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广东省专升本考试高等数学真题2023年
一、单项选择题
(每小题只有一项符合题目要求)
1.
=______
A.0
B.1
C.2
D.3
A
B
C
D
C
[解析]
2. 若函数
在x=0处连续，则a=______
A.0
B.1
C.e
D.e
2
A
B
C
D
C
[解析] 因为f(x)在x=0处连续，所以
，f(0)=a，故a=e．
3. 曲线y=xe
-x
在点(1，e
-1
)处的切线斜率是______
A.-e
-1
B.0
C.e
-1
D.2e
-1
A
B
C
D
B
[解析] y'=e
-x
-xe
-x
=(1-x)e
-x
，则曲线在点(1，e
-1
)处的切线斜率为y'(1)=0．
4. 设2x是f(x)的一个原函数，则
=______
A．π-1
B．π+1
C．
D．
A
B
C
D
A
[解析]
5. 设级数
收敛，则下列级数发散的是______
A．
B．
C．
D．
A
B
C
D
D
[解析] 因为
收敛，由常数项级数的基本性质可知A、B、C项级数均收敛，又由级数收敛的必要条件知
发散．
二、填空题
1. 曲线
的水平渐近线方程为y=______．
0
[解析] 因为无穷小与有界函数之积仍为无穷小，且|sinx|≤1，则
，故所求水平渐近线为y=0．
2. 已知常数k＞0，若
，则k=______．
1
[解析]
3. 设二元函数z=x
x
+(x-y)
2
(x＞0)，则
=______．
-2
[解析]
4. 交换二次积分
的积分次序，则
=______．
[解析] 由题意可得积分区域为：0≤x≤1，
，如图阴影部分所示，积分区域还可表示为：0≤x≤y
2
，0≤y≤1，故
5. 微分方程y"-8y'+7y=0的通解为y=______．
C
1
e
x
+C
2
e
7x
[解析] 该微分方程的特征方程为r
2
-8r+7=0，解得特征根r
1
=1，r
2
=7，故所求通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
7x
．
三、计算题
(每小题6分，共48分)
1. 求极限
．
解：
2. 求函数
在x=0处的微分dy|
x=0
．
解：
3. 已知函数f(x)的导数
，求曲线y=f(x)在(0，+∞)内的凹凸区间．
解：
令f"(x)=0，解得x=e，当0＜x＜e时，f"(x)＞0；当x＞e时，f"(x)＜0，
故f(x)的凹区间为(0，e]，凸区间为[e，+∞)．
4. 求不定积分∫(2x-1)e
x
dx．
解：∫(2x-1)e
x
dx=∫(2x-1)de
x
=e
x
(2x-1)-∫2e
x
dx
=e
x
(2x-1)-2e
x
+C
=(2x-3)e
x
+C．
5. 设函数
计算定积分
．
解：
因为
是[-1，1]上的奇函数，则
，
6. 设
，求
．
解：设F(x，y，z)=ln3-x
2
e
y
2
z
-z，则F
x
=-2xe
y
2
z
，F
y
=-2x
2
yze
y
2
z
，F
z
=-x
2
y
2
e
y
2
z
-1，故
7. 计算二重积分
，其中D是由圆周x
2
+y
2
=1所围成的区域．
解：令x=rcosθ，y=rsinθ，积分区域在极坐标系下可表示为：0≤θ≤2π，0≤r≤1，故
8. 已知u
n
满足
，判定级数
的收敛性．
解：由
可知
为正项级数，记
，
又
，由比值审敛法可知
收敛，
因为
，则由正项级数的比较审敛法可知
收敛．
四、综合题
(第一小题10分，第二小题12分，共22分)
证明：当x＞0时，
1.
；
证：设
，
则f(x)在(0，+∞)内是一个常数，令x=1，得
，即f(x)=0，
故当x＞0时，
；
2.
．
解：设
，x≥0，则
当x＞0时，g'(x)＞0，则g(x)是[0，+∞)上的单调递增函数，
故当x＞0时，g(x)＞g(0)=0，即
．
设定义在区间[0，+∞)上的连续函数f(x)满足
，且由曲线y=f(x)，
及直线x=0，x=t(t＞0)围成的图形的面积为t
3
．
3. 求f(x)；
解：由题意可知
，
等式两边对t求导得
，
4. 若可导函数g(x)满足
，且g(0)=1，求g(x)．
解：由
知
，
一、单项选择题
1
2
3
4
5
二、填空题
1
2
3
4
5
三、计算题
1
2
3
4
5
6
7
8
四、综合题
1
2
3
4
深色：已答题 浅色：未答题
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评价难易度
提交知识点
=______
在x=0处连续，则a=______
，f(0)=a，故a=e．
=______
收敛，则下列级数发散的是______
收敛，由常数项级数的基本性质可知A、B、C项级数均收敛，又由级数收敛的必要条件知
发散．
的水平渐近线方程为y=______．
，故所求水平渐近线为y=0．
，则k=______．
=______．
的积分次序，则
=______．
，如图阴影部分所示，积分区域还可表示为：0≤x≤y2，0≤y≤1，故
．
在x=0处的微分dy|x=0．
，求曲线y=f(x)在(0，+∞)内的凹凸区间．
计算定积分
．
是[-1，1]上的奇函数，则
，
，求
．
，其中D是由圆周x2+y2=1所围成的区域．
，判定级数
的收敛性．
可知
为正项级数，记
，
，由比值审敛法可知
收敛，
，则由正项级数的比较审敛法可知
收敛．
；
，
，即f(x)=0，
；
．
，x≥0，则
．
，且由曲线y=f(x)，
及直线x=0，x=t(t＞0)围成的图形的面积为t3．
，
，
，且g(0)=1，求g(x)．
知
，
深色：已答题 浅色：未答题