解答题写出下列随机试验的样本空间S:1. 记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分).
解:以n表示该小班的学生数,总成绩的可能取值为0,1,…,100n,所以试验的样本空间为
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2. 生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数.
解:设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品,样本空间为S={10+k|k=0,1,…}或写成S={10,11,…}.
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3. 对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出了2个次品就停止检查,或检查了4个产品就停止检查,记录检查的结果.
解:采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的是正品,样本空间可表示为
S={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}.
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4. 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.
解:取一直角坐标系,则有S={(x,y)|x2+y2<1};若取极坐标系,则有
S={(ρ,θ)|ρ<1,0≤θ<2π}.
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设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件:5. A发生,B与C不发生.
解:以下分别用D
i(i=1,2,…,8)表示(1),(2),…,(8)中所给出的事件.注意到1个事件不发生即为它的对立事件发生,例如事件A不发生即为
发生.
A发生,B与C不发生,表示A,
同时发生,故
或D
1=A-B-C.
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6. A与B都发生,而C不发生.
解:A与B都发生而C不发生,表示A,B,
同时发生,故
或D
2=AB-C.
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7. A,B,C中至少有1个发生.
解:由和事件的含义知,事件A∪B∪C即表示A,B,C中至少有1个发生,故D3=A∪B∪C.
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9. A,B,C都不发生.
解:
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10. A,B,C中不多于1个发生.
解:“A,B,C中不多于1个发生”表示A,B,C都不发生或A,B,C中恰有1个发生,
或“A,B,C中不多于一个发生”是事件G=“A,B,C中至少有2个发生”的对立事件.而事件G可写成G=AB∪BC∪CA,故又可将D
6写成
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11. A,B,C中不多于2个发生.
解:“A,B,C中不多于2个发生”表示A,B,C都不发生或A,B,C中恰有1个发生或A,B,C中恰有2个发生,
或“A,B,C中不多于两个发生”表示A,B,C中至少有1个不发生,亦即
中至少有1个发生,
或“A,B,C中不多于两个发生”是事件“A,B,C3个都发生”的对立事件,故又有
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12. A,B,C中至少有2个发生.
解:
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13. 设A,B,C是3个事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8.求A,B,C至少有1个发生的概率.
解:
由
,且已知P(AB)=0,得
0≤P(ABC)≤P(AB)=0,
故P(ABC)=0,因此所求概率为
.
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14. 已知
15. 已知
,(ⅰ)若A,B互不相容,求
;(ⅱ)若
,求
解:(ⅰ)
(ⅱ)
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设A,B是两个事件.16. 已知
,验证A=B.
解:由题设
,可得
,从而
,即AS=SB,故有A=B.
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17. 验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB).
解:A,B恰好有一个发生的事件为
,其概率为
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10片药片中有5片是安慰剂.18. 从中任意抽取5片,求其中至少有2片是安慰剂的概率.
解:
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19. 从中每次取1片,作不放回抽样,求前3次都取到安慰剂的概率.
解:
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在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码.20. 求最小号码为5的概率;
解:10人中任选3人共有
种选法,此即为样本点的总数.以A记事件“最小的号码为5”,以B记事件“最大的号码为5”.
因选到的最小号码为5,则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5,它们可从6~10这5个数中选取,故
,从而
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21. 求最大号码为5的概率.
解:
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22. 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到订货的概率是多少?
解:以A表示事件“顾客取到4桶白漆,3桶黑漆与2桶红漆”,则有
,
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在1500件产品中有400件次品、1100件正品.任取200件.23. 求恰有90件次品的概率.
解:以A表示事件“恰有90件次品”,以B
i表示事件“恰有i件次品”,i=0,1,以C表示事件“至少有2件次品”.
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24. 求至少有2件次品的概率.
解:C=S-B
0-B
1,其中,B
0,B
1互不相容,所以
P(C)=P(S-B
0-B
1)=P[S-(B
0∪B
1)]
=1-P(B
0∪B
1)=1-P(B
0)-P(B
1).
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25. 从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
解:以A表示事件“所取4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”,则
表示事件“所取4只鞋子无配对的”.先计算
较为简便.也可直接求P(A).
【解法一】考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的.从5双(10只)鞋子中任取4只共有10×9×8×7种取法,N(S)=10×9×8×7.现在来求
.第一只可以任意取,共有10种取法,第二只只能在剩下的9只且除去与已取的第一只配对的8只鞋子中任取一只,共8种取法.同理第三只、第四只各有6种、4种取法,从而
.故
【解法二】从10只鞋子中任取4只,共有
种取法,即
.为求
,先从5双鞋子中任取4双共有
种取法,再自取出的每双鞋子中各取1只(在1双中取1只共有2种取法),共有2
4种取法,即
.故
【解法三】求
.先从5只左脚鞋子中任取k只(k=0,1,2,3,4),有
种取法,而剩下的4-k只鞋子只能从(不能与上述所取的配对的)5-k只右脚鞋子中选取,即对于每个固定的k,有
种取法,故
【解法四】以A
i表示事件“所取4只鞋子中恰能配成i双”(i=1,2),则A=A
1∪A
2,
.故P(A)=P(A
1)+P(A
2).因A
2为4只恰能配成2双,它可直接从5双鞋子中成双地取得,故
.N(A
1)的算法是:先从5双中取1双,共有
种取法,另外2只能从其他8只中取,共有
种取法,不过这种取法中将成双的也算在内了,应去掉.从而
.这里N(S)仍为解法二中的
种,故
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26. 在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7张,求其排列结果为ability的概率.
