计算题1. 平面刚架如下图所示，刚架各部分截面相同，弯曲刚度是EI。试用能量法求截面A的垂直位移和转角。
在已知力作用下，刚架的弯矩图如图(a)所示。
(1)为求得截面A的垂直位移，故在A点施加竖直向下的单位载荷，在单位载荷作用下刚架的弯矩图如图(b)所示。由图乘法得A点垂直位移：
结果为正说明位移的方向和所施加单位力的方向一致，为竖直向下。
(2)为求得截面A的转角，故在A点施加单位弯矩，相对应刚架的弯矩图如图(c)所示。由图乘法得A点转角为：
结果为正说明转角的方向和所施加单位力偶的方向一致，为逆时针。
2. 试确定如下图所示开口薄壁圆环截面的剪心位置。
如下图所示，剪心E在对称轴z上，下面确定E与y轴的距离e
z。截面对z轴的惯性矩为I
z=πR
3t，角度为0～φ之间圆弧截面对z轴的静矩为
根据切应力公式，得角度为φ处的切应力为
根据合力矩定理得
3. 下图所示外伸梁，承受集中载荷F与矩为M
e的力偶作用，且M
e=F
A，试利用奇异函数法计算横截面A的挠度。设弯曲刚度EI为常数。
支座B与C的支反力分别为F
By=2F，F
Cy=F。
挠曲线的通用微分方程则为
经积分，得
EIω=-Fx
3/6+F/3＜x-a＞
3-Fa/2＜x-2a＞
2+Cx+D①
在铰支座处梁的挠度为零，可得梁的位移边界条件为：
在x=a处，ω=0；在x=3a处，ω=0。
将上述条件分别代入式①，得积分常数：C=13Fa
2/12，D=-11Fa
3/12。
将所得积分常数值及x=0代入式①，即得截面A的挠度为ω
A=-11Fa
3/(12EI)(↓)。
4. 用中间铰B连接的组合梁如图(a)所示，EI=常数，试求C点挠度和B处两侧相对转角。
(1)用单位力法求解。作梁的弯矩图如图(b)所示。
求yc：由于梁上荷载即为C点处沿要求位移方向的力P，故在C点处加沿竖直方向的单位力的弯矩图M
10可以省略[令图(b)中P=1即为M
10图]。作图乘计算得
求Δθ
B：在B处两侧加一对单位力偶矩，作其弯矩图M
20[图(c)]，作图乘计算得
(2)用卡氏第二定理求解。
求y
c：
M(x
1)=Px
1/2-Pa/2(0≤x
1≤2a)
M(x
2)=Px
2/2(0≤x
2≤a)
əM/
əP=(x
1-a)/2(0≤x
1≤2a)
əM/
əP=x
2/2(0≤x
2≤a)
所以，C点的挠度为
求Δθ
A：由于B处无相应荷载，须施加一对虚拟力偶矩M
f如图(d)所示，求得弯矩方程：
M(x
1)=3M
f/2-Pa/2+[P/2-M
f/(2a)]x
1(0≤x
1≤2a)
M(x
2)=[P/2+M
f/(2a)]x
2(0≤x
2≤a)
求得其对M
f之偏导数，然后再令M
f=0，即可求得B点处两侧相对转角
5. 如下图所示材料的应力-应变关系为
，压缩时关系式中的σ和ε均取绝对值，求截面A的挠度。
根据平面假设
ε=y/ρ
①
由坐标x处弯矩值及截面上的弯矩一应力关系得
所以
②
将式②带入式①，应力表达式为
余能密度
梁的总余能
由克罗第一恩格赛定理计算挠度
6. 按第三强度理论，求许可载荷[F]。
求许可载荷[F]。在a截面处，其内力分量分别为
F
S=F，M(α)=FRsinα，T(α)=FR(1-cosα)
不计剪力，且当α=π/2时，M(α)，T(α)达到最大，故危险截面为A截面，且M
max=T
max=FR。根据第三强度理论，有
故
7. 在F力作用下，自由端绕杆轴线的转角θ
B。
求自由端转角θ
B。依题意，这里θ
B应指B截面的转角，故在B端加单位扭矩=1，在α截面处，
。由于是曲杆结构，故选用莫尔积分法求解。
8. 下图所示吊车梁由22a号工字钢制成，并在中段焊上两块截面为120mm×10mm，长为2.5m的加强钢板，吊车每次起吊50kN的重物。若不考虑吊车及梁的自重，该梁所承受的交变荷载可简化为F
