jB=(W-F)l
3/(3EI)=0.9mm
故在冲击载荷作用下,CD杆的承压力为
F
d=K
dF=7.74×34.6=268N
(3)校核CD杆
稳定性校核:
λ=μl/i=1×1000/(10/4)=400
λ>λ
p,故CD杆为细长杆,临界力为
F
cr=π
2EI/(μl)
2=π
2×200×10
9×π/64×10
4/(1×1000)
2=969N
实际稳定安全系数n
w=F
cr/F
d=969/268=3.6>3。CD杆无削弱,故不需要作强度校核,所以CD杆是安全的。
21. 如图所示结构中,AB为刚性杆,AD为钢杆,横截面面积A
1=500mm
2,弹性模量E
1=200GPa;CG为铜杆,横截面面积A
2=1500mm
2,弹性模量E
2=100GPa;BE为木杆,横截面面积A
3=3000mm
2,弹性模量E
3=10GPa。当G点受力F=60KN作用时,求该点的竖直位移Δ
G。
由平衡条件可求得
F
A=F×2/3=40(kN)(压)
F
B=F×1/3=20(kN)(压),F
CG=F=6(kN)(拉)
由Δl=FHl/(EA)可求得各杆的变形
22. 一圆形薄壁梁,横截面如下图所示,剪力F
s位于对称轴y,且方向向上,试画横截面上的弯曲切应力分布图,并计算最大弯曲切应力。已知截面的平均半径为R
0,壁厚为Δ。
(1)问题分析。
对称弯曲时,横截面上的弯曲切应力分布对称于截面的纵向对称轴y,因此,在该对称轴上各点处,不存在垂直于该轴方向的切应力。由此可见,圆环形闭口薄壁梁纵向对称轴上A点处的弯曲切应力为零,其切应力分布与A处开口的圆环形薄壁梁相同(图(b)所示)。
(2)建立弯曲切应力方程。
如图(a)所示,设中心线上任一点B的位置用极角φ表示,则该点处的弯曲切应力为
τ(φ)=F
SS
z(φ)/(I
zΔ)①
式中,S
z(φ)代表圆弧形截面AB对中性轴z的静矩。由图(b)可以看出
②
此外薄壁圆截面的惯性矩为I
z=πR
03Δ,将式②与上式代入式①,于是得
τ(φ)=F
Ssinφ/(πR
0Δ)③
(3)计算最大弯曲切应力。
根据式③,得圆环形薄壁梁的弯曲切应力分布如图(c)所示。中性轴上各点处的弯曲切应力最大,其值为τ
max=F
S/(πR
0Δ)。
23. 如下图所示刚架弯曲刚度El,求截面C铅垂位移Δ
c和截面A转角θ
A。
由整体平衡及折杆ABC的平衡,可得支座A的支反力为F
Ax=qa/8(→),F
Ay=qa/2(↑),
各段弯矩方程(由对称性,研究一半)为AB段:M(x
1)=qax
1/8;BC段:M(x
2)=qx
22/2。
(1)求Δ
C,配置单位载荷系统如图(a)所示。
各段弯矩方程
AB段:
。
方向竖直向下。
(2)求θ
A,在A、D两截面配置一对单位力偶,求出两截面相对转角,除以2后即得A截面转角。配置单位载荷状态如图(b)所示。
各段弯矩方程
AB段:
;BC段:M(x
2)=0。
负号表示与A点附加单位力偶方向相反,逆时针。
24. 下图所示外伸梁受均布荷载q=7.5kN/m作用,截面为矩形,h=2b,已知屈服极限σ
s=235MPa,安全因素n=1.71。试按极限荷载法确定截面尺寸。
由∑M
B=0,得:F
Ay=15.75kN,由∑F
y=0,得:F
By=36.75kN。
作弯矩图如图,M
max=16.54kN·m。由梁的强度条件:
M
max≤M
u/n=σ
sW
s/n,W
s=bh
2/4=b
3≥M
maxn/σ
s=16.54×10
3×1.71/(235×10
6)=12.04×10
-5(m
3)
可解得b=49.4mm≈50mm,h≈100mm。
25. 图(a)所示钢环的平均直径d=22cm,其横截面为高h=2cm,宽b=4cm的矩形,重物F=50N,从2cm高处沿环的直径方向铅直下落撞击钢环。设重物的表面为非弹性,一旦与钢环接触即永远接触,不计钢环自重,只考虑弯曲变形。已知钢环弹性模量E=210GPa,试导出撞击钢环时环内最大弯矩的表达式,并计算环内最大正应力。
(1)求静载时环内最大弯矩:
由于对称缘故,沿水平直径方向把圆环切开,如图(b)所示,截面上有轴向力F
N=F/2,剪力为零,弯矩X
1未知,故为一次静不定。取1/4圆环计算,如图(c)所示。X
1为多余约束力。根据B截面转角为零,有正则方程
Δ
11X
1+Δ
1F=0 ①
载荷、单位力X
1=1作用下的弯矩分别为M
F=FR(1-cosφ)/2(0≤φ≤π/2),
,于是用莫尔定理可得:
由代入式(1)得
X
1=-Δ
1F/Δ
11=FR(1/2-1/π)
任意截面上的弯矩,由叠加原理得
即:
M(φ)=FR[1/π-(cosφ)/2] ②
显然,圆环中最大弯矩发生在C,D截面上,即当ψ=π/2时,最大弯矩值为M
max=M
π/2=FR/π。
(2)求环内最大正应力。为了确定动荷系数,须求出C点处的静变形Δ
st,为此,在C点作用单位力,列出其弯矩方程M(ψ)。实际上,应用(2)式,且令F=1,得
③
由莫尔定理得
自由下落物体的动荷因数为
静荷下最大正应力为
σ
st,max=M
π/2/W=6FR/(πbh
2)=6×50×11×10
-2/(π×4×2
2×10
-6)=65.65×10
4Pa
动荷下最大正应力为
σ
d,max=K
dσ
st,max=151.4×65.65×10
4=99.4MPa