A

[解析] 当0＜a≤x+y≤1时，ln(x+y)≤0，sin(x+y)＞0，所以I₁＜I₂，选A.

A

[解析] 设二次型其中Q为正交矩阵．取则f=X^TAX=λ₁=0，同理可得λ₂=λ₃=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=O，选A．

B

[解析] 先要将f(x)的具体表达式写出来．
   当|x|＜1时，；
   当|x|=1时，；
   当|x|＞1时，．
   f(x)的图形如图所示，所以f(x)在x=±1处不可导．选B．
   

C

[解析] 向量组α₁，α₂，…，α_m线性无关，则α₁，α₂，…，α_m中任意两个向量不成比例，反之不对，故A不对；若α₁，α₂，…，α_m是两两正交的非零向量组，则α₁，α₂，…，α_m一定线性无关，但α₁，α₂，…，α_m线性无关不一定两两正交，B不对；α₁，α₂，…，α_m中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，D不对，选C．

A

[解析] |A|=3，A可逆，则
   (A^*)(A^*)^*=|A^*|E，
   
   |(A^*)^*|=||A^n-2A|=|A|^(n-2)n|A|=|A|^n2-2n+1=3^(n-1)2．

D

[解析] 令则
   
   对于则
   ①当m和n中有且仅有一个为奇数时，(-1)^m(-1)ⁿ=-1，从而积分为零；
   ②当m和n均为奇数时，(-1)^m(-1)ⁿ=1，从而
   
   由于上的奇函数，故积分为零．
   总之，当m和n中至少一个为奇数时，故答案选择(D)．

C

[解析] 不妨设向量组α₁，α₂，…，α_m的极大线性无关组为α₁，α₂，…，α_r向量组β₁，β₂，…，β_s的极大线性无关组为β₁，β₂，…，β_r，若α₁，α₂，…，α_m可由β₁，β₂，…，β_s线性表示，则α₁，α₂，…，α_r也可由β₁，β₂，…，β_r线性表示，若β₁，β₂，…，β_r不可由α₁，α₂，…，α_r线性表示，则β₁，β₂，…，β_s也不可由α₁，α₂，…，α_m线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选C．

D

[解析] A与B相似，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则
   tE-B=tE-P^-1AP=P^-1(tE)P-P^-1AP=P^-1(tE-A)P，
   即tE-A与tE-B相似，选(D)．对于(A)：由λE-A=λE-B，有A=B；对于(B)：A与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A与B不一定能够相似对角化．

D

[考点] 连续函数的运算性质．
   [解析] 用反证法及反例排除法求解．
   反证法．假设连续，而f(x)连续，由连续函数的运算性质可知，φ(x)=f(x)·g(x)连续，这与φ(x)有间断点矛盾，故必有间断点，故应选D．
   反例排除法．取f(x)=1≠0，则φ[f(x)]=-1，φ²(x)=1，f[φ(x)]=1都是连续函数，无间断点，故选项A，B，C错误．
   根据连续函数的运算性质，两个连续函数的和、差、积、商(分母非零)仍为连续函数，连续函数与连续函数的复合是连续函数；但是，连续函数与有间断点的函数的复合可能是连续函数，本题中的反例要熟记．

A

[解析] 法一 r(AB)≤r(A)≤n＜m，AB是m×m矩阵，故必有|AB|=0．
   故应选A．其余的均错误，读者自行证明．
   法二 当m＞n时，方程组B_n×mx=0有非零解，即存在x≠0，使Bx=0成立，两边左乘A，得ABx=0，其中x≠0，则|AB|=0，故应选A．

[解析] 题目要求我们计算为此我们需要应用大数定律或依概率收敛的定义与性质来计算．由题设知X₁，…，X_n独立同分布：
   ．根据辛钦大数定律：(n→∞)．

[解析] u(x，3x)=x两边对x求导，得u'_x(x，3x)+3u'_y(x，3x)=1，
   再对x求导，得u"_xx(x，3x)+6u"_xy(x，3x)+9u"_yy(x，3x)=0．
   由，得10u"_xx(x，3x)+6u"_xy(x，3x)=0，
   u'_x(x，3x)=x³两边对x求导，得u"_xx(x，3x)+3u"_xy(x，3x)=3x²，
   解得．

[解析] 由题意故
   
   又得故
   

[解析] 设
   因即故
   

y^*=x(Ax²+Bx+C)+Dxe^2x

[解析] 特征方程为r²-2r=0，特征根r₁=0，r₂=2．
   对f₁=x²+1，λ₁=0是特征根，所以
   对f₂=e^2x，λ₂=2也是特征根，故有从而y^*如上．

[考点] 微分方程的特解的求法。
[解析] 题设方程可改写为，这是齐次微分方程，令y=xu，则y'=xu'+u代入即得。
   分离变量得
   
   从而原方程的通解为。
   它包含定义域分别为x＞0与x＜0的两族函数：
   
   将y(1)=1代入前者有2arctan1=C，即得。
   故所求的特解为。

证：因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r．
   设η₀为方程组AX=b的一个特解，
   令β₀=η₀，β₁=ξ₁+η₀，β₂=ξ₂+η₀…，β_n-r=ξ_n-r+η₀，显然β₀，β₁，β₂，…，β_n-r为方程组AX=b的一组解．
   令k₀β₀+k₁β₁+…+k_n-rβ_n-r=0，即
   (k₀+k₁+…+k_n-r)η₀+k₁β₁+k₂β₂+…+k_n-rβ_n-r=0，
   上式两边左乘A得(k₀+k₁+…+k_n-r)b=0，
   因为b为非零列向量，所以k₀+k₁+…+k_n-r=0，于是
   k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r=0，
   注意到ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n-r=0，
   故β₀，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，
   令γ₁=β₂-β₁，γ₂=β₃-β₁，…，γ_n-r+1=β_n-r+2-β₁，根据定义，易证γ₁，γ₂，…，γ_n-r+1线性无关，又γ₁，γ₂，…，γ_n-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．

   

解：输入率为2500卡/天，输出率为(1200+16w)，其中w为体重，
   根据题意得
   由，得，代入初始条件得，
   于是

解：(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，
   在L₁：y=0(0≤x≤6)上，z=0；
   在L₂：x=0(0≤y≤6)上，z=0；
   在L₃：y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x²(6-x)=2x³-12x²，
   由得x=4，因为f(0，0)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以f(x，y)在L₃上最小值为-64，最大值为0．
   (2)在区域D内，由得驻点为(2，1)，
   
   因为AC-B²＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4，
   故z=f(x，y)在D上的最小值为m=f(4，2)-64，最大值为M=f(2，1)=4．

解：设事件A_i={从10件产品中任取两件，有i件不合格品}，i=0，1，2．记B=A₁∪A₂，按题意，所求概率为P(A₂|B)．而
   
   因为所以P(A₂B)=P(A₂)，应用条件概率公式得