max=50kN，F
min=0的常幅交变荷载。焊接段采用手工焊接，属第3类构件，若此吊车梁在服役期内，能经受2×10
6次交变荷载作用，试校核梁的疲劳强度。
截面的惯性矩
Iz=3400×10-8+2(120×103/12+120×10×1152)×10-12=6576×10-8(m4)
最大应力为
Mmax=Fl/4=62.5kN·m
σmax=Mmaxymax/Iz=62.5×103×120×10-3/(6576×10-8)≈114(MPa)
最小应力为
Mmin=0
σmin=0
容许应力幅为
[Δσ]=(C/N)1/β=[3.26×1012/(2×106)]1/3≈117.7(MPa)
应力幅值为
Δσ=σmax-σmin=114MPa＜[Δσ]
该梁满足疲劳强度。
9. 如图(a)所示焊接工字钢梁的截面尺寸为h=180mm，b=94mm，t=10.7mm，d=6.5mm。已知F=150kN，E=210GPa，V=0.3，I
z=16.59×10
6mm
4，试求C点处的线应变
、
、
(a)
(1)确定C点的应力状态，为平面应力状态，如图(b)所示。σ
x为C点的弯曲正应力，τ
x为C点弯曲切应力。
(b)
C点处所受的弯矩为：
M=150×500-75×750=18.75kN·m
剪力为：
F
S=75kN
弯曲正应力为：
弯曲切应力为：
(2)由胡克定律可得线应变：
(3)通过平面应力状态分析可得45°和135°方向上的正应力为：
在45°和135°方向使用胡克定律，可得45°方向上的线应变为：
10. 下图处于铅垂位置的重物Q绕梁的A端转动，初始速度为v，梁的弯曲刚度为EI，抗弯截面系数为W，求重物冲击到梁上时梁内的最大正应力。
记重物Q的重量为F。
先求动载荷因数K
d
E
0=Fv
2/(2g)+FL/2
V
ε=Fw
C/2=1/2·F·FL
3/(48EI)
式中，E
0为冲击开始时重物所具有的能量，V
ε为受冲击的梁的静荷变形能，w
c为AB梁中点在静载下的位移。
解得动荷因数为
梁内最大静应力为
(σ
st)
max=M
max/W
z=FL/(4W
z)
梁内最大动应力为
11. 吊索悬挂有带一切口的薄臂圆环，环下端吊有重量为F的物体，如图(a)所示。当重物F以速度υ下降至吊索长度为L时，突然刹住，试求此时薄壁圆环切口张开量Δ的大小。吊索与环的材料相同，自重不计。已知：吊索截面积A，圆环截面惯性矩I，圆环平均半径为R，材料弹性模量为E。
静止时吊索与环的变形分别为ΔL与Δ
ΔL=FL/(EA)
式中M与
分别为外载与单位力下圆环弯矩数值。
由图(b)得M=Frsinθ，
，于是由莫尔定理可得
C点的静位移为
动荷因数为
所以，切口张开量为Δ=K
dΔ=K
d×3.57×FR
3/(EI)。
12. 图(a)表示一端固定，一端铰支的超静定梁，在跨中C处受集中力F作用，梁的材料为弹性-理想塑性，已知其极限弯矩为M
u，求梁的极限荷载F
u。
假设当F增加到F1时，危险截面A截面的弯矩达到极限弯矩Mu，A处出现塑性应变。
该结构计算简图如图(b)所示，计算其内力，做出弯矩图，如图(c)所示，此时可见C截面的弯矩为MC=F1l/4-Mu/2，MA=Mu保持不变，当F增大到极限载荷Fu时，MC=Mu，C处出现塑性铰[见图(d)]，即Ful/4+Mu/2=Mu。得极限载荷值为：Fu=2Mu/l。
13. 图(a)、(b)所示中心压杆由110×110×10mm的等边角钢做成，在A、B和C处均由球铰支承，已知压杆材料的屈服极限σ
s=240MPa，比例极限σ
p=200MPa，弹性模量E=2.06×10
5MPa，试分别求此两压杆的临界力。
