解答题1. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25％是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少?
解：以A表示事件“选出的是男性”，则
表示事件“选出的是女性”，以H表示事件“选出的人患色盲”，则
表示“选出的人不患色盲”。由题设
，
，所需求的概率是P(A|H)．由贝叶斯公式得
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．2. 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．
解：以A
i表示事件“第i次考试及格”，i=1，2；以A表示“他能取得某种资格”．
故
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3. 若已知他第二次已经及格，求他一次及格的概率．
解：
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4. 将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01．信息A与信息B传送的频繁程度为2:1．若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少?
解：以D表示事件“将信息A传递出去”，则
表示事件“将信息B传递出去”，以R表示“接收到信息A”，则
表示事件“接收到信息B”，按题意需求概率P(D|R)．已知
，得知
．由贝叶斯公式得
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5. 第一次取到的零件是一等品的概率．
解：以H表示事件“从第一箱中取零件”，则
表示事件“从第二箱中取零件”．由已知条件
又以A
i表示事件“第i次从箱中(不放回抽样)取得的是一等品”，i=1，2．
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6. 第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．
解：
由条件概率的含义，P(A
1A
2|H)表示在第一箱中取两次，每次取一只产品，作不放回抽样，且两次都取得一等品的概率．因第一箱共有50只产品，其中有10只一等品，故有
，故有
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7. 某人下午5:00下班．他所积累的资料见表所列：
| 到家时间 | 5:35～5:39 | 5:40～5:44 | 5:45～5:49 | 5:50～5:54 | 迟于5:54 |
| 乘地铁的概率 | 0.10 | 0.25 | 0.45 | 0.15 | 0.05 |
| 乘汽车的概率 | 0.30 | 0.35 | 0.20 | 0.10 | 0.05 |
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的．试求他是乘地铁回家的概率．
解：以H表示事件“乘地铁回家”，则
表示事件“乘汽车回家”．因到家时间为5:47，它属于区间5:45～5:49，以T记“到家时间在5:45～5:49之间”，则需要求的是概率P(H|T)．已知P(T|H)=0.45，
，又因他是由掷硬币决定乘地铁还是乘汽车，因此，
．由贝叶斯公式得
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8. 求主人回来树还活着的概率．
解：记A为事件“树还活着”，记W为事件“邻居记得给树浇水”，即有
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9. 若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率．
解：
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10. 已知P(A)＞0，证明P(AB|A)≥P(AB|A∪B)．
证明：若P(A)＞0，要证P(AB|A)≥P(AB|A∪B)．
，而
．因为
，P(A∪B)≥P(A)，故有P(AB|A∪B)≤P(AB|A)．
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11. 若P(A|B)=1，证明
．
证明：由P(A|B)=1得
，即
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12. 若设C也是事件，且有P(A|C)≥P(B|C)，
，证明P(A)≥P(B)．
证明：由假设P(A|C)≥P(B|C)，可得
P(AC)≥P(BC)． (2)
同样由
可得
由式(3)P[A(S-C)]≥P[B(S-C)]，得
P(A)-P(AC)≥P(B)-P(BC)，或P(A)-P(B)≥P(AC)-P(BC)，
由式(2)，得P(A)-P(B)≥0，即P(A)≥P(B)．
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13. 这两颗花籽都能发芽的概率．
解：以A，B分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，即有P(A)=0.8，P(B)=0.9．
由A，B相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72．
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14. 至少有一颗能发芽的概率．
解：至少有一颗花籽能发芽的概率，即事件A∪B的概率为
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98．
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15. 恰有一颗能发芽的概率．
解：恰有一颗花籽能发芽的概率，即为事件
的概率，
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16. B型的人只有输入B，O两种血型才安全．若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率．
解：由题意知夫血型应为B，O才为安全输血者．因两种血型互不相容，故所求概率
p1=0.44+0.13=0.57．
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17. 随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率．
解：因夫妻拥有血型相互独立，于是所求概率为
p2=0.13×0.37=0.0481．
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18. 随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率．
