C

[解析] 令g(x)=f(x)-x²，由已知得g(x₀)=0，g^'(x₀)＞0，则
   
   由极限的保号性，知存在δ＞0，对有g(x)＞g(x₀)，即f(x)＞x²．
   题中未说明f^'(x)连续，故选项A和B错误．

A

[解析] y^'|_x=1=3px²|_x=1=3p，切线为y=p+3p(x-1)．切线与x轴交点为，切线与y轴交点为(0，-2p)；
   切线与曲线交点为(1，p)，如下图所示，因为
   
   由形心坐标公式得
   
   

C

[解析] 令y(x)=e^-x-x²+2x-1=e^-x-(x-1)²．
   因为y^"'(x)=-e^-x≠0，因此y(x)=0最多有三个根，由于y(0)=1-1=0，所以x=0是其一个根．
   由于y^'(x)=-e^-x-2x+2，y^'(0)=-1+2=1＞0，且y(0)=0，根据保号性存在δ＞0，使得y(-δ)＜0，y(δ)＞0．
   又由，所以y(x)在区间(-∞，-δ)内至少有一根．
   由，所以y(x)在区间(δ，+∞)内至少有一根．
   至此，y(x)在区间(-∞，+∞)内已有三个根．而它至多有三个根，所以它恰有三个根．

D

[解析] 设u₀＞0，记u₁=sinu₀，u_k+1=sinu_k(k=1，2，…)．
   对
   f(u₀)=f(sinu₀)=f(u₁)=f(sinu₁)=f(u₂)=f(sinu₂)=…=f(sinu_k)=f(u_k+1)，
   即对都有f(u₀)=f(u_n)，n=1，2，…，成立．
   由于数列u_k(k=1，2，…)单调递减且有极限．又f(x)在点x=0处连续，所
   以对．同理，当u₀≤0时，左式亦成立．
   可见，f(x)在(-∞，+∞)内恒为常数，即f(x)≡f(0)．当然是无穷阶可导．

B

[解析]
   
   对
   
   故I₁＞I₃＞I₂，选B．

B

[解析] 因为与原方程相应的齐次方程的特征方程为λ²-λ=0，特征根为0，1．
   所以方程y^"-y^'=sinx的一个特解形式为y=Asinx+Bcosx；
   方程y^"-y^'=3的一个特解形式为y=Cx．
   根据叠加原理，原方程的一个特解形式为Y=Asinx+Bcosx+Cx．

A

[解析] 根据全微分概念f_x(x，y)=3x²+4xy+(1-y²)．
   则f(x，y)=∫f_x(x，y)dx=x³+2x²y+(1-y²)x+C(y)．
   又由f_y(x，y)=2x²-2xy+3y²-1可知
   
   则C(y)=∫(3y²-1)dy=y³-y+C，
   即f(x，y)=x³+2x²y+(1-y²)x+y³-y+C，故选A．

C

[解析] 当a=-1时，r(A)=1，再由AB=0，得r(A)+r(B)≤3．可见当a=-1时，r(B)可能为1也可能为2，故选项A、选项B不正确．
   当a=1时，r(A)=2，由AB=0，得r(A)+r(B)≤3r(B)≤1，又B是非零矩阵，故r(B)=1．

A

[解析] 因为Ax=0的基础解系为ξ₁=(-2，0，1，0)^T，ξ₂=(1，0，0，1)^T，可知r(A)=2，则A有两个线性无关的列向量，将ξ₁，ξ₂代入得
   -2α₁+α₃=0，α₁+α₄=0．
   则可知α₁，α₃；α₄；α₃，α₄线性相关，又r(A)=2，则α₂与α₁，α₃，α₄均线性无关．

B

[解析] 设x₀是Ax=b的任意一个解，即Ax₀=b成立，两边乘以矩阵P，PAx₀=Pb，所以x₀是PAx=Pb的解，由于x₀是Ax=b的任意一个解，所以Ax=b的解是PAx=Pb的解．
   再设x₁是PAx=Pb的任意一个解，所以PAx₁=Pb，由于P是初等矩阵，所以必是可逆矩阵，上式左右两边同时左乘P^-1，即P^-1PAx₁=P^-1Pb，所以Ax₁=b，由此可知x₁是Ax=b的解，由于x₁是PAx=Pb的任意一个解，所以PAx=Pb的解是Ax=b的解．
   由此可知PAx=Pb与Ax=b同解，故应选B．A，C，D选项均可举例子说明是不正确的．

0

[解析] 将方程y-xe^y=1-ex两边对x求导，得
   
   则
   
   当x=0时，
   

0

[解析] 设F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy，则
   

λ＞1

[解析] 因为，函数ρf(ρ²)在0的某邻域内连续，所以根据变限定积分函数的性质，可知F(t)在t=0的某邻域内可导．
   
   因为，所以
   
   由上式成立可推出λ＞1．

y^"-4y^'+5y=25

[解析] 该方程是二阶线性常系数非齐次微分方程：y^"+py^'+qy=f(x)．
   对应齐次方程的两个特征根为2±i，所以其方程为y^"-4y^'+5y=0．
   非齐次方程的特解为Y=5，代入方程，得非齐次项f(x)=25．
   因此所求方程为y^"-4y'+5y=25．

[解析] 思路一：
   
   思路二：
   
   

[解析] 观察C和A的关系，C可由A的1、2行互换后，再将第3列加到第1列得到，即C=E₁₂AE₃₁(1)，故C^-1=[E₁₂AE₃₁(1)]^-1=[E₃₁(1)]^-1A^-1(E₁₂)^-1，其中(E₁₂)^-1=E₁₂，[E₃₁(1)]^-1=E₃₁(-1)，故
   

   

区域D的图形如下图所示，单位圆x²+y²=1将区域D分成两部分，单位圆x²+y²=1内的部分记作D₁，单位圆外的部分记作D₂．则
   
   
   其中
   
   
   故
   

因f(0)=f(1)=0，f(x)在[0，1]上可导，所以在[0，1]上存在最大值和最小值．又
   
   当f^'(x)=0时，得(0，1)内唯一驻点
   且当x∈(0，x₀)时，f^'(x)＞0；当x∈(x₀，1)时，f^'(x)＜0．所以是极大值点，也是[0，1]上的最大值点，最大值为
   
   
   综上可得，

，由题中条件可知
   
   求导可得
   即
   求导得，化简得(y^')²=2yy^"，
   令y^'=p，则，即，得
   即，故
   由②可知y(0)=0，代入上式知c₂=0．代入y(1)=1，则c₁=2，解得y=x²．