B

[解析] 因为D：x²+y²≤1，所以此圆的面积S_D=1²π=π.
   所以故选B．

C

[考点] 本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点．
[解析] 因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r²-2r=0，得特征根为r₁=0，r₂=2．于是特解应设为y^*=(Ax+B)x=Ax²+Bx．

D

[解析] 由于函数y=x²-x+1在区间[-1，3]上连续，在区间(-1，3)内可导，因此在[-1，3]上，y满足拉格朗日中值定理条件．又y'=2x-1，则存在ξ∈(-1，3)，使得
   f(3)-f(-1)=(2ξ-1)[3-(-1)]，
   即4(2ξ-1)=7-3，解得ξ=1．

C

[解析] 由所给积分限可知积分区域D可以表示为：0≤x≤1，0≤y≤x，其图形如图所示．交换积分次序可得故选C．
   

B

A

[考点] 二阶常系数齐次线性微分方程的解法．
[解析] 特征方程r²-3r-4=0的特征根为r₁=-1，r₂=4，原方程通解为y=C₁e^-x+C₂e^4x．

C

[解析] 令x+y=u，x-y=v，则有f(u，v)=故选C．

B

[解析] 由于在(a，b)内f'(x)＞0，可知f(x)在(a，b)内单调递增，又由于f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凸。

D

B

y³dx+3xy²dy

[解析] 将u=，v=代入z=u²·lnv，可得z=xy³．因此
   dz=d(xy³)=y³dx+3xy²dy．

[解析] 解法一 将方程两端对x求导，可得3x²-3y²y'-3y-3xy'=0．
   整理得 y'=
   解法二 方程两端取微分，可得
   d(x³-y³-3xy-9)=3x²dx-3y²dy-3(ydx+xdy)
   =(3x²-3y)dx-(3y²+3x)dy=0．
   因此 y'=

[解析]

[解析] 由拉格朗日中值定理有解得ξ²=2．其中(舍)，得

0

[考点] 本题是对利用分部积分法求定积分的考查．
   [解析] ==f(1)-1-0．

1

[解析] 由于=2x²-siny，因此=1．

2

[解析] 由题设有

2x-y+3z=0

[解析] 已知平面π₁：2x-y+3z+5=0的法向量n₁={2，-1，3}．所求平面π∥π₁，则平面π的法向量n∥n₁，可以取n=n₁={2，-1，3}．由于所求平面过原点，由平面的点法式方程，得2x-y+3z=0为所求平面方程．

[解析] 因为y=x²-2x在[1，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，
   则设f(x)-x²-2x，有
   所以

[解析] 所求极限为型．遇到这种类型的题，先考虑用等价无穷小替换，然后再考虑用洛必达法则求解．
  

解 因为
   而
   所以
   又  f(π)=1，所以f(0)=2．

[解析] 由于
   对采用凑微分和分部积分后与相加，代入条件即可求出f(0)．

解  x'=asint，
   y'_t=accost，
   

解法一  利用洛必达法则：
   解法二  利用等价无穷小量代换：当x→0时，e^x-1～x，可得
   

[解析] 本题考查的知识点为利用洛必达法则求“”型极限，或利用等价无穷小量代换简化求极限运算．

解 由于当Δx→0时，α为无穷小，可知
   
   从而有
   lny=arctanx+C₁，
   y=Ce^arctanx(C=e^C₁)．

[解析] 在做本题时要注意导数的定义，即和一阶微分方程中变量可分离类的解法．

   所以

[考点] 不定积分的分部积分法．

解 设u=x+2y，v=3x²+y²，则z=u^v，由复合函数的链式法则有
   
   由于
   因此
   

[解析] 本题考查由复合函数的链式法则求偏导数．

解  令则x=t²，dx=2tdt．
   当x=0时，t=0；当x=4时，t=2．
   

分离变量得
   两边积分得
   即
   或y²=-2ln|1-x²|+C．

[考点] 利用分离变量法求一阶微分方程的通解．