一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 设正项级数
收敛，则
(λ＞0为常数)______
- A.收敛．
- B.发散．
- C.收敛性不确定．
- D.敛散性与λ有关．
A B C D
A
[解析] 由等价无穷小，得ln(1+λa
n)～λa
n，而
收敛，故
收敛．选A.
4. 由曲线
与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为______
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析]
5. 已知
，α
1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α
2，α
3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是______
- A.[α1，-α2，α3]
- B.[α1，α2+α3，α2-2α3]
- C.[α1，α3，α2]
- D.[α1+α2，α1-α2，α3]
A B C D
D
[解析] 若
P=[α
1，α
2，α
3]，则有AP=PΛ．即
即[Aα
1，Aα
2，Aα
3]=[a
1α
1，a
2α
2，a
3α
3]．
可见α
i是矩阵A属于特征值a
1的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵P可逆，因此，α
1，α
2，α
3线性无关．
若α是属于特征值λ的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故(A)正确．
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则k
1α+k
2β仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α
2，α
3是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α
2+α
3，α
2-2α
3仍是λ=6的特征向量，并且α
2+α
3，α
2-2α
3线性无关，故(B)正确．
关于(C)，因为α
2，α
3均是λ=6的特征向量，所以α
2，α
3谁在前谁在后均正确，即(C)正确．
由于α
1，α
2是不同特征值的特征向量，因此α
1+α
2，α
1-α
2不再是矩阵A的特征向量，故(D)错误．
6. 设f(x，y)连续，且
其中D：x
2+y
2=2x，则f(x，y)=______
- A.xy．
- B.xy+1．
- C.xy+2．
- D.2xy．
A B C D
A
[解析] 令
则f(x，y)=xy+2A，两边对x，y在D上积分，得
因为D：x
2+y
2=2x关于x轴对称，被积函数xy关于y为奇函数，所以
于是A=2Aπ，即A=0，故f(x，y)=xy．
7. 设α
1，α
2，…，α
s和β
1，β
2，…，β
t为两个n维向量组，且r(α
1，α
2，…，α
s)=r(β
1，β
2，…，β
t)=r，则______
- A.两向量组等价
- B.r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)=r
- C.当α1，α2，…，αs可被β1，β2，…，βt线性表出时，β1，β2，…，βt也可被(α1，α2，…，αs线性表出
- D.当s=t时两向量组等价
A B C D
C
[解析] 不妨设α1，α2，…，αs的极大无关组为α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βt的极大无关组为β1，β2，…，βr，则考虑：
α1，…，αs；β1，…，βt(*)
若α1，…，αs可被β1，…，βt线性表示，则α1，…，αr也可被β1，…，βr表示，即β1，…，βt是(*)式的极大无关组，又α1，…，αr线性无关，故α1，…，αr也是(*)的极大无关组，从而β1，…，βt可由α1，…，αr线性表示，故β1，β2，…，βt也可由α1，α2，…，αs线性表示，因此C成立．
9. 设齐次线性方程组Ax=0有解α
1=(1，2，1，3)
T，α
2=(1，1，-1，1)
T，α
3=(1，3，3，5)
T，α
4=(4，5，-2，6)
T．其余Ax=0的解向量均可由α
1，α
2，α
3，α
4线性表出，则Ax=0的基础解系为______
- A.α1，α2．
- B.α1，α2，α3．
- C.α2，α3，α4．
- D.α1，α2，α3，α4．
A B C D
A
[解析] 向量组α
1，α
2，α
3，α
4的极大线性无关组为Ax=0的基础解系，因为
显然，α
1，α
2是α
1，α
2，α
3，α
4的极大无关组．故选A．
二、填空题1. 方程组
有解的充要条件是______．
[解析]
2. 设f(x)连续，f(0)=1，则曲线
在(0，0)处的切线方程是______．
y=x
[解析] 曲线在(0，0)处切线斜率
所以曲线在(0，0)处，切线方程为y=x．
3. 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X～N(0，3)，Y～N(0，4)，相关系数ρ
XY=
则(X，Y)的概率密度f(x，y)为______．
[解析]
4. 设A为三阶实对称矩阵，α
1=(a，-a，1)
T是方程组AX=0的解，α
2=(a，1，1-a)
T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．
1
[解析] 因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ
1=0，λ
2=-1为矩阵A的特征值，α
1=(a，-a，1)
T，α
2=(a，1，1-a)
T是它们对应的特征向量，所以有
=a
2-a+1-a=0，解得a=1．
5. 若当x→0时，有
，则a=______．
-3
[解析] 当x→0时，
故a=-3．
6. 设总体X服从参数为2的指数分布，从总体X中抽取简单随机样本X
1，X
2，X
3，
是样本均值，则
[解析] 由于X
1，X
2，X
3为来自总体X～E(2)的简单随机样本，所以
Cov(X
i，X
j)=0，i≠j(i，j=1，2，3)，
，i=1，2，3．
从而
三、解答题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 计算
解：按第一行展开
得到递推公式
D
5-D
4=-x(D
4-D
3)=…=-x
3(D
2-D
1)．
由于
D
1=1-x，于是得
容易推出D
5=-x
5+x
4-x
3+D
2=-x
5+x
4-x
3+x
2-x+1．
2. 设f(x
1，x
2，x
3)=X
TAX，r(A)=1，A的每行元素之和为2，当X=β=[2，4，0]
T时，
求f(x
1，x
2，x
3)=X
TAX在β处的值，即f(x
1，x
2，x
3)|
X=β=β
TAβ．
解：因
A有λ
1=2，对应的特征向量为
又r(A)=1，|A|=0，故A有特征值λ
2=λ
3=0(二重)，对应λ
2=λ
3=0的特征向量设为ξ=[x
1，x
2，x
3]
T，则ξ和ξ
1正交．
易得ξ
2=[1，-1，0]
T，ξ
3=[1，1，-2]
T(取ξ
2也与ξ
3正交)，将β由ξ
1，ξ
2，ξ
3线性表示，设为β=x
1ξ
1+x
2ξ
2+x
3ξ
3，由
解得x
1=2，x
2=-1，x
3=1，即β=2ξ
1-ξ
2+ξ
3．故
f(x
1，x
2，x
3)|
X=β=β
TAβ=(2ξ
1-ξ
2+ξ
3)
TA(2ξ
1-ξ
2+ξ
3)
=(2ξ
1-ξ
2+ξ
3)
TA·2ξ
1=4(2ξ
1-ξ
2+ξ
3)
Tξ
1 
也可由A[ξ
1，ξ
2，ξ
3]=[2ξ
1，ξ
2，ξ
3]直接求得A，再计算β
TAβ．其中
3. 设试验成功的概率为
，失败的概率为
，独立重复试验直到成功两次为止．求试验次数的数学期望．
4. 计算
其中a，b＞0．
解：
5. 设D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤2}，求
解：将D分成两块：
D
1={(x，y)|0≤x≤π，sinx≤y≤2}，
D
2={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤sinx}．
所以
6. 设b＞a＞0，证明
证：原不等式
(a+b)(lnb-lna)-2(b-a)＞0，将b改为x，则转化为函数不等式(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)＞0(x＞a)．
令F(x)=(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)＞0，x＞a，则F(x)在[a，+∞)上二阶可导，且
所以当x＞a时，F'(x)单调增加，即
于是F(x)在[a，+∞)上单调增加，所以对b＞a＞0，有
即
存在，于是
，即f(x)在x=a处右连续，同理由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左右导数不一定相等，选D．
，则______
深色：已答题 浅色：未答题