C

[解析] 设辅助函数φ(x)=f(x)-x，则
   
   φ(1)=f(1)-1=0-1=-1．
   由介值定理知，存在使得f(ξ)=ξ．

B

[解析] 思路一：
   
   思路二：
   

A

[解析]
   
   
   因为所以
   

D

[解析] 思路一：因为定积分表示函数在区间上的平均值，而一个函数通过移动平均后，其相应曲线的起伏变化会变小，也就是曲线被抹平滑了，而且平均的区间越长，抹平滑的效果越好．这是定积分的重要性质，而该题三个函数中的两个是用积分表示的函数，正是在两个长度不同区间上的滑动平均值，即
   
   因为起伏变化最大的是y₃(x)，其次是y₂(x)，起伏最小的是y₁(x)，故可以判断解答的次序是y₃(x)，y₂(x)，y₁(x)．
   思路二：也可以利用变限定积分与被积函数的关系，通过图上的特殊点来判断．
   
   起伏变化最大的是y₃(x)，试设y₃(x)=f(x)，则
   
   由此可知的极值点x^*满足条件
   f(x^*+1)=f(x^*)，
   图中只有y₂(x)满足此性质．同样，
   
   由此可知，的极值点x^*满足条件f(x^*+3)=f(x^*)，图中只有y₁(x)满足此性质．

B

[解析] y^'=2(x-1)，则(2，1)处法线斜率，法线方程为，即
   
   

C

[解析] ，
   f(x)在x=0点处连续．x≠0，
   
   或者
   

D

[解析] 由对称性知．把平面图形分成D₁，D₂两部分
   
   故，所以形心坐标为

D

[解析] (E+BA^-1)^-1=(AA^-1+BA^-1)^-1=[(A+B)A^-1]^-1
   =(A^-1)^-1(A+B)^-1=A(A+B)^-1，
   又已知(A+B)²=E，故(A+B)^-1=(A+B)，代入上式，得(E+BA^-1)^-1=A(A+B)．
   或逐项验算，对于选项D，因为
   (E+BA^-1)[A(A+B)]=[(E+BA^-1)A](A+B)
   =(A+B)(A+B)=(A+B)²=E，
   故(E+BA^-1)^-1=A(A+B)．

B

[解析] 思路一：的全部顺序主子式大于零．
   D₁=k＞0，
   
   
   取公共部分，知k+A正定k＞2．
   思路二：kE+A正定kE+A的特征值全部大于零，A的特征多项式为
   
   A有特征值λ₁=λ₂=1，λ₃=-2，kE+A有特征值k+1(二重)和k-2．
   

B

[解析] 由按行展开定理
   
   

2e²

[解析]
   

[解析]
   

y=2x-2

[解析]
   
   故斜渐近线为y=2x-2．

[解析]
   
   

y=c₁+c₂e^3x+c₃e^-7x

[解析] 特征方程：λ³+4λ²-21λ=0λ(λ-3)(λ+7)=0．
   其特征根为λ₁=0，λ₂=3，λ₃=-7．
   一般解为y=c₁+c₂e^3x+c₃e^-7x．

0，λ₂，λ₃，…，λ_n

[解析] 因A是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故
   
   因此的特征值为0，λ₂，λ₃，…，λ_n．

思路一：
   对第二项取变换，则，dx=tdt，于是
   
   因此
   思路二：令，则，dx=tdt，于是
   
   再令t=2tanu，dt=2sec²udu，则
   
   因此

证：思路一：因为
   
   所以(c-a)×式(2)+(b-c)×式(1)得
   
   注：用到了二阶导函数f^"(x)的介值性质．
   思路二：记，则
   
   设辅助函数
   
   则F(a)=F(b)=F(c)=0，所以存在ξ∈(a，b)，使得f^"(ξ)=0，即
   f^"(ξ)(c-a)+K(a-c)=0．
   故K=f^"(ξ)．
   思路三：设辅助函数
   
   由φ(a)=φ(b)=φ(c)=0，可知，使
   

如下图所示，设圆半径OC与内接正圆锥底直径BC的夹角为α，则内接正圆锥的底面半径为
   
   高为h=R(1+sinα)，其中
   内接正圆锥的体积为
   
   得．故当内接正圆锥的底面直径为、高为时，其体积最大，最大体积为
   

如下图所示，因为区域D关于直线y=x对称，有公式