解：p3=2×0.37×0.13=0.0962．
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19. 随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O型的概率．
解：有三种可能，即夫为O，妻为非O；妻为O，夫为非O；夫妻均为O，则所求概率为
p4=2×0.44×(1-0.44)+0.44×0.44=0.6864．
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20. 给出事件A、B的例子，使得
(ⅰ)P(A|B)＜P(A)，(ⅱ)P(A|B)=P(A)，(ⅲ)P(A|B)＞P(A)．
解：举例：
(ⅰ)设试验为将骰子掷一次，事件A为“出现偶数点”，B为“出现奇数点”，则
，故P(A|B)＜P(A)．
(ⅱ)设试验为将骰子掷一次，事件A为“出现偶数点”，事件B为“掷出点数≥1”，则
．故P(A|B)=P(A)．
(ⅲ)设试验为将骰子掷一次，事件A为“出现偶数点”，事件B为“掷出点数≥4”，则
，故P(A|B)＞P(A)．
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21. 设事件A，B，C相互独立，证明(ⅰ)C与AB相互独立；(ⅱ)C与A∪B相互独立．
解：因A，B，C相互独立，故P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(CA)=P(C)P(A)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，从而
(ⅰ)P[C(AB)]=P(CAB)=P(C)P(A)P(B)=P(C)P(AB)，即C与AB相互独立．
(ⅱ)P[C(A∪B)]=P(CA∪CB)=P(CA)+P(CB)-P(CAB)
=P(C)P(A)+P(C)P(B)-P(C)P(A)P(B)
=P(C)[P(A)+P(B)-P(AB)]一P(C)P(A∪B)，
这表示C与A∪B相互独立．
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22. 设事件A的概率P(A)=0，证明对于任意另一事件B，有A，B相互独立．
解：因
，故若P(A)=0，则0≤P(AB)≤P(A)．从而
P(AB)=0=P(B)·0=P(B)·P(A)，
按定义，A，B相互独立．
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23. 证明事件A，B相互独立的充要条件是
．
证明：充分性．设A，B相互独立，则
也相互独立，从而知P(A|B)=P(A)，
必要性．设
，按定义此式即表示
由比例的性质得
即P(AB)=P(A)P(B)，从而可知A，B相互独立．
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24. 若A与B互不相容，则它们相互独立．
解：必然错．因若A，B互不相容，则0=P(AB)≠P(A)P(B)．
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25. 若A与B相互独立，则它们互不相容．
解：必然错．因若A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)＞0．
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26. P(A)=P(B)=0.6，且A，B互不相容．
因为A，B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1.2，这是错误的．
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27. P(A)=P(B)=0.6，且A，B相互独立．
28. 有一种检验艾滋病毒的检验法，其结果有概率0.005报道为假阳性．(即不带艾滋病毒者，经此检验法有0.005的概率被认为带艾滋病毒)．今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少?
解：在本题中，这140人检查结果是相互独立的，这一假定是合理的．将人编号，第i号人检验结果以A
i表示正常，则
表示被报道为带艾滋病毒者．由题意知
0.005，从而P(A
i)=1-0.005=0.995．于是140人经检验至少有一人被报道呈阳性概率为
由140lg0.995=lg0.4957，得
p=1-0.4957=0.5043．
这说明，即使无人带艾滋病毒，这样的检验法认为140人中至少有一人带艾滋病毒的概率大于
．
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29. 盒中有编号为1，2，3，4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件A为“取得的是1号或2号球”，事件B为“取得的是1号或3号球”，事件C为“取得的是1号或4号球”，验证：
P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，
但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，
即事件A，B，C两两独立，但A，B，C不是相互独立的．
证明：以A
i(i=1，2，3，4)表示取到第i号球，则
又A=A
1∪A
2，B=A
1∪A
3，C=A
1∪A
4，且A
1，A
2，A
3，A
4两两互不相容，故有
另外，AB=A
1，AC=A
1，BC=A
1，ABC=A
1，故
从而有
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30. 设有4个独立工作的元件1，2，3，4．它们的可靠性分别为p
1，p
2，p
3，p
4，将它们按图1(a)所示的方式联接(称为并串联系统)；
图1
解：以Ai表示事件“第i只元件正常工作”，i=1，2，3，4，以A表示“系统正常工作”，已知各元件是否正常工作相互独立，且有P(Ai)=pi(i=1，2，3，4)．由图1(a)可知
A=A1[(A2A3)∪A4]=A1A2A3∪A1A4．
由加法公式及各元件工作的独立性得到
P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)-P[(A1A2A3)∩(A1A4)]
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)-P(A1A2A3A4)
=p1p2p3+p1p4-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
=p1(p4+p2p3-p2p3p4)．
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31. 设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5．它们的可靠性均为p，将它们按图1(b)所示的方式联接(称为桥式系统)．试分别求这两个系统的可靠性．
解：以A
