当n=1时，a₁=4S₁+1，又a₁=S₁，所以。

由a_n=4S_n+1，得a_n-1=4S_n-1+1，两式相减，得a_n-a_n-1=4a_n，即，所以数列{a_n}是首项为、公比为的等比数列，其通项公式为。

由已知可得，f'(x)=3x²+2λx，所以函数f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3+2λ，又函数f(x)的切线与直线y=-x+1垂直，所以(3+2λ)×(-1)=-1，解得λ=-1。

由第一小题知f'(x)=3x²-2x，令f'(x)=3x²-2x=0，解得x=0或，因为当时，f'(x)＞0，所以函数f(x)在(-∞，0)和上单调递增，当时，f(x)＜0，此时函数f(x)单调递减，所以当x=0时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)=1，当时，函数f(x)取得极小值，极小值为。

在教学过程中，教师处于主导地位，学生处于学习主体的地位，教师应充分发挥学生的主体能动性。材料中的探究过程存在以下问题：
   ①学生的主体地位被忽视。材料中，教师只要求学生进行计算和观察，但结论由教师说明，没有让学生自主体验完整的探究过程。
   ②教师作为引导者和促进者的作用不明显。材料中，教师掌控着教学的任务及进程，但是教师的问题只需要学生回答“是”或“否”，而不是一步步引导学生得出结论。

从数学探究的角度，材料中的教学过程可进行如下改进：
   ①更换导入方式。根据小学生具体形象思维占优势的特点，设置具体问题情境，引导学生列出加法计算式。
   ②细化探究过程，充分发挥学生的主体能动性。首先，学生列出计算式并计算出结果后，通过问题“观察计算式，你发现了什么规律”，引导学生提出假设或猜想——交换两个数的位置，和不变。其次，与学生交流假设的正确性，引导学生思考并说明可以通过更多的实例验证。最后，提供给学生更多例证，学生完成计算，学生之间、师生之间共同讨论后得出结论。

首先，通过给出分式的定义，让学生明确概念的内涵；接着给出示例，帮助学生建立对概念的具体认知；通过一个例题，使学生能够辨析概念，掌握概念的本质属性；最后归纳总结，巩固概念，强化理解和记忆。

数学概念具有抽象性、层次性和系统性等特征，数学概念的形成是以学生的直接经验为基础，对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和抽象，用归纳方式概括出这类事物的本质属性而获得概念。在本案例中，教师很明显没有引入概念的过程，这不符合学生的认知规律，不利于学生在原有基础上建立对新概念的认知；归纳总结没有学生的参与，不利于学生强化对概念的理解，掌握概念的本质特征，不利于学生思维品质的培养。