C

[解析] 根据已知
   
   而f(0)，f(1)无定义，故x=0，x=1为可去间断点.

B

[解析] E(x)=3×0.4=1.2，E(Y)=(-1)×0.7=-0.7，
   E(XY)=3×(-1)×P{X=3，Y=-1}．由于X与Y互不相关，则
   E(XY)=E(X)E(Y)，解得P{X=3，Y=-1}=0.28．
   由联合分布与边缘分布的关系，得(X，Y)的分布
   
   故X与Y相互独立．
   所以随机事件{X=0}和{y=-1}相互独立．

D

[解析] 因f(x)和g(x)为同阶无穷小，则极限存在且不为0．
   
   使存在且不等于0，必须满足k-5=0，即k=5．
   此时，两者为同阶无穷小，且有
   

D

[解析] n阶矩阵A和B等价，故r(A)=r(B)．
   r(A)=r(-2A)=r(B)=r(3B)，故-2A和3B等价，应选D．
   取，r(A)=r(B)=2，但r(A+E)=1≠r(B+E)=2，A+E和B+E不等价，故A不成立．
   取r(A)=r(B)=1，但r(A²)=1≠r(B²)=0，A²和B²不等价，故B不成立．
   取，r(A)=r(B)=1，但，AB和BA不等价，故C不成立，由排除法，应选D．

A

[解析] 下面介绍一个简化左、右导数计算的方法：
   (1)设f(x)在[x₀，x₀+δ](δ＞0)上连续，在(x₀，x₀+δ)内可导，且存在，则；
   (2)设f(x)在[x₀-δ，x₀](δ＞0)上连续，在(x₀-δ，x₀)内可导，且存在，则．
   可用上法求之，也可用左、右导数定义求出a、b．
   
   
   因f(x)在x=0处可导，故f'_-(0)=f'₊(0)，即a=2．
   又因f(x)在x=0处连续，故f(0+0)=f(0-0)，即
   
   故3=b．仅A入选．

D

[解析] 由题意，E_ijAE_ij=B．其中
   
   因E_ij是可逆阵，E_ijAE_ij=B，故
   E_ij可逆，且
   E_ij是对称阵，
   因此

D

[解析] 若X与Y不相关，则E(XY)=EXEY，即P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B独立．
   若X与Y不相关且P(A)=P(B)=p，由X与Y的联合概率分布知，X与Y独立．

D

[解析] 由f"(x)+x[f'(x)]²=sinx，有f"(0)=0．再由
   f'''(x)+[f'(x)]²+2xf'(x)f"(x)=cosx，
   得f'''(0)=1，所以，即
   由极限的保号性知，存在x=0的去心邻域且x＜0时，f"(x)＜0；当且x＞0时，f"(x)＞0．故应选D．

D

[解析] 设则{u_2n}为单调增数列，故从而级数(1)发散，由级数发散的定义可知，级数(2)一般项极限不为零，故发散．

C

[考点] 导数的定义．
   [解析] 利用反例并结合单侧导数的定义．
   对于命题(1)，设f(x)=x，x₀=0，显然f(x)在x₀=0处可导，但是|f(x)|=|x|在x₀=0处不可导，命题错误．
   对于命题(2)，设显然f(x)在x=x₀处不连续、不可导，但是|f(x)|=1在x=x₀处可导，命题错误．
   对于命题(3)，由题意得，令g(x)=|f(x)|，则
  
   又因为f'(x₀)≠0，则g'₊(x₀)≠g'_-(x₀)，所以g(x)在x=x₀处不可导，命题正确．
   对于命题(4)，若f(x₀)≠0，不妨令f(x₀)＞0，又f(x)在x=x₀处连续，则，由函数极限的局部保号性知，存在x₀的某邻域，使得f(x)＞0，从而g(x)=|f(x)|=f(x)．由g(x)=|f(x)|在x=x₀处可导知，f(x)在x=x₀处可导．对于f(x₀)＜0可类似说明．若f(x₀)=0，则由g(x)=|f(x)|在x=x₀处可导知，存在，而，则，因此，故，即f(x)在x=x₀处可导，命题正确．
   故应选C．

[解析] 记，则积分区域D₁={(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤1}，F(x，y)=f(x)f(y)．将I中的x与y对换即得
   
   其中积分区域D₂={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤1}．不难发现积分区域D₁与D₂关于直线y=x对称，如图．
   
   由于积分区域D₁与D₁关于直线y=x对称，被积函数F(x，y)=f(x)f(y)关于自变量x与y对称，即F(x，y)=F(y，x)，从而
   

[解析]

[考点] 求隐函数在一点微分的值．
[解析] 在两边取微分，得
   代入(1，0，-1)，得即，亦即．

[考点] 二重积分的计算．
   [解析] 本题可先利用二重积分的对称性，再利用极坐标来计算二重积分．
   设D₁为D在y轴右侧的部分，则
  
   有时先利用对称性化简被积函数和积分区域，再计算二重积分可以大大减少计算量．

[解析] 如图所示，则有
   
   
   且
   所以

[解析] 令D₁={(x，y)|0≤x≤2-y，1≤y≤2}，
   D₂={(x，y)|1-y≤x≤2-y，0≤y≤1}．
   则D=D₁∪D₂={(x，y)|1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}．
   引入极坐标，得
   

解：由于
   
   故可化为f"(e^xcosy)=4f(e^xcosy)+e^xcosy，即
   f"(u)-4f(u)=u．
   记y=f(u)，则y"-4y=u．
   由r²-4=0得r₁=2，r₂=12，故y"-4y=0的通解为Y=C₁e^2u+C₂e^-2u．
   设y"-4y=u的一个特解为y^*=b₀+b₁u，则y^*'=b₁，y^*"=0，代入得-4b₀-4b₁u=u．
   

[考点] 已知偏导数求函数的表达式．
   [解析] 本题可先由得到一个微分方程，再通过解微分方程求出f(u)．
   本题计算量较大，在求偏导数时应耐心、细致．

解：将e^x的泰勒级数展开式代入题设等式得
   整理得
   
   比较两边同次幂系数得
   

[解析] 题设方程右边为关于x的多项式，要联想到e^x的泰勒级数展开式，比较x的同次项系数，可得A，B，C的值．
   题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解．要熟练掌握常用函数的泰勒公式．

对定积分作变量代换：令x²-t²=u，则，且F'(x)=xf(x²)，
   于是由洛必达法则得
   

解：首先齐次方程x_n+1+αx_n=0的通解为x_n=C(-α)ⁿ．
   再用待定系数法求x_n+1+αx_n=n+1的特解，为此，令x_n=An+B，代入方程x_n+1+αx_n=n+1，得
   
   则原差分方程的通解为
   由初始条件得常数C=0，于是差分方程的解为
   
   解得α=ln2-1．

解：