解:【解法一】将11个字母中的2个b看成是可分辨的,2个i也看成是可分辨的,
.以A记事件“排列结果为ability”,则N(A)=4(因b有两种取法,i也有两种取法),
因而
【解法二】利用乘法定理来计算.以A
1,B
2,I
3,L
4,I
5,T
6,Y
7依次表示取得字母a,b,i,l,i,t,y各事件,则所求概率为
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27. 将3只球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率.
解:将3只球随机地放入4个杯子中去共有4
3种放置法.以A
i表示事件“杯子中球的最大个数为i”,i=1,2,3.
A
3只有当3只球放在同一杯子中时才能发生,有4个杯子可以任意选择,于是
,故
A
1只有当每个杯子最多放一只球时才能发生.因而
,故
又A
1∪A
2∪A
3=S,且
,i≠j,故P(A
1)+P(A
2)+P(A
3)=1,从而
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28. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3只铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
解:将部件自1到10编号.以A
i表示事件“第i号部件强度太弱”.由题设知仅当3只强度太弱的铆钉同时装在第i号部件上,A
i才能发生.由于从50只铆钉中任取3只装在第i号部件上共有
种取法,强度太弱的铆钉仅有3只,它们都装在第i号部件上,只有
种取法,故
且知A
1,A
2,…,A
10两两互不相容,因此10个部件中有一个强度太弱的概率为
[考点] 概率论的基本概念
一俱乐部有5名一年级学生,2名二年级学生,3名三年级学生.2名四年级学生.29. 在其中任选4名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概率;
解:依题设,共有5+2+3+2=12名学生。在其中任选4名共有
种选法,其中.每年级各选1名的选法有
种选法,因此所求概率为
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30. 在其中任选5名学生,求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率.
解:在12名学生中任选5名的选法共有
种.在每个年级中有一个年级取2名,而其他3个年级各取1名的取法共有
于是所求的概率为
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31. 已知
,求条件概率
.
解:
[考点] 概率论的基本概念
32. 已知
,试求P(A∪B).
解:
[考点] 概率论的基本概念
33. 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法).
解:以A记事件“两骰子点数之和为7”,以B记事件“两颗骰子中有一颗出现1点”.
【解法一】按条件概率的定义式:
来求条件概率.设想两颗骰子是可分辨的,样本空间为S={(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(6,6)},而
A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},AB={(1,6),(6,1)}.
现在N(S)=36,N(A)=6,N(AB)=2,因此
【解法二】按条件概率的含义来求P(B|A).样本空间原有36个样本点,现在知道了“A已经发生”,不在A中的样本点就不可能出现了,因而试验所有可能结果所成的集合就是A,而A中共有6个可能结果,其中只有两个结果(1,6)和(6,1)有一颗骰子出现1点,因此
P(B|A)=2/6=1/3.
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34. 据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.
解:以A记事件“孩子得病”,以B记事件“母亲得病”,以C记事件“父亲得病”,按题意需要求
.已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|BA)=0.4,由乘法定理得
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已知在10件产品中有2件次品,在其中取2次,每次任取一件,作不放回抽样.求下列事件的概率:35. 2件都是正品;
解:以A
i(i=1,2)表示事件“第i次抽出的是正品”.因为是不放回抽样,所以
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36. 2件都是次品;
解:
[考点] 概率论的基本概念
37. 1件是正品,1件是次品;
解:
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38. 第2次取出的是次品.
解:
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39. 某人忘记了电话号码的最后1个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率.若已知最后1个数学是奇数,那么此概率是多少?
解:【解法一】以A
i表示事件“第i次拨号拨通电话”,i=1,2,3.以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”,则有
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40. 设甲袋中装有n只白球、m只红球;乙袋中装有N只白球、M只红球.今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少?
解:以R表示事件“从甲袋取得的是红球”,以W表示事件“从乙袋取得的是白球”,则有
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41. 第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球.先从第一盒子中任取2只球放人第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球.求取到白球的概率.
解:以R
i(i=0,1,2)表示事件“从第一盒中取得的球中有i只是红球”,以W表示事件“从第二盒取得一球是白球”.由于R
0,R
1,R
2两两互不相容,且R
0∪R
1∪R
2=S.故
W=SW=(R
0∪R
1∪R
2)W=R
0W+R
1W+R
2W.
并注意到,再从第二盒任取一球,此时第二盒球的个数为11,故
[考点] 概率论的基本概念
42. 某种产品的商标为“MAXAM”,其中有2个字母脱落,有人捡起随意放回,求放回后仍为“MAXAM”的概率.
解:以H
1,H
2,H
3,H
4,H
5依次表示事件“脱落M,M”“脱落A,A”“脱落M,A”“脱落X,A”“脱落X,M”,以G表示事件“放回后仍为MAXAM”,所需求的是P(G).可知H
1,H
2,H
3,H
4,H
5两两不相容,且H
1∪H
2∪H
3∪H
4∪H
5=S.已知
由全概率公式得
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