(1)图(a)，临界柔度为
λ
2=(a-σ
s)/b=(304-240)/1.12=57
AB杆的惯性矩
I=I
x+Aa
2=242.19×10
4+2126.1×(30.9-5)
2=384.8×10
4mm
4 AB杆的柔度为
λ
2＜λ＜λ
1 因此AB杆为中长杆，按经验公式计算临界应力为
σ
cr=σ
s[1-0.43(λ/λ
C)
2]
(2)图(b)中，柔度为
λ＜λ
2 因此此杆为短杆，临界压力为发生强度破坏时的压力F
cr=σ
SA=240×2126.1=510kN。
14. 试求下图钢架B截面的垂直位移Δ
By及A截面的转角θ
A。已知刚架各杆的弯曲刚度EI为常量(不计轴力和剪力对变形的影响)。
解除约束，代之以支反力如下图所示，根据对称性求得F
Ay=F
Cy=F/2，F
Ax=0。
①计算B截面的垂直位移ΔB
y，于B点作用垂直向下的单位力，计算出刚架各段内的弯矩为
AB段：
BC段：
使用莫尔定理，可得B截面的垂直位移为
②计算A截面的转角，于A点作用顺时针的单位力偶，计算出刚架各段内的弯矩为
AB段：
BC段：
使用莫尔定理，可得A截面的转角为
15. 做出梁的剪力图和弯矩图。
如图(a)所示求支反力，根据平衡方程可得
∑M
A=0，F
By=P/2+3ql/8
∑M
B=0，F
Ay=P/2+ql/8
如图(a)所示，可写出弯矩方程
AC段(0≤x≤L/2)：M
1(x)=(P/2+qL/8)x
CB段(L/2≤x≤L)：M
2(x)=-Px/2+5qLx/8+PL/2-qx
2/2-ql
2/8
那么可以画出梁的剪力图和弯矩图，如图(b)所示。
16. 试求跨中截面的挠度f
C。
跨中截面的挠度f
C可用卡氏第二定理求得，即
17. 试求梁的端面的转角θ
A。
在A处加一顺时针弯矩M，可得任意截面x处弯矩方程为
AC段(0≤x≤L/2)：M
1(x)=(P/2+qL/8)x+M-Mx/l。
CB段(L/2≤x≤L)：M
2(x)=-Px/2+5qLx/8+PL/2-qx
2/2-ql
2/8+M-Mx/l。
由卡氏第二定理求得
18. 如图所示，D=350mm，P=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直径。
油缸盖受到的力
F=πD
2P/4
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6，即螺栓的轴力为
F
N=F/6=πD
2P/24
根据强度条件
σ
max=F
N/A≤[σ]
得
A≥F
N/[σ]，即πd
2/4≥πD
2P/(24[σ])
螺栓的直径为
19. 一重量为F的物体，以速度v水平冲击刚架的C点，如下图所示。试求刚架的最大冲击应力。已知刚架各个部分的抗弯刚度EI为常量，抗弯截面系数为W。
(1)求刚架中最大静应力σ
st，max将重量为F的物体沿冲击方向静载于刚架C点，分别作出刚架C点在F和单位载荷作用下刚架的弯矩图，分别如图(a)、(b)所示，知刚架中最大弯矩为M
max=Fh，故最大弯曲静应力：σ
st，max=M
max/W=Fh/W。
用图乘法可得C点静位移为：
Δ
C，st=1/(EI)×(h/2·Fh·2h/3+a·Fh·h)=Fh
2(h+3a)/(3EI)
(2)在水平方向载荷冲击作用下的动荷系数：
又
故最大冲击应力为
20. 图所示一钢丝绳沿铅垂方向绷紧在A、B两点之间。绳长l=1.0m，截面积A=1.0cm
2，弹性模量E=200GPa，预应力σ
0=100MPa，在l
1=0.4m处加一个向下的荷载F，绳的许用应力[σ]=160MPa，试求许用荷载[F]以及C点的位移；若要提高[F]，施力点C应取在何处?[F]可以提高多少?
