一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)1. 设函数f(u，v)满足
，则
依次是______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[考点] 多元复合函数的求导法则．
[解析] 本题可通过分别求
列方程组，从而解出
由于
故方程两边关于x，y分别求偏导数得
解得
故选D．
本题的关键在于列出关于
的方程组．
2. 已知
，矩阵B满足A
*B+2A
-1=B，其中A
*是A的伴随矩阵，则|B|=______
A．
B．
C．
D．
A B C D
A
[解析] 对于矩阵方程首先要恒等变形，左乘A并利用AA
*=A
*A=|A|E，得
|A|B+2E=AB
即(A-|A|E)B=2E
因为|A|=-2，于是(A+2E)B=2E
两边取行列式，得
|A+2E||B|=8
又
所以
故应选A．
评注：若已知条件是矩阵方程，要先用矩阵运算法则将其化简．
3. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其二阶导函数f"(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为______．
A B C D
C
[考点] 判定函数的拐点．
[解析] 根据二阶导函数的图像来判定可能的拐点．
由函数的二阶导数图像知：
(1)f"(x
1)=0，当x＜x
1及x
1＜x＜0时，f"(x)＞0，所以(x
1，f(x
1))不是拐点．
(2)f"(0)不存在，当0＜x＜x
2时，f"(x)＜0；当x
1＜x＜0时，f"(x)＞0，所以(0，f(0))是拐点．
(3)f"(x
2)=0，当0＜x＜x
2时，f"(x)＜0；当x＞x
2时，f"(x)＞0，所以(x
2，f(x
2))是拐点．
综合(1)(2)(3)知，有2个拐点，故应选C．
若在x=x
0处f"(x
0)=0(或者是f"(x)不存在的点)，且当x变动经过x
0时，f"(x)变号，则(x
0，f(x
0))为拐点．
6. 极限
______
A．等于0
B．不存在
C．等于
D．存在且不等于0及
A B C D
B
[解析] 取y=x，则
取y=x
2，则
故原极限不存在．
7. 下列命题中正确的是______
A．若u
n＜v
n(n=1，2，3，…)，则
B．若u
n＜v
n(n=1，2，3，…)，且
收敛，则
收敛
C．若
D．若w
n＜u
n＜v
n(n=1，2，3，…)，且
A B C D
D
[解析] 因为w
n＜u
n＜v
n，所以0＜u
n-w
n＜v
n-w
n．又因为
收敛，所以
收敛，因而
收敛．故
收敛．
因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选A；选项B，C将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对．例如取级数
可以说明B不对，取级数
就可以说明C不对．选D．
8. 设a
n＞0，n=1，2，…，若
发散，
收敛，则下列结论正确的是______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
D
[考点] 判断常数项级数的收敛性．
[解析] 可通过举反例排除错误的选项，也可通过级数收敛的性质得到正确的选项．
解法1 取
．显然，
都发散，排除A、B．
对于
，因为
而
发散，所以
发散，排除C．故选D．
解法2 由性质“若原来的级数收敛，则加括号后所成的级数仍收敛”可知选项D正确．
本题若难以联想到收敛级数的相关性质，则通过举反例亦能排除错误选项．
9. 已知线性非齐次方程组A
3×4x=b(*)有通解k
1(1，2，0，-2)
T+k
2(4，-1，-1，-1)
T+(1，0，-1，1)
T，其中k
1，k
2是任意常数，则满足条件x
1=x
2，x
3=x
4的解是______
- A.(2，2，1，1)T．
- B.(1，1，2，2)T．
- C.(-2，-2，-1，-1)T．
- D.(2，2，-1，-1)T．
A B C D
D
[解析] 方程组(*)的通解足
由题意知
即
解得k
1=1，k
2=0，代入通解．得方程组(*)满足x
1=x
2，x
3=x
4的解是(2，2，-1，-1)
T．故应选D．
10. 设X与Y相互独立，X服从参数为
的0—1分布，Y服从参数为
的0—1分布，则方程t
2+2Xt+Y=0中t有相同实根的概率为______
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 由已知得X与Y的分布为
方程中t有相同的实根的概率为
P(4X
2-4Y=0)=P(X
2=Y)
=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)
二、填空题1. 若
且当x=0时，z=siny；y=0时，z=sinx，则z(x，y)=______．
sinx+siny
[解析]
两边对y积分得
又z(x，0)=sinx，所以
两边对x积分得
z(x，y)=sinx+g(y)．
又z(0，y)=g(y)=siny，所以
z(x，y)=sinx+siny．
2. 设
n≥2为正整数，则A
n-2A
n-1=______．
O
[解析]
3. 从总体X～N(3.4，6
2)中抽取样本(X
1，X
2，…，X
n)，
，若