i表示事件“第i只元件正常工作”，i=1，2，3，4，5，以A表示“系统正常工作”，已知各元件是否正常工作相互独立，且有P(A
i)=p(i=1，2，3，4，5)．
全概率公式法．按元件3处于正常工作与失效两种状态，将原系统简化为典型的并串联和串并联系统，再用全概率公式：
来计算原系统的可靠性．
当元件3正常工作时，系统简化成如图2(a)所示；当元件3失效时，系统简化成如图2(b)所示．因此
故
注意到P(A
1∪A
4)=P(A
1)+P(A
4)-P(A
1A
4)=2p-p
2．
同理P(A
2∪A
5)=2p-p
2．
所以P(A
1A
2∪A
4A
5)=P(A
1)P(A
2)+P(A
4)P(A
5)-P(A
1)P(A
2)P(A
4)P(A
5)
=2p
2-p
4．
图2 即得原系统的可靠性为
P(A)=(2p-p
2)
2p+(2p
2-p
4)(1-p)=2p
2+2p
3-5p
4+2p
5．
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32. 如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性．在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出．如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率)，问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少?如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的．
解：以A
i表示事件“第i只开关闭合”，i=1，2，…，n．已知P(A
i)=0.96，由此可得两只这样的开关并联而电路闭合的概率为(注意各开关闭合与否是相互独立的)．
P(A
1∪A
2)=P(A
1)+P(A
2)-P(A
1A
2)=P(A
1)+P(A
2)-P(A
1)P(A
2)
=2×0.96-0.96
2=0.9984．
要使R≥0.9999，即要使1-0.04
n≥0.9999，亦即要使0.0001≥0.04
n．故应有
因n为整数，故应有n≥3，即至少要用3只开关并联．
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33. 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为
．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?
解：以A
i表示事件“第i人能译出密码”，i=1，2，3．已知
，
，则至少有一人能译出密码的概率为
p=P(A
1∪A
2∪A
3)
=P(A
1)+P(A
2)+P(A
3)-P(A
1A
2)-P(A
1A
3)-P(A
2A
3)+P(A
1A
2A
3)．
由独立性即得
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34. 求至少有一只蓝球的概率．
解：以B
i记事件“从第i只盒子中取得一只蓝球”，以W
i记事件“从第i只盒子中取得一只白球”，i=1，2．由题设在不同盒子中取球是相互独立的．
即需求P(B
1∪B
2)．利用对立事件来求较方便，即有
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35. 求有一只蓝球一只白球的概率．
解：即需求事件B
1W
2∪B
2W
1的概率．注意到B
1，W
1是互不相容的，即
，因而
，故有
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36. 已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率．
解：即需求条件概率p=P(B
1W
2∪B
2W
1|B
1∪B
2)．因
，故有
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37. 袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)，在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到国徽．问这枚硬币是正品的概率为多少?
解：以T记事件“将硬币投掷r次每次都出现国徽”，以A记事件“所取到的是正品”，由题设
，需要求的是概率P(A|T)．由贝叶斯公式，所求概率为
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38. 设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%(这一事件记为A
1)，损坏10%(事件A
2)，损坏90%(事件A
3)，且知P(A
1)=0.8，P(A
2)=0.15，P(A
3)=0.05．现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的(这一事件记为B)．试求P(A
1|B)，P(A
2|B)，P(A
3|B)(这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率)．
解：在被运输的物品中，随机取3件，相当于在物品中抽取3次，每次取一件，作不放回抽样．又根据题中说明抽取一件后，不影响取后一件是否为好品的概率，已知当A
1发生时．一件产品是好品的概率为1-2%=0.98，从而随机取3件，它们都是好品的概率为0.98
3，即
P(B|A
1)=0.98
3，
同样P(B|A
2)=0.9
3，P(B|A
3)=0.1
3．
又知P(A
1)=0.8，P(A
2)=0.15，P(A
3)=0.05．
现在
，i≠j，i，j=1，2，3，且P(A
1∪A
2∪A
3)=P(A
1)+P(A
2)+P(A
3)=1，由贝叶斯公式得
[考点] 概率论的基本概念
39. 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其他一字母的概率都是
．今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p
1，p
2，p
3(p
1+p
2+p
3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输各个字母的工作是相互独立的．)
解：以A
1、B
1、C
1分别表示事件“输入AAAA”“输入BBBB”“输入CCCC”，以D表示事件“输出ABCA”．因事件A
1，B
1，C
1两两互不相容，且有P(A
1∪B
1∪C
1)=P(A
1)+P(B
1)+P(C
1)=p
1+p
2+p
3=1，因此全概率公式和贝叶斯公式均可使用．由贝叶斯公式得
在输入为AAAA(即事件A
1)、输出为ABCA(即事件D)时，有两个字母为原字母，另两字母为其他字母，所以
同理
．代入式(1-4)并注意到p
1+p
2+p
3=1，得到
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深色：已答题 浅色：未答题