A

[解析] 由A+2B=(α+2β，3γ₁，3γ₂，3γ₃)
   知|A+2B|=27|α+2β，γ₁，γ₂，γ₃|
   =27(|A|+2|B|)=135.

D

[考点] 向量
   [解析] 选项A错误．取α₁=(1，0)，α₂=(2，0)，α₃=(0，1)，虽然α₃不能由α₁，α₂线性表出，但α₁，α₂，α₃线性相关．
   选项B错误．取α₁=(1，1)，α₂=(2，2)，α₃=(3，3)，有2α₁-α₂+0α₃=0，但又有α₃=α₁+α₂．
   选项C错误．取α₁=(0，0)，α₂=(1，0)线性相关，α₁可由α₂线性表出，但α₂不能由α₁线性表出．
   选项D正确．若α₁，α₂，…，α_r-1线性无关，而已知α₁，α₂，…，α_s线性相关，故α_s必可由α₁，α₂，…，α_s-1线性表出(且表出方法唯一)，这与已知矛盾，故α₁，α₂，…，α_s-1线性相关．

A

[考点] 线性方程组的解
   [解析] 因为AX=0有非零解，而A为n阶方阵，所以|A|=|A^T|=0．因此r(A^T)＜n．于是线性非齐次方程组A^TX=b在r(A|b)=r(A^T)时有无穷多解；在r(A^T|b)＞r(A^T)时无解．故对任何b，A^TX=b不可能有唯一解．所以选(A)．

D

[解析]
   x≠0时
   
   其中
   即f'(x)在x=0处连续．因此，选D．

A

[解析] 由A²+2A-3E=0，得(A-E)(A+3E)=0，
   ∴R(A-E)+R(A+3E)≤4．
   又
   R(A-E)+R(A+3E)=R(E-A)+R(A+3E)
   ≥R(E-A+A+3E)
   =R(4E)=R(E)=4，
   ∴R(A-E)+R(A+3E)=4．则R(A+3E)=3．
   于是|A-E|=0，这表明1是A的特征值；
   |A+3E|=0，这表明-3是A的特征值．
   于是(A-E)x=0有3个线性无关的特征向量，λ=1为A的三重特征值；
   (A+3E)x=0仅有1个线性无关的特征向量，λ=-3为A的一重特征值；
   于是，四阶方阵A的特征值为1，1，1，-3，二次型x^TAx经正交变换后的标准形为．
   选A．

B

[解析] 根据导数定义：，有
   
   因此选B．
   可以取一个具体的f(x)，如f(x)=x，则A，C，D都被排除．

C

[考点] 函数连续及导数定义．
   [解析] 根据极限确定函数的性质．
   因为函数f(x)在x=0处连续，则；因为函数g(x)在x=0处连续，则g(0)=0．又，则g'(0)=2．故应选C．

B

[解析] 由于f"(x)＞0，x∈[0，1]，则f'(x)单调增加，又f(1)-f(0)=f'(c)，c∈(0，1)，
   从而f'(1)＞f'(c)＞f'(0)，
   即f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)．

D

[考点] 向量
   [解析] 因为向量组β₁，β₂，…，β_s可由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表出，所以向量组α₁，α₂，…，α_s与向量组{α₁，α₂，…，α_s；β₁，β₂，…，β_s}等价，应选D．

C

[解析] 我们分别确定当x→0时，α、β、γ分别是x的几阶无穷小．当x→0时
   α=ln(1+x²)-ln(1-x⁴)～x²，
   因为ln(1+x²)～x²
   ln(1-x⁴)～-x⁴=0(x²)
   
   又由
   可知当x→0时
   这表明当x一0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而y是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α，γ，β的次序．故应选(C)．

4dx-2dy；

[解析]

   

[解析]

y+2x-1=0．

[解析]
   当x=0时，t=0，故
   
   从而在点(0，1)处法线的斜率为-2，法线方程为
   y-1=-2x．

2te^2t2sint+e^2t2cost

[解析] 由题设得，故

A^-1y．

解：令u=2x-t，则dt=-du，有
   
   从而
   
   两边对x求导，得
   
   故
   
   令x=1，得．

[考点] 不定积分、定积分、反常积分

解：当a=-1时
   
   当a≠-1时
   
   故
   

[考点] 一元函数微积分

[证明] 设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，
   令于是令，故A=αβ^T，显然α，β为非零向量．设A=αβ^T，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβ^T)≤r(α)=1，故r(A)=1.

如下图所示，设圆半径OC与内接正圆锥底直径BC的夹角为α，则内接正圆锥的底面半径为
   
   高为h=R(1+sinα)，其中
   内接正圆锥的体积为
   
   得．故当内接正圆锥的底面直径为、高为时，其体积最大，最大体积为
   

证明：反证法．若α₁+α₂是A的属于特征值λ的特征向量，则有
   A(α₁+α₂)=λ(α₁+α₂)
   因为
   Aα₁=λ₁α₁，Aα₂=λ₂α₂
   所以
   (λ₁-λ)α₁+(λ₂-λ)α₂=0
   而α₁，α₂线性无关，于是λ₁=λ₂=λ，矛盾，故α₁+α₂不是A的特征向量．

[考点] 特征值与特征向量

解  x-x²=x(1-x)，
   于是
   因此．