一、选择题每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
二、填空题把答案填在题中横线上。
1. 设可导函数y=y(x)由方程
______.
2. 设位于曲线
下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______.
3. 设某商品的收益函数为R(P),收益弹性为1+P
3,其中P为价格,且R(1)=1,则R(P)=______.
4. 若曲线y=x
3+ax
2+bx+1有拐点(-1,0),则b=______.
5. 设A,B为3阶矩阵,且|A|=3,|B|=2,|A
-1+B|=2,则|A+B
-1|=______.
6. 若X
1,X
2,…,X
r,为来自正态总体N(μ,σ
2)(σ>0)的简单随机样本,记统计量
,则E(T)=______.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.
[解析] 化为指数形式,用洛比达法则及等价无穷小替换.
[评注]
2.
显然D关于x轴对称,且D=D
1∪D
2,其中
[解析] 被积函数展开,利用二重积分的对称性.
[评注] 二重积分的对称性的考查一直是重要测试内容.
3. 求函数u=xy+2yz在约束条件x
2++y
2+z
2=10下的最大值和最小值.
[解析] 本题为条件极值问题,用拉格朗日乘数法.
[评注] 求多元函数的极值已连续几年考查,仍属基本题型。
4.
[解析] 对(Ⅰ)比较被积函数的大小,对(Ⅱ)用分部积分法计算积分
,再用夹逼定理求极限.
[评注] 若一题有多问,一定要充分利用前问提供的信息.
5. 设函数f(x)在闭区间[0,3]上连续,在开区间(0,3)内二阶可导,且
(Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使得f(η)=f(0);
(Ⅱ)证明存在ζ∈(0,3),使得f"(ζ)=0.
(Ⅰ)因f(x)在闭区间[0,2]上连续,由积分中值定理得,至少存在一点η∈(0,2),使得
又f(x)在闭区间2,3上连续,从而
介于f(x)在[2,3上]的最大值与最小值之间,由介值定理知,至少存在一点γ∈[2,3],使得
f(y)=f(0).
因此f(x)在区间[0,η],[η,γ]上都满足罗尔中值定理条件,
于是至少存在点ζ
1∈(0,η),ζ
2∈(η,γ),
有 f'(ζ
1)=f'(ζ
2)=0,
由f(x)在∞,3上连续,在(0,3)内二阶可导,知f'(x)在ζ
1,ζ
2上连续,在(ζ
1,ζ
2)可导,用罗尔中值定理,至少存在一点ζ∈(ζ
1,ζ
2)
(0,3),使得f"(ζ)=0.
[解析] 需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理。
[评注] 一般地有如下结论:设f(x)在a,b上连续,
a<x
1<x
2<…<x
n<b,(i=1,2,…,n),
6.
已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解.
(Ⅰ)求λ,a;
(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解.
解法一
由线性方程组Ax=b存在2个不同解,得λ=-1,a=-2.
解法二由线性方程组Ax=b有2个不同的解,知r(A)=r(A|b)<3,因此方程组的系数行列式
得λ=1或-1;而当λ=1时,r(A)=1≠r(A|b)=2,此时,Ax=b无解,所以λ=-1.
由r(A)=r(A|b)得a=-2.
(Ⅱ)当λ=-1,a=-2时,
故方程组Ax=b的通解为
,k为任意常数.
[解析] 本题考查方程组解的判定与通解的求法.由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解,而且非齐次线性方程组有无穷多解.
7.
=(λ+4)(λ-2)(λ-5)=0
得A的特征值为 λ
1=2,λ
2=-4,λ
3=5,且对应于λ
1=2的特征向量为
由(-4E-A)x=0得对应于λ
2=-4的特征向量为α
2=(-1,0,1)
T。
南(5E-A)x=0得对应于λ
3=5的特征向量为α
3=(1,-1,1)
T.
因A为实对称矩阵,α
1,α
2,α
3为对应于不同特征值的特征向量,所以η
1,η
2,η
3为单位正交向量组.令
[解析] 本题考查实对称矩阵的正交对角化问题.由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值,然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量,从而最终求出Q.
8. 设二维随机变量(X,y)的概率密度为
求常数A以及条件概率密度f
Y|X(y|x).
由联合概率密度的性质有
[解析] 本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算,而求条件密度的本质还是求边缘密度.
[评注]
9. 箱中装有6个球,其中红、白、黑球个数分别为1,2,3,现从箱中随机地取出2个球,记X为取出红球的个数,Y为取出白球的个数.
(Ⅰ)求随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)求Cov(X,Y).
{X=i,Y=j.}表示取到i个红球,j个白球.由古典概型得
故二维随机变量(X,Y)的概率分布为
[解析] 本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征,第一问实际上为古典概率问题解:(Ⅰ)易知X的所有可能取值为0,1,Y的所有可能取值为O,1,2.