(1)假设钢丝绳的AC段和BC段所受的力分别为F1，-F2，根据平衡关系F1-F2=F，位移补充条件F1l1/(EA)=F2l2/(EA)，2F1=3F2，F=5F1/3。
力F作用后AC段受拉，BC段受压，所以BC段不存在安全问题，所以AC段应力
σ0+σ1=100+F1/A≤160
所以F1≤6kN，F≤10kN，[F]=10kN，Δc=F1l1/(EA)=1.2×10-5m。
(2)许用载荷满足关系[F]=F2l/l1，当F2=σ0A=100×106×1.0×10-4=10kN时，许用载荷最大。此时F1=6kN， l1/l2=F2/F1=10/6，许用载荷提高ΔF=(8/3)×10-10=16kN。
21. 测得图(a)所示受轴向拉力F作用的钢拉杆C点处与水平线夹角为60°方向的线应变ε
60°=600×10
-6。已知 E=200GPa，v=0.3，钢杆直径d=20mm，求F。
(a)
(1)C点处为单向拉伸的应力状态，如图(b)所示。
(b)
(2)由于已知ε
60°=600×10
-6，故需将单向拉伸的应力状态单元体逆时针旋转60°，得到σ
60°和σ
150°，
在60°～150°方向使用胡克定律，可得60°方向上的线应变：
解得外力F为：
22. 若受力构件内某定点的应力随时间变化的曲线如下图所示，求该点交变应力的平均应力σ
m，应力幅度σ
a和循环特性r。
本题为拉、压应力交替变化。由图可见σmax=50MPa，σmin=-100MPa。
平均应力为
σm=(σmax+σmin)/2=(50-100)/2=-25MPa
应力幅度为
σa=(σmax-σmin)/2=(50+100)/2=75MPa
在计算循环特性时，应以绝对值大者为分母，若系拉压交替变化，为负值，故本例的循环特性为
r=-50/100=-1/2
23. 如下图所示圆轴直径d=60mm，l=2m，切变模量G=80GPa，右端有一直径D=40mm的鼓轮。轮上绕以钢绳，绳的端点B悬挂吊盘。绳长l
1=10m，横截面面积A=120mm
2，E=200GPa。重量P=800N的物块自h=200mm处落在吊盘上，求轴内最大切应力和绳内最大正应力。
(1)重物冲击点的静位移由两部分组成：
绳的静伸长
Δ
1=F
Nl
1/(EA)=800×10×10
3/(200×10
3×120)=0.333(mm)
圆轴扭转导致重物冲击点的静位移
Δ
2=Tl/(GI
P)×D/2=(P×D/2)l/(GI
P)×D/2=8PD
2l/(Gπd
4)=8×800×40
2×2×10
3/(80×10
3×π×30
4)=0.101(mm)
重物冲击点总的静位移为
Δ
st=Δ
1+Δ
2=0.333+0.101=0.434(mm)
(2)冲击动荷因数
(3)于是可得绳内的最大正应力
σ
d=K
dσ
st=K
dF
N/A=21.4×800/120=143(MPa)
轴内的最大切应力为
τ
d=K
dτ
st=K
dT/W
P=21.4×16×800×20/(π×60
3)=80.8(MPa)
深色：已答题 浅色：未答题