一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.2. 设
,则A
-1=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 本题考查分块求逆及二阶求逆,注意
再根据
,用二阶矩阵的伴随矩阵是主对角线对调副对角线变号,很容易看出
所以应选(B).
[评注] 设
,则
4. 设总体X服从正态分布N(0,σ
2)(σ
2已知),X
1,X
2,…,X
n是取自总体X的简单随机样本,S
2为样本方差,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由题设知X
i~N(0,σ
2),
故
又
与S
2独立,故有
8. 曲线y=f(x)=|x|-x+e
-|x|ln|x|的渐近线共有______
A B C D
C
[解析] 当x=0时,
所以最新x=0是其垂直渐近线.
当x>0时,f(x)=e
-xlnx,
所以y=0是其水平渐近线.
当x<0时,f(x)=-2x+e
xln(-x),
所以其有斜渐近线y=-2x.
9. 对两个仪器进行独立试验,已知其中一个仪器发生故障的概率为p
1,另一个发生故障的概率为p
2,则发生故障的仪器数的数学期望为______
- A.p1p2
- B.p1(1-p2)+p2(1-p1)
- C.p1+(1-p2)
- D.p1+p2
A B C D
D
[解析] 设X
i表示第i台仪器发生故障(i=1,2),则其分布列为
仪器发生故障的台数X=X
1+X
2的分布列为
于是E(X)=E(X
1+X
2)=E(X
1)+E(X
2)=p
1+p
2 或E(X)=1×[p
1(1-p
2)+p
2(1-p
1)]+2×p
1p
2=p
1+p
2.
故选D.
本题考查的知识点是:数学期望的应用.
10. 设随机变量X服从正态分布N(1,σ
2),其分布函数为F(x),则对任意实数x,有______。
- A.F(x)+F(-x)=1
- B.F(1+x)+F(1-x)=1
- C.F(x+1)+F(x-1)=1
- D.F(1-x)+F(x-1)=1
A B C D
B
[考点] 考查随机变量的分布函数
[解析] 由于X~N(1,σ
2),所以
。
由此可知相应的四个选项是
A.
;
B.
;
C.
;
D.
。因为
x∈R它们都要成立,因此选B。
二、填空题1. 设某产品的需求函数为Q=Q(p),它对价格的弹性为η,0<η<1.已知产品收益R对价格p的边际函数为m元,则产品的产量应是______.
[解析] 已知
则
2. 微分方程
的通解为______.
[解析] 由
,得
,即
,
令z=e
y,则
,解得
,
所以原方程的通解为
.
3. 设X
1,X
2,…,X
n与Y
1,Y
2,…,Y
n分别为来自相互独立的标准正态分布总体X与Y的简单随机样本,令
,则DZ=______.
2(m+n-2)
[解析]
由于X与Y相互独立,所以
独立,于是DZ=2(m-1)+2(n-1)=2(m+n-2).
4.
2
[解析] 当x→0时,有1-cos
ax~
则
原式=
5. 已知
,B是三阶非零矩阵,且AB=0,则ab=______.
2
[解析]
由AB=0,B为非零矩阵,故r(A)≤2,故必有a=2,b=1,从而ab=2.
6. 已知随机变量Y~N(μ,σ
2),且方程x
2+x+Y=0有实根的概率为
,则未知参数μ=______.
三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. 设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f'(0)=0.证明:在[-1,1]内存在ξ,使得f'''(ξ)=3.
证:
取x
0=0,x=1代入,
取x
0=0,x=-1代入,
由①-②有
因为f'"(x)在[-1,1]上连续,则存在m和M,使得
有m≤f'"(x)≤M,
③代入④式,有m≤3≤M,由介值定理,
使得f'"(ξ)=3.
2. 设齐次线性方程组
有非零解,且
为正定矩阵,求a,并求当|A|=
时X
TAX的最大值.
解:因为方程组有非零解,所以
=a(a+1)(a-3)=0,即a=-1或a=0或a=3.因为A是正定矩阵,所以a
ii>0(i=1,2,3),所以a=3.当a=3时,由
得A的特征值为1,4,10.因为A为实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q,使得
而当
时,
=Y
TY=Y
TQ
TQY=(QY)
T(QY)=X
TX=|X|
2=2
所以当
时,X
TAX的最大值为20(最大值20可以取到,如y
1=y
2=0,y
3=
).
3. 设
问A,B是否相似,为什么?
解:A,B均是实对称阵,均可相似于对角阵,由于
对换|λE-A|的1,2列和1,2行,得
故A和B有相同的特征方程,相同的特征值,它们均相似于同一个对角阵,故A~B.
4. 设
,问a,b,c为何值时,矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解.
解:令X=(ξ
1,ξ
2,ξ
3),B=(β
1,β
2,β
3),方程化为A(ξ
1,ξ
2,ξ
3)=(β
1,β
2,β
3),即
当a=1,b=2,c=-2时,(1)中三个线性方程组有解,即矩阵方程AX=B有解.
这时,
方程组Aξ
1=β
1的通解为
方程组Aξ
2=β
2的通解为
方程组Aξ
3=β
3的通解为
于是
(其中k
1,k
2,k
3为任意常数).
5. 设A是n阶矩阵,A的第i行第j列元素为a
ij=i·j,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n,B是n阶矩阵,B的第i行第j列元素为b
ij=i
2,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n.证明A~B.
证:由题意,
是A的n-1重特征值,A的非零特征值
r(B)=1,μ=0是B的n-1重特征值,B的非零特征值
A是实对称阵,故
B对应于n-1重特征值μ=0,因r(B)=1,故有n-1个线性无关的特征向量,故B~
故
得证A~B.
6. 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.
解:设事件A
i={从10件产品中任取两件,有i件不合格品},i=0,1,2.记B=A
1∪A
2,按题意,所求概率为P(A
2|B).而
因为
所以P(A
2B)=P(A
2),应用条件概率公式得