C

[解析] 因为；再由导数定义知：.故选C.

A

[解析] 注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(x)在(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b).逐一检查三个条件即可.为了简便起见先检查f(a)=f(b).故选A.

A

[解析] 因为，则.
   所以.故选A.

B

[解析] 求时，将y认定为常量，则.故选B.

C

[解析] 已知f'(cosx)=sinx，在此式两侧对cosx求积分：，有.
   故选C.

C

[解析] 本题考查定积分的运算..故选C.

B

[解析] 方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程.方程x²+y²－a²=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程.同理，F(y，z)=0及F(x，z)=0都表示柱面，它们的母线分别平行于Ox轴及Oy轴.故选B.

C

[解析] 因为区域D：x²+y²≤1，x≥0,y≥0，令有0≤r≤1，0≤θ≤，故选C.

C

[解析] 对于A中所给级数，由于，可知0，因此发散，应排除A对于B中所给级数，由于，可知，因此发散.对于D中所给级数，考虑为p=2的p级数，可知其为收敛级数，从而知为绝对收敛，应排除D.对于C中所给级数，由于为的p级数，可知其发散.但是，注意到为交错级数，且，，由莱布尼茨定理可知收敛，从而知其为条件收敛.故选C.

B

[解析] 微分方程的特征方程为r²+2r+1=0，解得r=-1，为二重根，由通解公式可知其通解为y=(C₁+C₂x)e^-x.故选B.

2

[解析] 由题设条件，有，则f'(1)=2.

0

[解析] 本题考查的知识点为函数连续性的判定.
   由于点x=0为函数的分段点，且在点x=0两侧f(x)的表达式不同，因此应考查左连续、右连续..
   由于f(x)在点x=0连续，因此，从而a=0.

e^-1

[解析] .

[解析] 因为y=x²－2x在[1，2]上满足拉格朗日中值定理条件，则设f(x)=x²－2x，有，即，2ξ=3，所以.

3

[解析] 因为，所以，k=3.

[解析] 因为f(x)的一个原函数为，所以，所以

x=-2

[解析] 由于题目只求铅直渐近线，所给函数表达式为分式，可知，因此所给曲线的铅直渐近线为x=-2.

母线平行于z轴的抛物柱面

[解析] 本题考查二次曲面方程的识别.

(2,-2)

[解析] 令解得驻点为(2，-2).，则B²－AC=-4＜0有极值且A=-2＜0，有极大值，所以极大值点为(2，一2).

s－u₁

[解析] 因为，而收敛于s.则收敛于s－u₁.

证明 作辅助函数f(t)=e^t，则f(t)在区间[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，于是f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)(0＜ξ≤x)，即 e^x－1=e^ξx  (0＜ξ＜x)，又当0＜ξ＜x时，1＜e^ξ＜e^x，故有e^x－1=e^ξx＞1·x=x，即e^x＞1+x(x＞0).

[解析] 本题可用单调性的思想去证，即令f(x)=e^x－1－x，f'(x)=e^x-1＞0(当x＞0时)，说明f(x)是增函数，即当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，所以f(x)＞0，则有e^x＞1+x.当然也可用下面方法证明.

   

[解析] 此极限是“∞·(∞－∞)”，为不定型.而已知(a－b)(a²+ab+b²)=a²－b²，所以分子，分母同乘后分式变为型.又根据当n→∞时，分母的次数高于分子的次序，所以所求极限为零.

由ψ'(x)=x²-1=0，得x=-1或x=1.
   又ψ"(x)=2x，且ψ"(-1)=-2＜0，ψ"(1)=2＞0，故当x=-1时，ψ(x)取极大值；
   当x=1时，ψ(x)取极小值.

[解析] 这是一道求函数极值的题.只要用常规的求极值的方法去求就可以了.不过在求函数的导数时要注意变上限积分的导数公式的应用，即.

由于当△x→0时，a为无穷小，可知，从而有

[解析] 在做本题时要注意导数的定义，即和一阶微分方程中变量可分离类的解法.

平面π₁，π₂的法向量分别为n₁={k，-2，3}，n₂={3，-2，-1}，由题设知，n₁与n₂垂直，于是有    n₁·n₂=0，即    3k+(-2)·(-2)+3·(-1)=0，解得：.

[解析] 如果给出两个一般的平面方程π₁：A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0，π₂：A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.则它们的法向量分别为n₁={A₁，B₁，C₁}，n₂={A₂，B₂，C₂).如果这两个平面π₁与π₂垂直，则应满足n₁·n₂=0.即A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0，具体解法如下：

设S为材料费用函数，则S=2πrh+πr²+3πr²，且满足条件πr²h=32π，所以 .
   因 ，令S'(r)=0，得驻点  r=2.
   因S"(2)=24π＞0，且驻点唯一，所以r=2为S(r)的最小值点，此时 .
   所以r=2厘米，h=8厘米时，材料费用最省.

[解析] 本题为利用导数求最值问题.
   求最大值与最小值的一般方法是：
   (1)求出f(x)在(a，b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点：x₁，…，x_k.
   (2)求出上述各点及区间两个端点x=a，x=b处的函数值：f(x₁)，…，f(x_k)，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为y=f(x)在[a，b]上的最大值，相应的x的取值即为f(x)在[a，b]上的最大值点，而其中最小的数值即为f(x)在[a，b]上的最小值，相应的x的取值即为f(x)在[a，b]上的最小值点.

解法一 利用对称性.依题设.
   由于区域D关于x轴对称，为x的偶函数，记D在x轴上方的部分为D₁，则.
   解法二 .

[解析] 由二重积分的物理意义知：该薄片的质量(其中ρ(x，y)为密度函数).而此积分的区域D为半圆即x²+y²≤R²(x≥0).所以由下面解法可以得到质量M的结果.

.
   对于，令x=-t，则

   所以

[解析] 本题利用定积分的性质证明等式成立.