位于(1，4，5，4)内的概率不小于0.95，则样本容量n至少应取______．(已知Φ(1.96)=0.975)
35
[解析] 由X～N(3.4，6
2)，知
，故
，所以
即
．
由Φ(x)单调增加，知
，即n≥(1.96×3)
2≈34.57，所以n至少应取35．
4. 设Y～χ
2(200)，则由中心极限定理得P{Y≤200}近似等于______，
[解析] 由Y～χ
2 (200)知，
，其中X
1，X
2，…，X
200相互独立且均服从N(0，1)．进而知
，i=1，2，…，200．由中心极限定理知
5. 设每次试验成功的概率为
，X表示首次成功需要试验的次数，则X取偶数的概率为______．
[解析] 由P{X=k}=(1-p)
k-1p(k=1，2，…)
得
6. 设区域D
t={(x，y)∈R
2|x
2+y
2≤t
2，t＞0}，函数f(x)在x=0的某邻域内连续且f(0)=A≠0，
若当n→+∞，
是比
高阶的无穷小量，则参数λ的取值范围是______．
λ＞1
[解析] 因为
函数ρf(ρ
2)在0的某邻域内连续，所以根据变限定积分函数的性质，可知F(t)在t=0的某邻域内可导，得F'(t)=2πtf(t
2)，
由上式成立可推出，λ＞1．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)1. 已知函数f(u)具有二阶导数，且f'(0)=1，函数y=y(x)由方程y=xe
y-1=1确定．设z=f(lny-sinx)，求
．
解：由方程y-xe
y-1=1得y(0)=1．方程两边对x求导得y'-e
y-1-xe
y-1y'=0，求得y'(0)=1．方程两边再对x求导得y"-2e
y-1y'-x(e
y-1y')'=0，从而得到y"(0)=2．由z=f(lny-sinx)可得
[考点] 复合函数求导．
[解析] 由方程确定的隐函数求导结合复合函数求导法求解．
在进行复合函数求导时，要熟练掌握复合关系，按照链式法则由外及里按顺序求解．
Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．2. 证明：α
1，α
2，…，α
n线性无关；
证明：令x
1α
1+x
2α
2+…+r
nα
n=0，则
x
1Aα
1+x
2Aα
2+…+x
nAα
n=0
x
1α
2+x
2α
3+…+x
n-1α
n=0
x
1Aα
2+x
2Aα
3+…+x
n-1Aα
n=0
x
1α
3+x
2α
4+…+x
n-22α
n-2=0
…
x
1α
n=0
因为α
n≠0，所以x
1=0，反推可得x
2=…=x
n=0，所以α
1，α
2，…，α
n线性无关．
3. 求A的特征值与特征向量．
解：
令P=(α
1，α
2，…，α
n)，则
则A与B相似，由|λE=B|=0
λ
1=…=λ
n=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n-1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aα
n=0α
n(α
n≠0)，所以A的全部特征向量为kα
n(k≠0)．
4. 对于任意正整数n，
在
中仅有一根．
证：因为f
n(x)连续，又有f
n(0)=1，
所以由介值定理知
使得
又因为
所以f
n(x)在
内严格单调减少．因此，满足方程
的根ξ是唯一的，即
在
中仅有一根．
5. 设有
满足
，则
证：因为
所以
由保号性知，
当n＞N时，有
由f
n(x)的单调减少性质知
由夹逼准则知
6. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p
1和p
2，销售量分别为q
1和q
2．需求函数分别为：q
1=2-ap
1+bp
2，q
2=1-cp
2+dp
1．总成本函数C=3+k(q
1+q
2)．其中a，b，c，d，k都为大于0的常数，且4ac≠(b+d)
2．试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大．
7. 已知函数u(x，y)满足
求a，b的值使得在变换u(x，y)=v(x，y)e
ax+by之下，上述等式可化为函数v(x，y)的不含一阶偏导数的等式．
解：
代入
，得
由3+4a=3-4b=0得
．此时，原等式化为
．
[考点] 已知偏导数求参数的值．
[解析] 本题应先根据u(x，y)=v(x，y)e
ax+by分别求出
，再将其代入
，从而求出a，b的值．
本题计算量较大，在求偏导数时应耐心、细致．
8. 若f'(ξ)=0，则存在x
1，x
2∈(a，b)且x
1＜ξ＜x
2，使得f(x
1)=f(x
2)；
证：因为f"(ξ)＞0，f'(ξ)=0，故ξ是f的极小值点．f在[a，ξ]上有最大值f(t1)．同样f在[ξ，b]上也存在最大值f(t2)．不妨设f(t1)≤f(t2)，由连续函数的介值定理可得，存在x0∈[ξ，b]，使得f(x0)=f(t1)．即有x1=t1，x2=x0使得f(x1)=f(x2)．
9. 若f'(ξ)≠0，则存在η
1＜ξ＜η
2，其中η
1，η
2∈(a，b)，使得
证：由f'(ξ)≠0，令g(x)=f(x)-f'(ξ)x，则g'(ξ)=f'(ξ)-f'(ξ)=0．
于是g(x)符合(Ⅰ)的条件，即存在η
1，η
2∈(a，b)满足η
1＜ξ＜η
2，使得g(η
1)=g(η
2)，即
将g(x)=f(x)-f'(ξ)x代入上式后得到
，则f(x)的间断点______
(如下图)，选C．
的值为______。
。选D。
深色：已答题 浅色：未答题